A matching method of ground-motion response spectrum and the peak displacement based on the wavelet function
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摘要: 采用数值方法合成地震动时，除对反应谱拟合外，对峰值位移的拟合和天然地震动非平稳特性的模拟也具有重要的意义和工程应用前景。本文基于小波函数的拟合方法，提出了一种能够同时合成目标反应谱和峰值位移的地震动加速度时程。数值算例表明：该方法具有较快的收敛速度，可用较少的迭代运算实现对目标反应谱和目标峰值位移的较高精度拟合；相较于现有的其它拟合方法，由于所构造的小波函数具有时域局部特点，该方法合成的地震动能够较好地保留天然地震动的非平稳特性。Abstract: When using numerical methods to synthesize ground motions, in addition to fitting the response spectrum, the fitting of peak displacements and the simulation of the non-stationary characteristics of natural ground motions also have important significance and engineering application prospects. Based on the wavelet function fitting method, this paper proposes a ground motion acceleration time history that can synthesize the target response spectrum and peak displacement at the same time. Numerical calculation examples show that this method has a faster rate of convergence, and can achieve a higher precision fitting of the target response spectrum and target peak displacement through less iterative calculations. Moreover, compared with other existing methods, the ground motion synthesized by this method can retain the non-stationary characteristics of natural ground motion, due to the local characteristics of wavelet function in time domain.
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Keywords:
- ground motion /
- peak displacement /
- response spectrum /
- non-stationary characteristics /
- synthesize
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引言
依据Reid （1910）提出的弹性回跳理论，断层源上强震的复发满足准周期性模型。我国的海原断裂带、可可托海—二台断裂带、鲜水河断裂带、小江断裂带的古地震和历史地震资料均显示出强震的周期性复发行为，因此特征地震的复发行为是普遍的（宋方敏等，1998）。特征地震具有原地复发、震级相近、位错和破裂尺度大致相同的特点（Schwartz，Coppersmith，1984）。现如今特征地震和准周期复发模型是活动断裂强震危险性评价的重要理论基础。然而，大多数活动断裂上地震的复发间隔并不满足准周期性，而是表现为复发间隔的变化。从本文搜集到的45条活动断层古地震复发间隔的统计来看，经无量纲标准化处理（间隔/均值）的复发间隔分布在0.26—2.95之间，具有较大的不确定性，但是复发间隔数据的分布又大致满足正态分布（图1）。这一统计结果与前人的统计结果是一致的（Nishenko，Buland，1987）。可见，大型活动断裂上强震的复发行为介于完美周期性与完全随机性之间，为此，概率方法被用于当前活动断裂未来强震危险性的评价，诸如正态分布、对数正态分布、伽玛（Gamma）分布、韦伯（Weibell）分布等多种概率分布模型被用于表达强震复发间隔的概率分布特征，其中，考虑随机扰动的布朗过程时间（Brownian passage time，简写为BPT）模型是Ellsworth等（1999）和Matthews等（2002）在弹性回跳理论基础上提出的具有一定内在物理基础的强震复发模型，该模型随着美国加州地震概率工作组（Working Group on California Earthquake Proba-bilities，简写为WGCEP）在对加州地区未来30年强震发生概率评价工作中的使用（WGCEP，1999）逐步得到广泛重视；WGCEP （2003， 2007）在其后续工作中时间相关的地震复发模型更是只采用BPT模型，而放弃了其它模型，BPT模型因而成为用于断层强震复发概率评估最重要的模型。
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图 1 古地震复发间隔T/Tave直方图Figure 1. The T/Tave histogram of the recurrence interval for paleo-earthquake events强震概率危险性评估假定某条大型活动断裂复发间隔的概率密度分布函数为f （t），前一次地震发生至今的时间为离逝时间Te，则该断裂上未来时段ΔT内发生强震的概率P随着Te而变化，表示为（Wesnousky，1986）
