The mass property model and its implementation in the time-domain spectral element method
-
摘要: 研究了构建时域谱单元质量特性模型的数学机制，针对时域切比雪夫谱单元和勒让德谱单元建立了一种直接导出谱单元一致质量矩阵和集中质量矩阵的统一数学方法，对比分析两种谱单元质量特性模型的特征，并从物理角度探讨了谱单元质量特性模型的合理性。研究表明，数值积分点与谱单元节点选取是否一致是决定时域谱单元形成一致质量模型或集中质量模型的根本原因，当采用高斯-勒让德积分计算谱单元质量模型时将导出一致质量矩阵，而采用高斯-洛巴托积分则导出集中质量矩阵。而集中质量模型更具有物理合理性，两种谱单元质量特性模型优劣相当，均可取得很好的动力问题分析结果。Abstract: The mathematical mechanism of constructing mass property model for the time-domain spectral elements is studied in this paper. A unified mathematical method for directly deriving consistent and lumped mass matrix is established for the time-domain Chebyshev and Legendre spectral elements. The characteristics of two mass property models of the spectral elements are analyzed through comparison. Meanwhile, the rationality of mass property model of spectral element is discussed from physical perspective. This study reveals that the formation of consistent or lumped mass matrix in time-domain spectral elements depends on whether the quadrature points are coincident with the element nodes or not. To be specific, the Gauss-Legendre quadrature results in consistent mass matrix for spectral elements, and the Gauss-Lobatto quadrature leads to lumped mass matrix. The lumped mass matrix is more reasonable in physics. The two mass property models of spectral elements have comparable performance and they can both achieve good results for dynamic problems.
-
引言
地震预警是在地震发生以后，地震波传播到设防地区前，向设防地区提前几秒至几十秒发出的警报，可减轻当地的灾情（张晁军等，2014；郭凯等，2016）。实时估计地震动强度信息的准确性和时效性，成为地震预警的主要研究内容之一（冯继威，2019）。Kanamori （2005）分析了P波平均周期τc 与地震震级M的关系。赵岑（2013）使用与地震动强度有关的特征参数如
$ {\tau }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $ ，位移幅值Pd和τc，利用统计回归方法进行地震峰值加速度（peak ground acceleration，缩写为PGA）和峰值速度（peak ground velocity，缩写为PGV）的实时预测。Iervolino等（2006）提出一种基于贝叶斯条件概率分布理论的地震预警震级预测方法，将意大利南部坎帕尼亚地区的历史地震活动性信息和台站记录的实时波形信息应用于地震震级计算中。武俊奇（2016）应用贝叶斯方法分别对Pd，Pa，Pv等地震动参数与PGV的关系予以分析。但只依靠单一的地震动强度参数，难以评估地震的危害性（周银兴等，2015）。需要研究基于多参数的地震危害性评估方法,为此本文应用贝叶斯理论，通过统计四川地区历史地震活动信息，利用古登堡−理查德（Gutenberg-Richter，缩写为G-R）关系得到先验概率分布，结合地震P波平均周期τc和位移幅值Pd，对震级和后续峰值加速度进行预测，并应用四等级划分方法完成对地震危害性联合判别。根据地震危害性等级给出相应的地震预警，以降低地震预警的漏报率与误报率。1. 地震数据选取和预处理
选取四川地区2008年汶川MS8.0和2017年九寨沟MS7.0两次地震的主震及其余震（震级范围MS3.5—8.0）记录（中国地震台网中心，2020），按以下标准对地震数据进行处理与筛选：
1） 选取震源深度25 km以内、震中距100 km以内的强震数据；
2） 对所有数据应用短长时窗均值之比（short term average to long term average，缩写为STA/LTA）和赤池信息准则（Akaike information criteria，缩写为AIC）相结合的方法进行P波到时自动拾取，同时对P波拾取进行人工校正；
