Regional gravity field model constructed by the least squares collocation
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摘要:
基于非均匀分布的陆地重力观测数据，重构局部重力场模型是区域重力资料处理与解释的重要环节。本文对比了多种局部重力场建模方法，并以EGM2008模型提供的自由空气重力异常模型重采样数据进行测试，综合比较了不同噪声条件下不同建模方法的实际效果。结果表明：在不同噪声水平下，优选出适合重力位场问题的协方差函数后，最小二乘配置法的建模效果优于其它方法。
Abstract:Based on the non-uniform distribution of terrestrial gravity observation data, the reconstruction of local gravity field model is a key to the processing and interpretation of regional gravity data. In this paper, a variety of local gravity field modeling methods are compared, and the resampling data of the free air gravity anomaly model provided by the EGM2008 model are tested, and the actual effects of different modeling methods under different noise conditions are compared. The results show that the least squares collocation method is better than other ones in modeling when the covariance function suitable for gravity potential field problem is optimized at different noise levels.
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Keywords:
- least-squares collocation /
- local gravity field /
- noise /
- covariance function /
- gravity model
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引言
隧道线路设计经常会遇到隧道穿越断层及其破碎带的情形。跨断层隧道震灾调查表明，隧道震害较为突出，其中受到断层位错影响区段的震害尤为严重。例如2008年汶川MS8.0地震中，龙溪、龙洞子等穿越断层破碎带的隧道损害较严重，其震害类型主要表现为衬砌开裂、隧道垮塌和混凝土剥落等。断层错动将导致围岩产生永久变形，从而对隧道结构造成破坏，而如何减小断层对隧道衬砌的影响是设计和建设跨断层或破裂带隧道过程中的难点。
国内外对断层错动作用下隧道的力学响应分析及对应措施已有大量研究，主要集中在对断层类型、断层倾角、位错量、隧道结构类型及材料属性、隧道与断层走向交角及分析方法等的研究。Kontogianni和Stiros （2003）结合过去100年内受强震影响的地区区内隧道受损情况，研究了在地震作用下断层隧道衬砌管片的应力应变反应。熊炜等（2010）通过有限元方法分析断层错动下隧道结构的受力变形，认为断层位错量、倾角、隧道埋深和隧道与断层走向交角对衬砌结构影响程度不同，衬砌受力与变形对断层位错量变化最敏感。陈熹（2017）通过三维有限差分程序分别对走滑断层、正断层和逆断层进行建模，研究隧道衬砌在断层错动作用下的损伤机制，数值模拟结果表明衬砌内力变化主要集中在断层及附近位置。孙飞等（2019）通过有限元方法与实验相结合，研究衬砌开裂破坏形式，得出在正断层错动作用下衬砌在断层面处承受压−剪−扭的组合作用。
邵润萌（2011）以成兰铁路为研究对象建立数值模型，对断层错动下隧道衬砌损伤模式进行了分析，但其分析模型采用单一断层面，未考虑断层破碎带产生的影响。焦鹏飞和来弘鹏（2019）利用FLAC3D 有限差分软件分析了不同倾角逆断层错动对隧道结构应力分布影响，但其研究对象为倾角为45°，64°，75°的逆断层，未涉及倾角较小的逆冲断层。胡辉（2013）采用有限元数值模拟分析方法，模拟了上盘下错衬砌破坏情况，但其尚未对上盘逆冲过程进行研究。赵宝平（2018）运用FLAC3D三维有限差分软件根据相关地质资料建立数值模型，研究不同断层错距下逆断层错动引起的衬砌破坏形式，但研究对象仅为倾角为75°逆断层，该结果是否适用于小角度逆冲断层尚待研究。鉴于特定的工程具有其特殊性，关于穿越逆断层隧道变形和受力特征的相关研究成果，能否刻画特定隧道工程在逆断层错动下的变形与受力特征有待进一步研究。为此本文在已有相关隧道穿越断层的研究成果基础上，以Abaqus通用有限元软件为分析平台，以成兰铁路穿越北川—映秀断裂的跃龙门隧道工程为分析对象，分别模拟了倾角为30°，45°和60°逆断层错动作用下隧道衬砌结构的响应，以期得到逆断层错动对隧道工程受力和变形的影响特征。
1. 模型建立及参数选取