$P\left({{T_{\rm{e}}}, \Delta T} \right) \text{＝} \frac{{\int_{{T_{\rm{e}}}}^{{T_{\rm{e}}} + \Delta T} {f\left(t \right){\rm{d}}t} }}{{1 - \int_0^{{T_{\rm{e}}}} {f\left(t \right){\rm{d}}t} }}\text{.}$
(1) BPT模型认为断层构造应力（或地震矩）在加载过程中会受到一些随机事件的干扰，整个过程表现为一种稳定加载附加布朗扰动的随机过程。复发间隔数据服从双参数的逆高斯分布，其概率密度函数为
$f\left(t \right) \text{＝} \sqrt {\frac{\mu }{{2{\rm{\pi }}{\alpha ^3}{t^3}}}} \exp \left[ { - \frac{{{{\left({t - \mu } \right)}^2}}}{{2{\alpha ^2}\mu t}}} \right]{\text{，}}$
(2) 式中：μ为断层上强震的平均复发间隔；α为平均复发间隔变异系数，即α越大表示随机干扰对复发间隔的周期性影响越大，α越小表示随机干扰越少，周期性越明显。一个完全没有随机干扰的规则地震序列的复发间隔变异系数α为0。
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然而Ellsworth等（1999）的研究在合成地震序列的过程中并未考虑实测地震序列的α值与其地震事件数目的对应关系，针对这一问题，郭星和潘华（2015）利用蒙特卡洛方法对地震序列中不同样本量统计得到的α值与真实值的偏差进行了定量化研究，最终也得到一个通用的变异系数值α=0.34。该值考虑了不同复发间隔数据序列样本量的多寡对于统计可靠性的影响差异。
通用变异系数值较好地解决了单条断层样本量不足无法得到变异系数值的问题，但是所有活动断层选择一个通用的变异系数值，尽管能够满足单条断层强震复发概率模型的构建需求，但却无法体现断裂复发行为的差异性。实际上，断裂复发行为呈现如此大的不确定性，正是断裂活动的差异性所致，不同断裂活动的运动学和动力学特性往往具有很大差异，不同活动断裂的地震构造条件及其与周边活动断层的交互影响也大不相同。忽略这些具体构造条件，无疑会对强震概率危险性评价的合理性产生影响。
为此，本文拟针对通用变异系数在具体断裂复发间隔概率分布模型中的合理应用进行研究和探讨，以期在联合断裂样本解决通用变异系数统计问题的同时，寻找更为合理地应用通用变异系数解决具体断裂构造复发行为差异表述的可行途径，改进断裂强震危险性概率评价。
1. 复发间隔变异系数的计算
1.1 数据选择
在复发间隔变异系数的估算过程中，若某条断层上的历史地震（或古地震）数据很多，则可以利用统计方法得到该条断层的变异系数；但实际上，在地震序列的选择过程中，地震序列中地震事件的数目往往都比较少，一般来说，对于包含3个或3个以上的地震事件的地震序列，我们才可以同时估计其复发间隔均值和变异系数。Ellsworth等（1999）选取了震级范围为M0.7—9.2的37个地震序列，其中包含一些中小震级的地震。郭星和潘华（2015）的研究则剔除了Ellsworth等（1999）样本集中的小震序列，同时还增加了一些我国的板内强震序列。
为减少地震序列之间的差异，同时考虑到中小地震受周围地震活动的影响较大，本文选取了我国45个板内强震序列，每个序列的地震事件均不少于3个，具体资料列于表1。
1.2 统计计算
根据最大似然估计法，平均复发间隔μ和相邻地震事件间隔的变异系数α为
$\mu \text{＝} E\left[ {{{{T}}_i}} \right], $
(3) $\alpha _i^2 \text{＝} \mu E\left[ {\frac{1}{{{{{T}}_i}}}} \right] \text{－} 1, $
(4) 式中，Ti为每个地震序列中相邻地震事件的时间间隔，大部分相邻古地震事件的时间间隔均会有一些不确定性。表1 中所有断层源的Ti取值为复发间隔不确定性的中值。利用上式计算得到地震序列的αi值处于0.12—0.79的范围内，如图2所示。
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图 2 复发间隔变异系数α的频率直方图Figure 2. Frequency histogram for aperiodicity parameter α of the recurrence interval首先按样本量对不同地震序列的αi进行分组，然后进行均值标准化处理得到αj，标准差为0.16，最后对具有相同样本量的不同地震序列的样本数Nj统计加权平均，即可得到通用的变异系数值αc，
$\alpha _{\rm c}^2 \text{＝} \frac{{\alpha _1^2 {N_1} \text{＋} \alpha _2^2 {N_2} \text{＋} \cdots \text{＋} \alpha _j^2 {N_j}}}{{{N_1} \text{＋} {N_2} \text{＋} \cdots \text{＋} {N_j}}}. $
(5) 通过搜集到的我国大陆内45条断裂上的古地震序列，由上式计算得到一个通用的变异系数αc约为0.37，该值接近于郭星和潘华（2015）所得的通用变异系数值0.34，而小于Ellsworth等（1999）所取的0.5，这说明去掉小地震序列，只分析强震序列时的变异系数偏小，即强震的特征性和周期性更明显。
表 1 45条活动断裂带的古地震数据资料及其变异系数Table 1. Paleo-earthquake data of 45 active faults and corresponding aperiodicitiy parameters编号 断层分段 平均复发
间隔μ归一化
Ti/μ变异系数αi 断层长