3） 先对加速度记录进行基线校正；再对加速度记录进行积分得到速度记录和位移记录；最后进行0.075 Hz巴特沃斯高通滤波，以消除积分带来的低频漂移现象；
4） 计算时地震记录需要满足一定的信噪比要求，即选取P波触发后3 s内的速度幅值大于0.05 cm/s作为信噪比的选取标准筛选数据，并对所选记录进行降噪处理，以降低加速度记录的高频干扰。
经过上述处理，最终筛选出了355条地震数据，震中位置和震级、震中距及地震频次的分布情况如图1所示。
![]()
图 1 选取地震的震中（a）和震中距、震级及地震记录数（b）的分布Figure 1. Locations of earthquakes （a） and the number of earthquakes corresponding to different magnitudes and epicentral distances （b）2. 传统震级与峰值加速度的计算方法
传统震级与峰值加速度PGA通过各自拟合关系式，利用P波平均周期τc和位移幅值Pd分别带入拟合关系式进行计算。
2.1 利用平均周期τc计算震级
利用平均周期τc计算震级是目前地震预警系统中经常使用的一种震级预测方法，即通过建立P波前几秒内的τc与震级的线性统计关系，进行震级估算（Kanamori，2005；Zollo et al，2010；赵岑，2013；郝美仙，2020）。τc的计算公式如下：
$${\tau _{\rm{c}}} {\text{＝}} \frac{{2\pi }}{{\sqrt r }}{\text{，}}$$ (1) 其中
$$r {\text{＝}} \frac{{\displaystyle\int_0^{{\tau _0}} {\mathop {{{\dot u}^2}\!\!\!\!{\text{（}}\!t\!{\text{）}}\!\!\!\!{\rm{d}}t}\limits } }}{{\displaystyle\int_0^{{\tau _0}} {\mathop {{u^2}\!\!\!\!{\text{（}}\!t\!{\text{）}}\!\!\!\!{\rm{d}}t}\limits } }}{\text{，}} $$ (2) 式中：
$u\!\!\!\!{\text{（}}\!t\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为t时刻地震动记录的位移；$\dot{u}\!\!\!\!{\text{（}}\!t\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为t时刻地震动记录的速度，从台站触发开始计时并记为0点。对已处理的地震数据，根据式（1）求P波前3 s的τc值，建立τc与震级M的拟合关系
$${\lg }{\tau _{\rm{c}}} {\text{＝}} a M {\text{＋}} b {\text{±}} \delta {\text{，}}$$ (3) 式中，M为地震事件的震级，a，b为待拟合参数，δ为式（3）的标准差。利用最小二乘法拟合，拟合结果为：a＝0.19，b＝−1.26，δ＝0.2。
2.2 利用位移幅值Pd计算峰值加速度PGA
地震动峰值加速度PGA与地震烈度之间存在一定相关性（龙承厚等，2011；方嘉治等，2020）。分析地震危险性时，通常以台站记录地震动的PGA来估计当地可能遭受的地震灾害情况（赵岑，2013；马强等，2014）。且地震动记录的Pd与PGA存在较为良好的对数线性关系：
$${\rm{PGA}} {\text{＝}} \max [a\!\!\!\!{\text{（}}\!{t_i}\!{\text{）}}\!\!\!\!]{\text{，}} $$ (4) 其中
$$ a\!\!\!\!{\text{（}}\!{t_i}\!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} \sqrt {a_{{\rm{EW}}}\!\!\!\!{\text{（}}\!{t_i}\!{\text{）}}\!\!\!\!^2 {\text{＋}} a_{{\rm{NS}}}\!\!\!\!{\text{（}}\!{t_i}\!{\text{）}}\!\!\!\!^2 {\text{＋}} a_{{\rm{UD}}}\!\!\!\!{\text{（}}\!{t_i}\!{\text{）}}\!\!\!\!^2}{\text{，}}$$ (5) 式中：
$a\!\!\!\!{\text{（}}\!{t}_{i}\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为ti时刻三个方向的合成加速度记录；$a_{\mathrm{E}\mathrm{W}} \!\!\!\!{\text{（}}\!{t}_{i}{\!{\text{）}}\!\!\!\!}$ ，$a_{\mathrm{N}\mathrm{S}}\!\!\!\!{\text{（}}\!{t}_{i}{\!{\text{）}}\!\!\!\!}$ 和$a_{\mathrm{U}\mathrm{D}}\!\!\!\!{\text{（}}\!{t}_{i}{\!{\text{）}}\!\!\!\!}$ 分别为$ {t}_{i} $ 时刻东西、南北和垂直向加速度记录。对于位移幅值Pd计算如下：