断层错动作用下的隧道衬砌力学响应复杂，可利用数值方法求解，其中有限元方法网格划分灵活，可以处理任意几何形态断层问题（张丽芬，姚运生，2013）。本文计算采用有限元软件Abaqus建立三维模型，选择围岩和衬砌材料参数并设置边界条件，模拟分析逆断层错动对衬砌结构的影响。
1.1 模型尺寸
有限元分析模型的隧道采用圆拱模型，其外轮廓宽为12 m，高为9.43 m。为简化计算并结合实际的受力状态，将初期支护和二次衬砌简化为一体（熊炜等，2010），视为一均质衬砌，不考虑两者相互作用影响，衬砌等效厚度为0.5 m。模型的长×宽×高为700 m×100 m×100 m，破碎带宽度为20 m。断层倾角为60°时分析模型如图1a所示；衬砌与破碎带相交方式为正交（图1b）。模型有限元离散单元对于隧道、破碎带和围岩均采用实体单元。
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图 1 衬砌结构模型示意图（a） 模型整体；（b） 衬砌-破碎带相交方式Figure 1. Schematic diagram of lining structure model（a） Whole model；（b） Lining fracture zone intersection mode1.2 模型参数选择
1） 本构模型选择。在有限元分析中，隧道衬砌为C30混凝土，为了更好地体现衬砌对断层位错量和倾角变化的敏感性，衬砌采用线弹性本构；围岩及破碎带采用德鲁克-普拉格（Drucker-Prager，缩写为DP）弹塑性模型，不同介质物理力学参数的取值列于表1。在数值分析中，选择面面接触模拟围岩与隧道相互作用，接触面行为设定为滑动不分离，摩擦类型采用库仑摩擦。
表 1 介质物理力学参数Table 1. Physical mechanics parameters of medium材料 密度
/（kg·m−3）弹性模量
/MPa泊松比 黏聚力
/MPa内摩擦角
/°围岩 2300 10000 0.250 0.25 30 破碎带 2000 5000 0.300 0.30 25 衬砌 2500 30000 0.167 2） 边界条件设置。衬砌破坏主要归因于断层错动产生的围岩永久变形，本文在计算活动断层错动作用下隧道衬砌的响应时，采用静力方法。设置边界条件时，基于逆冲断层错动特征，在上下盘底边界对位移进行约束，下盘（被动盘）底边界约束位移为0，上盘（主动盘）底边界同时加以竖向与水平向位移模拟逆断层错动，错动方式如图2所示；模型顶部为自由边界；四周侧边界上沿断层走向方向设置为固定边界。
2. 相同倾角不同竖向位错量的模拟结果
断层沿断层面发生位错可以分解为竖向和水平两个方向。由于衬砌和围岩采用摩擦接触，其可以和围岩发生水平相对位移，从而在很大程度上抵消断层水平位错产生的影响。因此，选择断层竖向位错分量为变量，研究不同竖向位错对隧道衬砌的变形与受力影响。基于前述分析模型，通过数值模拟得到了逆断层位错竖向分量分别为10，20，30，40和50 cm时衬砌的数值计算结果，并据此就竖向位移及衬砌结构纵向应力进行分析。
2.1 竖向位移分析
倾角为30°的逆断层，其竖向位错分量为50 cm时，断层和衬砌放大15倍的竖向位移云图如图3所示。由图3可知，隧道在逆断层错动作用下，衬砌结构沿纵向产生“S”状弯曲变形。为分析衬砌竖向位移在不同纵向距离下的变化规律，选取衬砌顶部为分析对象。倾角为30°的逆断层在不同位错下衬砌顶部的竖向位移量曲线，如图4所示。可以看出，上盘衬砌的竖向位移量随着位错量的增加逐渐增大，衬砌在上盘内发生相对竖向位移较大，当位错竖向分量为50 cm时，衬砌最大竖向位移为53.1 cm；而衬砌在下盘内发生竖向位移较小，距断层一定范围以外竖向位移降为0。
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图 3 断层（a）和衬砌（b）竖向位移云图Figure 3. Vertical displacement nephogram of fault （a） and lining （b）![]()
图 4 逆断层倾角为30°时不同竖向位错分量的衬砌竖向位移Figure 4. Vertical displacement curves of lining with different vertical dislocation components at 30° dip angle of reverse fault为对比不同倾角逆断层错动作用下衬砌竖向变形特点，分别选取倾角为45°和60°的逆断层衬砌顶部作为分析对象。图5a，b分别为45°和60°倾角逆断层在不同位错下衬砌顶部的竖向位移量曲线。从图中可以看出，衬砌变形特征与30°倾角的逆断层相同：衬砌在上盘内发生相对竖向位移的范围较大，在下盘内发生竖向位移的范围较小，衬砌总体沿纵向发生“S”状弯曲变形。
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图 5 逆断层倾角为45° （a）和60° （b）时不同竖向位错分量的衬砌竖向位移Figure 5. Vertical displacement curves of lining with different vertical dislocation components at 45° （a） and 60° （b） dip angle of reverse fault2.2 衬砌结构纵向应力分析