度/km滑移速率
/（mm·a−1）断层类型 参考文献 F1 西秦岭北缘断裂鸳凤段 3 922 1.274 9 0.30 75 1.89 左旋走滑 滕瑞增等（1994），张波（2012） 0.637 4 1.087 7 F2 西秦岭北缘断裂黄香沟段 2 463 1.457 3 0.26 72 2.3 左旋走滑 1.165 1 0.759 9 0.860 5 0.757 1 F3 海原断裂带南、西华山段 1 06 0 0.754 7 0.43 73 4.74 左旋走滑 张培震等（2003） 0.669 8 0.575 5 1.707 5 1.292 5 F4 海原断裂带哈思山—
马厂山段（西段）1 927 1.131 5 0.13 100 5.00 左旋走滑 1.043 3 0.8253 F5 榆木山北缘断裂西段 2 177 0.643 2 0.37 50 1.50 逆断层 陈柏林等（2007），金卿等（2011） 1.516 1 0.840 7 F6 榆木山东缘断裂上龙王段 3 350 0.567 2 0.48 25 1.10 逆断层 邹谨敞等（1993） 1.432 8 F7 皇城—双塔断裂上寺段 3 808 1.129 2 0.13 36 2.10 逆断层 王永成和刘百篪（2001） 0.871 1 F8 昌马断裂 3 101 1.260 9 0.23 60 2.71 左旋走滑 康来迅（1986），罗浩等（2013） 0.722 3 1.016 4 F9 肃南断层中段 750 0.693 3 0.32 80 3.00 逆断层 刘百篪等（2008） 1.306 7 F10 冷龙岭断裂西段 1 364 1.375 4 0.21 69 4.09 左旋走滑 李正芳等（2012） 0.843 1 0.982 4 0.799 1 F11 鄂拉山断裂 2 475 1.010 1 0.37 207 2.23 右旋走滑 袁道阳等（2004） 1.616 2 0.767 7 0.606 1 F12 罗山东麓断裂 2 584 1.238 4 0.28 60 右旋走滑 闵伟等（1993） 0.657 9 1.103 3 F13 老虎山毛毛山断裂
（老虎山段）1 150 1.321 8 0.24 78 4.82 左旋走滑 刘小凤等（1994） 0.852 1 0.826 1 1.043 5 0.913 0 1.043 5 2. 变异系数与断层参数的相关性
变异系数反映的是强震复发间隔的非周期性，其产生原因主要是地震孕育过程中所受到的各种随机干扰。不同断层源的地震构造条件以及所受到的随机干扰并不相同，其强震复发间隔变异系数也应该不同。但囿于缺乏数据，统计确定每条断层的复发间隔变异系数不可能实现，因此，本文探讨是否可以将断裂进行适当的划分，并基于此考察变异系数是否存在变化的趋势与规律，据此改善断裂复发间隔概率分布模型。
鉴于本文所搜集到的45条断层上发生的地震序列的断层源参数之间差异很大，下面将讨论变异系数α与活动断层参数（长度、类型、滑动速率）之间的关系，其中断层长度被认为与发震断层的厚度有关，而断层类型和滑动速率与断层破裂过程中的运动形式有关。
引入皮尔逊（Pearson）相关系数来表述变量之间的相关性，皮尔逊相关系数由两个变量的协方差除以两个变量的标准差得到。由协方差和标准差的定义可知，皮尔逊系数介于−1与1之间，当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或−1；当一个变量增大，另一个变量也增大时，表明二者之间是正相关，相关系数大于0；当一个变量增大，另一个变量却减小，表明二者之间是负相关，相关系数小于0；若相关系数等于0，表明它们之间不存在线性相关关系。
变异系数α与对应断层源长度l之间的皮尔逊相关系数rαl为
${r_{\alpha l}} \text{＝} \frac{{\sum\limits_{i \text{＝} 1}^n {\left( {{\alpha _i} \text{－} \bar \alpha } \right)( {{l_i} \text{－} \bar l } \, )} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i\text{＝}1}^n {{{\left( {{\alpha _i} \text{－} \bar \alpha } \right)}^2}} } \sqrt {\sum\limits_{i\text{＝}1}^n {{{( {{l_i} \text{－} \bar l } \, )}^2}} } }},$
(6) 式中，n为α和l的样本量。为了避免可能存在的异常值对统计结果的影响，本文对n个数据的原始数据重新采样，n次采样每次取n－1个子样本，这样对子样本的统计学处理结果比从完整的数据集计算得到的统计学参数（平均值、标准差、相关系数）能更好地反映数据集的总体特征信息。本文对数据进行1 000次重采样的结果显示，重采样数据的皮尔逊相关系数呈明显的高斯分布，取其平均值得到变异系数α与断层长度l的皮尔逊相关系数，其有效估计仅为0.251 6，即对本文搜集到的我国大陆内45条断裂上的古地震序列进行分析的结果是变异系数α与断层长度之间无明显的相关关系（图3），同样可能由于不同断层类型的数据偏少，断层类型与变异系数α之间也未呈明显的相关性，如图4所示。
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图 3 断层长度l与变异系数α 之间的关系Figure 3. Relation between fault length l and aperiodicity parameter α![]()