$${P_{\rm{d}}} {\text{＝}} \max [d\!\!\!\!{\text{（}}\!{t_i}\!{\text{）}}\!\!\!\!]{\text{，}}$$ (6) 式中，
$d\!\!\!\!{\text{（}}\!{t}_{i}\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为垂直向地震记录的位移记录，表示由P波初至点到$ {t}_{i} $ 时刻的位移序列。对已经过处理地震数据，根据式（4），（5）与（6）求得P波前3 s的PGA和Pd值，建立Pd与PGA的对数线性关系，具体形式为
$$\lg {\rm{PGA}} {\text{＝}} a \lg {P_{\rm{d}}} {\text{＋}} b {\text{±}} \delta{\text{，}}$$ (7) 式中，a和b为待拟合参数，δ为式（7）的标准差。利用最小二乘法拟合，拟合结果为：a＝0.45，b＝2.35，δ＝0.28。
3. 基于贝叶斯理论估计的震级与PGA双参数地震预警模型
3.1 基于贝叶斯理论估计的震级与PGA双参数预测
根据贝叶斯理论，应用选取的四川地区汶川MS8.0和九寨沟MS7.0两次地震主震及其余震数据，建立震级和PGA预测模型。以历史地震数据为先验信息，以P波特征信息为似然函数，将其代入贝叶斯公式中有：
$$f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\;|\;{y_{{\rm{obs}}}}\!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} \frac{{f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y_{{\rm{obs}}}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\! \cdot f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\!{\text{）}}\!\!\!\!}}{{\displaystyle\int\nolimits_{{x_{\min }}}^{{x_{\max }}} {f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y_{{\rm{obs}}}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\! \cdot f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\!{\text{）}}\!\!\!\!{\rm{d}}x} }}{\text{，}}$$ (8) 式中：
$ {y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}} $ 为地震动观测数据，在本文中为平均周期τc和位移幅值Pd；x为待求参数，在本文中为地震震级M和峰值加速度PGA；$ f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\!{\text{）}}\!\!\!\! $ 为先验概率函数，表示在地震发生以前所有可用于地震参数实时预测的信息；$f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\;|\;{y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为后验概率函数；$ f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\! $ 作为似然函数用来整合新采集到的特征参数值；${x}_{{\rm{max}}}$ 和$ {x}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $ 指研究地区可能发生地震的震级或PGA的最大值和最小值。由上式G-R关系得到先验概率函数
$$f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} \left\{ \begin{gathered} \frac{{\beta {{\rm{e}}^{ {\text{－}} \beta x}}}}{{{{\rm{e}}^{ {\text{－}} \beta {{{x}}_{\min }}}} {\text{－}} {{\rm{e}}^{ {\text{－}} \beta {x_{\max }}}}}}{\text{，}}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}{x_{\min }} {\text{≤}} x {\text{≤}} {x_{\max }}{\text{，}} \\ 0{\text{，}}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{}&{}&{} \end{array}{x_{}} \notin [{x_{\min }}{\text{，}}\!\!\!{x_{\max }}] {\text{，}} \\ \end{gathered} \right.$$ (9) 式中，β是地震大小与地震数量之比，通过统计四川地区2007—2018年M3—8.2地震记录，使用最小二乘拟合方法（李世杰，2018）计算得到β＝2.047 2。