倾角为30°的逆断层位错其竖向分量为50 cm时衬砌结构的纵向应力，如图6所示。从图中可以看出，纵向应力集中分布在破碎带附近拱顶和拱底位置，因此选取拱顶和拱底作为分析对象。
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图 6 倾角为30°的逆断层竖向位错为50cm时的衬砌纵向应力云图Figure 6. Longitudinal stress nephogram of lining with vertical dislocation of 50 cm in 30° dip reverse fault衬砌顶部与底部所受拉压应力分布相反（图7），且顶部所受拉应力和压应力都大于底部，说明逆断层位错下拱顶更易受损。由衬砌所受拉压应力分布区间及最大值（表2）可以看出，衬砌顶部和底部的共同特点为：拉压应力主要分布在断层两侧各50 m区间内，压应力大于拉应力，且拉压应力最大值均随位错竖向分量的增加而增加。
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图 7 不同竖向位错作用下衬砌纵向应力曲线纵坐标为正值表示拉应力，为负值表示压应力（a） 逆断层倾角为30°；（b） 逆断层倾角为45°； （c） 逆断层倾角为60°；Figure 7. Longitudinal stress curves of lining under different vertical dislocationsTensile stress is indicated when longitudinal stress is positive，and negative denotes compressive stress （a） The dip angle of reverse fault is 30°；（b） The dip angle of reverse fault is 45°；（c） The dip angle of reverse fault is 60°表 2 拉压应力分布区间和最大值Table 2. Range and maximum value of tensile and compressive stress distribution断层倾角/° 衬砌位置 受拉区间/m 拉应力最大值/MPa 受压区间/m 压应力最大值/MPa 30 顶部 400—440 41 440—500 123 底部 460—500 23 400—460 101 45 顶部 400—440 47 440—500 167 底部 460—500 29 400—460 118 60 顶部 400—440 46 440—500 143 底部 460—500 34 400—460 108 3. 相同竖向位错量不同倾角下模拟结果
为了进一步分析相同竖向位错量不同倾角下衬砌结构变形与受力特征，本节以断层位错竖向分量为50 cm，断层倾角分别为30°，45°，60°为例，分析了衬砌结构的变形与受力随倾角而变化的特征。
1） 竖向位移分析。当断层位错竖向分量相同时，衬砌最大竖向位移随倾角的减小而增加（图8a），倾角为60°，45°和30°时断层对应的最大竖向位移值分别为50.5，52.2和53.1 cm，其主要原因为断层位错竖向分量一定时，倾角越小断层沿滑动面方向的总位错越大，从而导致衬砌变形增大。
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图 8 竖向位错为50 cm时不同倾角逆断层作用下衬砌的竖向位移曲线（a）和纵向应力曲线（b）Figure 8. Vertical displacement curves （a） and longitudinal stress curves （b） of lining under the action of reverse faults with different dip angles when the vertical dislocation is 50 cm2） 隧道衬砌结构纵向应力分析。断层位错竖向分量为50 cm，不同断层倾角下衬砌顶部及底部纵向应力如图8b所示，从图中可以看到衬砌受力范围基本不受倾角影响，拉压应力值变化范围主要分布在断层两侧各50 m的区间内。倾角为45°的逆断层拱顶拱底压应力值均为最大，拱顶拉应力最大值不随倾角变化而变化，拱底拉应力最大值随倾角增大而增大。
4. 讨论与结论
本文通过数值模拟得到了不同位错量条件、不同倾角的逆断层对隧道工程结构的受力情况，并分析得到如下主要结论：
1） 逆断层错动会引起隧道衬砌结构沿纵向“S”状弯曲变形，倾角为30°，45°和60°，竖向位错分别为10，20，30，40和50 cm时，衬砌竖向位移随着位错量的增加逐渐增大。衬砌在上盘内发生相对竖向位移的范围较大，而衬砌在下盘内发生竖向位移的范围较小。
2） 衬砌顶部与底部受到的拉应力和压应力分布相反，即在上盘衬砌顶部受拉应力作用，底部受压应力作用，而在下盘衬砌顶部受压应力作用，底部受拉应力作用。衬砌顶部和底部所受压应力均大于拉应力，且拉压应力均随位错竖向分量的增加而增大；衬砌顶部所受拉应力和压应力都大于衬砌底部。
3） 竖向位错相同条件下，倾角越小，衬砌最大竖向位移越大；倾角改变不影响纵向应力分布范围，纵向应力变化范围主要分布在断层两侧各50 m区间内。
基于本文得出的结论，针对衬砌弯曲变形以及断层附近纵向应力变化急剧现象，可在穿越断层地区隧道施工时可在断层破碎区段设置柔性接头。柔性接头作用在于将衬砌分段，限制变形和内力的传递，同时衬砌纵向变形可由柔性接头的转动和拉伸吸收，减小隧道结构变形。