图 4 断层类型与变异系数α 之间的关系Figure 4. Relation between fault type and aperiodicity parameter α为了更加准确地评估α与断层参数之间的相关关系，本文对我国大陆内45条断裂上的古地震序列分析可知，其中30条断层的长度集中在100 km以内。由于本文所统计的断层长度侧重于表示活动断层可以孕育大地震的发震断层，而非大地震发生后断层破裂的整体长度，且长度大于100 km的活动断层数据量较少；再考虑到活动断层的研究程度，本文按照上述方法对断层的长度集中于100 km以内的地震序列作相同的相关性检验，得到变异系数α与断层长度l的皮尔逊相关系数的有效估计为−0.418 2，显示为负相关，为中等程度相关（图5）。同理可得到变异系数α与断层滑移速率v的皮尔逊相关系数的有效估计为−0.4736，显示为负相关，也为中等程度相关（图6），这表明随着断层滑移速率和长度的增大，变异系数α有减小的趋势，这也符合Wesnousky （1986）的断层演化模型：长距离和高滑移速率的活动断层，其断层线比较平滑，即活动断层的“成熟程度”较高，强震复发的特征性和周期性较稳定。
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图 5 断层长度（≤100 km）与变异系数α 之间的关系Figure 5. Relation between fault length （≤100 km） and aperiodicity parameter α![]()
图 6 断层滑移速率与变异系数α 之间的关系Figure 6. Relation between horizontal sliding rate and aperiodicity parameter α为解决单个断层源上重复发生地震的历史数据稀少的问题而假定所有断层源上的强震复发间隔具有一个相同的变异系数，显然缺乏可靠的科学依据，所以加州概率工作组（WGCEP，2003）在使用Ellsworth等（1999）统计得到的变异系数通用值（α＝0.5）时，采用对不同α进行加权平均，即α （权值）为0.3 （0.2），0.5 （0.5），0.7 （0.3）；但由于该办法没有明确的物理意义，其效果实际上与取通用值（α＝0.5）几乎没有差别。根据本文的上述分析，考虑在对活动断层作概率地震危险性评估时，对变异系数进行适当的调整。本文提出利用上述计算得到变异系数αj的标准差，对通用变异系数αc＝0.37作一倍标准差（0.16）运算，将其应用于具有巨大差异的地震序列。具体而言，当活动断层的“成熟程度”较高，即强震复发的特征性和周期性较稳定时，选择对αc少一倍标准差（0.37－0.16＝0.21）作为通用变异系数；当活动断层的“成熟程度”相对较高，即强震复发的特征性和周期性相对较稳定时，选择αc＝0.37作为通用变异系数；当活动断层的“成熟程度”不高，即强震复发的特征性和周期性一般时，选择对αc多一倍标准差（0.37＋0.16＝0.53）作为通用变异系数。
3. 讨论与结论
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根据上述结论，本文利用经均值标准化的变异系数αj，对通用变异系数（αc＝0.37）作一倍标准差运算，并提出以下建议：① 若所评估断层的特征性很明显，断层活动受外界干扰很小，可以选择αc少一倍标准差（αc＝0.21）作为通用变异系数；② 若所评估断层的特征性相对明显，断层受周边地质构造影响不是很清楚，可以选择αc＝0.37作为通用变异系数；③ 若所评估断层的特征性一般，周边有其它多条活动断层及其它外界干扰，可以选择αc多一倍标准差（αc＝0.53）作为通用变异系数。 但实际应用中对活动断层的分类以及变异系数的选择，还需要进一步研究。
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图 1 初始地震动加速度（a）、速度（b）及位移（c）时程
Figure 1. The initial ground-motion acceleration （a），velocity （b） and displacement （c） time histories
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图 2 用于调整初始地震动的增量小波函数
（a） 增量位移时程；（b） 增量速度时程；（c） 增量加速度时程
Figure 2. Incremental wavelet function for adjusting initial ground motion
（a） Incremental displacement time history；（b） Incremental velocity time history；（c） Incremental acceleration time history
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图 3 调整后的初始地震动时程
（a） 加速度时程；（b） 速度时程；（c） 位移时程.Dm 为调整后峰值位移，下同
Figure 3. Adjusted initial ground-motion time history
（a） Acceleration time history；（b） Velocity time history； （c） Displacement time history. Dm represents adjusted peak ground displacement，the same below
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图 4 初始地震动加速度（a）、位移（b）时程与调整后比较
Figure 4. Comparison of the initial ground-motion acceleration （a），displacement （b） time histories with the modified ones
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图 5 Maslak台站记录土耳其MW7.5地震的地震动加速度（a）、速度（b）和位移（c）时程