联合概率密度分布
$f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为似然函数，即给定x时监测数据$ {y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}} $ 的条件概率密度。通过似然函数将实时采集到的信息和特征参数信息进行整合，代入贝叶斯公式，实现了似然函数根据采集的信息进行概率的实时更新。当各地震监测台站接收到的地震预警信息$ {y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}} $ 符合独立同分布的条件，t为P波到达时间，将不同台站的预警信息累乘可得$$f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y_{\rm{obs} }}|x\!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} \prod\limits_{{{k {\text{＝}} 1}}}^{{n}} {f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y_{k,t}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\!} {\text{＝}} \prod\limits_{k {\text{＝}} 1}^{{n}} {\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} {\sigma }{y_{k,t}}}}} \exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\lg {y_{k{\text{，}}\!\!\!t}} - \mu }}{\delta }} \right)}^2}} \right]{\text{.}}$$ (10) 本文研究采用单台监测原位预警信息计算。捡拾到P波初始震相到时，从中提取各种特征参数
${y}_{{\rm{obs}}}$ 统一用${y}_{1{\text{，}}t}$ 表示，由式（10）可以得出：$$f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y_{1,t}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {\sigma }{y_{1{\text{，}}\!\!\!\!t}}}}\exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\lg {y_{1{\text{，}}\!\!\!\!t}} - \mu }}{\delta }} \right)}^2}} \right]{\text{，}}$$ (11) 式中，
$f\!\!\!\!{\text{（}}\!{y}_{1,{t}}|x\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 为似然函数；$\mu$ 为${\rm{lg}}{y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}$ 均值；$\sigma$ 为${\rm{ lg}}{y}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}$ 的标准差。当地震仪器检测到有地震发生时，利用G-R关系统计历史地震信息而得出先验概率函数，只要可以提取到用于震级预测的特征参数，就可根据新提取的信息对先验概率函数进行更新，即在台站监测到P波到达之前
$f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 由G-R关系决定。当t大于P波到时tfirst，即台站记录到新信息时，$ f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\!{\text{）}}\!\!\!\!$ 的大小需要根据新信息改变为$${f_{{{t {\text{＞}} }}{{{t}}_{{\rm{first}}}}}}\!\!\!\!{\text{（}}\!x \!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} {f_{{{t {\text{－}} 1}}}}\!\!\!\!{\text{（}}\!{x\;|\;{y_{{{1{\text{，}}\!\!\!t {\text{－}} 1}}}}} \!{\text{）}}\!\!\!\!{\text{.}}$$ (12) 将式（9）和式（11）代入式（8）中，将会得到在特征参数
$ {y}_{1{\text{，}}\!\!\!\!t} $ 的信息已知情况下的后验概率密度函数，即x的概率密度值，即$$f\!\!\!\!{\text{（}}\!x\;{\rm{|}}\;{y_{1{\text{，}}\!\!\!t}}\!{\text{）}}\!\!\!\! {\text{＝}} \dfrac{{\exp \left( {\dfrac{{2\mu {\rm{lg}}{y_{1{\text{，}}\!\!\!\!t}} - {\mu ^2}}}{{2{\sigma ^2}}} + \beta x} \right)}}{{\displaystyle\int\nolimits_{{x_{\min }}}^{{x_{\max }}} {\exp \left( {\dfrac{{2\mu {\rm{lg}}{y_{1{\text{，}}\!\!\!\!t}} - {\mu ^2}}}{{2{\sigma ^2}}} + \beta x} \right){\rm{d}}x} }}{\text{.}}$$ (13) 3.2 基于贝叶斯理论的震级预测模拟