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图 1 华北地区自由重力异常场
图中地震事件为中国地震台网中心记录的2012年5月至2019年1月期间的MS≥4.0地震
Figure 1. Free gravity anomaly field in North China
The figure shows the MS≥4.0 events recorded by the China Earthquake Networks Center from May 2012 to January 2019
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图 2 不同插值法网格化结果对比
（a） 仿真重力异常场；（b） 反距离加权法插值结果；（c） 最小曲率法插值结果；（d） 最小二乘配置法插值结果
Figure 2. Comparison of meshing results of different interpolation methods
（a） Simulated gravity anomaly field；（b） Inverse distance weighting interpolation results；（c） Minimum curvature interpolation results；（d） Least squares collocation interpolation results
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图 3 不同插值法残差影像图
（a） 最小二乘配置法；（b） 最小曲率法；（c） 反距离加权法
Figure 3. Images of residuals for different interpolation methods
（a） Least squares collocation method；（b） Minimum curvature method；（c） Inverse distance weighting method
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图 4 不同插值法不同水平噪声对应的残差标准差
Figure 4. Residual standard deviation corresponding to different levels of noise for three interpolation methods
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图 5 采用T-R协方差函数所得的最小二乘配置参数拟合结果
（a） 协方差函数拟合结果图；（b） 参数A对协方差函数的影响；（c） 参数r′对协方差函数的影响；（d） 参数n对协方差函数的影响
Figure 5. Least-squares collocation parameter fitted by T-R covariance function
（a） Result by fitting covariance function；（b） The effect of parameter A on the covariance function；（c） The effect of parameter r′ on the covariance function；（d） The effect of parameter n on the covariance function
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图 6 基于不同插值法的重力场模型对比
（a） 自由空气重力异常场；（b） 最小曲率法插值结果；（c） 反距离加权法插值结果；（d） 最小二乘配置法插值结果
Figure 6. Comparison of gravity field models bassed on different interpolation method
（a） Free air gravity anomaly field；（b） Interpolation result of minimum curvature method；（c） Interpolation result of inverse distance weighting method；（d） Interpolation result of least square collocation method
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图 7 不同插值方法的残差影像图
（a） 最小二乘配置法；（b） 最小曲率法；（c） 反距离加权法
Figure 7. Images of residuals of different interpolation methods
（a） Least square collocation method；（b） Minimum curvature method；（c） Inverse distance weighting method
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