Figure 5. The ground-motion acceleration （a），velocity （b） and displacement （c） time histories of the MW7.5 earthquake in Turkey recorded by the station Maslak
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图 6 Maslak台站第一组（a）和第二组（b）设计地震动的加速度、速度和位移时程
Figure 6. Group 1 （a） and group 2 （b） design ground motion acceleration，velocity and displacement time histories curves of the station Maslak
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图 7 设计地震动加速度反应谱与目标谱的比较
（a） 加速度反应谱Sa；（b） Maslak台站记录的相对误差er
Figure 7. Comparison of target spectrum and design ground motion acceleration spectra
（a） Acceleration spectrum Sa；（b） Relative errorer er of the records by the station Maslak
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图 8 Maslak台站记录拟合精度与迭代次数的变化关系
Figure 8. Relationship between matching precision and iteration number of the records by the station Maslak
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图 9 CHY088台站记录到的集集MW6.2地震的地震动加速度（a）、速度（b）和位移（c）时程曲线
Figure 9. The ground-motion acceleration （a），velocity （b） and displacement （c） time histories of the MW6.2 Jiji earthquake recorded by the station CHY088
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图 10 CHY088台站第一组（a）和第二组（b）的设计地震动加速度、速度和位移时程
Figure 10. Group 1 （a） and group 2 （b） design ground motion acceleration，velocity，and displacement time histories curves of the station CHY088
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图 11 设计地震动加速度反应谱与目标谱的比较
（a） 加速度反应谱Sa；（b） CHY088台站记录的相对误差 er
Figure 11. Comparison of target spectrum and design ground motion acceleration spectra
（a） Acceleration spectrum Sa；（b） Relative errorer er of the records by the station CHY088
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图 12 CHY088台站记录的拟合精度与迭代次数的变化关系
Figure 12. Relationship between matching precision and iteration numbers of the records by the station CHY088
表 1 本文所用强震观测记录的基本信息
Table 1 Fundamental information on the strong-motion observation recordings used in this paper
发震日期 地震名称 台站名称 MW 震中距/km 分量 1999-08-17 土耳其地震 Maslak 7.5 90.74 EW 1999-09-20 中国台湾集集地震 CHY088 6.2 48.87 EW 
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表 2 以Maslak台站记录作为初始地震动的待拟合的目标参数
Table 2 The target parameters to be matched with the records of the station Maslak as the initial ground-motion
分组 PGA/g PGV/（m·s−1） PGD/m 第一组 0.22 0.04 0.06 第二组 0.22 0.04 0.03
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表 3 以CHY088台站记录作为初始地震动时程待拟合的目标参数
Table 3 The target parameters to be matched with the records of the station CHY088 as the initial ground-motion
分组 PGA/g PGV/（m·s−1） PGD/m 第一组 0.22 0.03 0.03 第二组 0.22 0.03 0.015
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