由式（3）和
${{\rm{lg}}}{\tau }_{{\rm{c}}}$ 的拟合结果可以得出${{\rm{lg}}}{\tau }_{{\rm{c}}}$ 的数学期望$\;{\mu }_{\mathrm{lg}{\tau }_{\mathrm{c}}}$ 与标准差${\sigma }_{\mathrm{lg}{\tau }_{\mathrm{c}}}$ 分别为$$ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mu _{\lg {\tau _{\rm{c}}}} } {\text{＝}} 0.19M {\text{－}} 1.26}{\text{，}} {{\sigma _{\lg {\tau _{\rm{c}}}}} {\text{＝}} 0.20} {\text{，}} \end{array}} $$ (14) 将式（14）的结果带入到式（13），即可得到该台站平均周期参数为τc， t的震级概率密度函数。
假设震级分别为M＝4，M＝5和M＝6时，根据统计关系可得τc值分别为0.316 2，0.489 8和0.758 6。将假设的三个震级代入式（13）中，得到的概率密度分布如图2所示，可以看出最大概率密度所对应的估计震级分别为3.57，4.57和5.57。对模型进行验证可知误差为0.43，这是由模型误差和计算误差引起的。通过模型验证，证明了基于贝叶斯理论可以实现预警震级预测。
3.3 基于贝叶斯理论的PGA预测模拟
由式（7）和
${{\rm{lg}}}{P}_{\mathrm{d}}$ 的拟合结果可以得到${{\rm{lg}}}{P}_{\mathrm{d}}$ 的数学期望$\;{\mu }_{\mathrm{lg}{P}_{\mathrm{d}}}$ 与标准差${\sigma }_{\mathrm{lg}{P}_{{\rm{d}}}}$ 分别为$$ \begin{split}& {{\mu _{\lg {P_{\rm{d}}}}} {\text{＝}} 2.22\lg {\rm{PGA}} {\text{－}} 5.22} {\text{，}}\\ &{{\sigma _{\lg {P_{\rm{d}}}}} {\text{＝}} 0.62} {\text{，}} \end{split} $$ (15) 将参数带入式（13），即可得到位移幅值Pd参数的预测峰值加速度概率密度函数。
假设PGA为70，80和90 cm/s2时，根据统计关系lgPd值分别为0.21，0.28和0.38。将这三个位移幅值代入式（13），得到不同lgPGA的概率密度分布如图3所示，从图3可以看出lgPGA最大概率密度分别为1.81，1.87和1.92，最大概率密度对应的PGA值分别为64.57，74.13和83.18 cm/s2。由于PGA数据离散度大，导致计算误差和模型误差也较大。
![]()
图 3 不同PGA的lgPGA概率密度分布Figure 3. Probability density distributions of lgPGA with different PGA3.4 基于双参数预测的地震判断模型
参考Zollo等（2010）的思路，建立一个区分地震大小及远近的判断模型。根据我国地震预警等级与震级和烈度的关系（宋晋东等，2018），设置震级M和PGA的预警值，可以将地震事件判别为如图4所示的四种类型，本文设置的阈值分别为M＝4.5，PGA＝120 cm/s2，图4还给出了不同地震类型的人体感觉、破坏程度和相应的地震预警措施。
4. 对比试验与分析
对已经处理的地震数据，取P波前3 s的τc 值，按照传统方法进行拟合计算，得到预测震级Mf；然后使用本文提出的基于贝叶斯理论的双参数预测模型进行震级预测，预测震级用Mb表示。最后分别将预测震级Mf和Mb与真实震级M进行离散程度和误差分布的对比分析，离散程度和误差分布如图5所示。
![]()
图 5 实际震级与传统方法预测震级Mf和基于贝叶斯理论的预测震级Mb的比较（a）及其误差分布（b）Figure 5. Comparison of value M with fitting predicted values Mf and Bayesian predictors Mb （a） and the error distribution （b） of predicted magnitude由图5a可以看出，应用贝叶斯理论预测震级的标准差比传统拟合方法得到的震级标准差降低了0.333 4，表明贝叶斯理论预测方法结果更加稳定，可信度更高。由图5b可以看出，基于贝叶斯理论的预测方法所得误差的分布范围更小，拟合精度更高，而偏离程度降低，可以为四等级判别模型提供更准确地震参数信息。
同理，通过捡拾P波到时后3 s内的Pd，根据传统拟合关系计算出PGA预测值，用PGAf表示；根据贝叶斯理论模型进行PGA预测，预测值用PGAb表示；然后分别将两种方法得到的预测值与真实PGA进行比较，其离散程度和误差分布如图6所示。图6a和图6b中绿线的斜率为1，从图中可以看出应用贝叶斯理论预测方法的结果比传统拟合方法所得PGA的标准差提高了0.403 2 cm/s2。
![]()
图 6 真实值PGA与传统拟合预测值PGAf （a）和基于贝叶斯理论的预测值PGAb（b）的比较Figure 6. Comparison of real values PGA with fitting predicted values PGAf （a） and Bayesian predictors PGAb （b）5. 讨论与结论
选取66个不同台站测得的2008年汶川MS8.0地震前3 s内的P波地震数据，分别对震级和PGA进行估计，并对地震危害性进行预测判别，由于篇幅有限，表1仅给出11个试验数据与结果的对比，台站的经纬度，用本文贝叶斯理论计算的震级和PGA，以及将基于贝叶斯理论的预测方法、传统拟合方法所得数值和真实数值分别代入本文判别模型，得到的地震危害性判别结果。全部地震危害性判别结果分布如图7所示。
表 1 实验数据与结果Table 1. Experimental data and results台站位置 贝叶斯理论预测结果 地震危害性判别结果 东经/° 北纬/° MS PGA/（cm·s−2） 贝叶斯方法 传统拟合方法 真实 102.20 29.90 7.03 79.43 大震远震 大震远震 大震远震 102.90 30.20 6.35 104.71 大震远震* 大震近震 大震近震 103.80 30.90 7.71 173.78 大震近震 大震近震 大震近震 102.90 30.10 7.11 107.15 大震远震 大震近震# 大震远震 102.20 28.30 6.91 53.70 大震远震 大震远震 大震远震 102.60 29.50 6.88 75.86 大震远震 大震远震 大震远震 102.10 29.40 6.02 69.18 大震远震 大震远震 大震远震 102.20 29.70 4.52 83.18 小震近震 小震近震 大震远震 103.50 30.60 3.00 138.04 小震近震* 小震近震* 大震近震 103.60 30.30 7.77 123.03 大震近震# 大震近震# 大震远震 102.40 29.30 7.94 85.11 大震远震 大震远震 大震远震 注：表中地震危害性判别结果中右上角标准为*的表示漏报；标注为#的表示误报。 ![]()
图 7 基于贝叶斯理论的预测方法（a）和传统拟合方法（b）所得结果与真实数据判别结果的对比Figure 7. Comparison of discrimination results by Bayesian theory method （a） and fitting method （b） with real data从表1和图7可以看出，无论是本文的基于贝叶斯理论预测方法还是传统拟合方法都存在漏报和误报现象。漏报是估计的震级和PGA比阈值小，未发出地震报警，而真实情况是震级和PGA大于阈值，应该报警。误报是估计的震级和PGA比阈值大，发出了地震报警，而真实情况是震级和PGA小于阈值，不应该报警。本次的66个实验结果中，基于贝叶斯理论的预测方法的漏报率为7.58%，误报率为6.06%；而传统拟合方法的漏报率为6.06%，误报率为21.21%。实验结果表明基于贝叶斯理论的预测方法可以根据P波到时3秒内的数据，预测出震级和PGA，并可以识别出地震的大小和远近，准确率高于传统拟合方法，可以为下一步地震警报发布和采取救援行动提供有效的决策依据。
本文提出了基于贝叶斯理论的震级和PGA双参数预警方法，对地震危害性进行四等级划分，有效地提高了预警信息准确性和可靠性。针对实时震级和PGA预测问题，首先利用P波前3秒τc和Pd分别与震级PGA进行拟合，得出经验预测公式；然后结合历史地震信息，以古登堡-里克特关系为初始先验概率，以地震台站实时记录P波到时后3秒内的τc和Pd为似然函数，实时预测震级和PGA。本文将该方法与传统拟合方法对比分析，结果显示基于贝叶斯理论的预测方法准确率更高。最后以汶川MS8.0地震为算例进行地震大小和远近的评估与判别，分析了漏报和误报情况。结果表明应用贝叶斯理论预测震级和PGA，提高了预测准确度，可以为地震危害判断模型提供更准确的评判依据。
然而本文的地震类型划分模型还不够完善，预警阈值的设定还需要结合当地地理环境特点综合考量，并非固定不变。下一步将在此基础上进行模型细化，进一步探讨可用预警时间等地震预警指标。
-
![]()
图 2 一维集中质量切比雪夫谱单元（左）和勒让德谱单元（右）质量分布特征
（a） 3节点单元；（b） 4节点单元；（c） 5节点单元
Figure 2. Mass distribution characteristics of 1-D lumped mass Chebyshev （left） and Legendre （right） spectral elements
（a） 3-node element；（b） 4-node element；（c） 5-node element
![]()
图 3 二维集中质量切比雪夫（左）和勒让德（右）谱单元质量分布特征
（a） 9节点单元；（b） 16节点单元；（c） 25节点单元
Figure 3. Mass distribution characteristics of 2-D lumped mass Chebyshev （left） and Legendre （right） spectral elements
（a） 9-node element；（b） 16-node element；（c） 25-node element
![]()
图 4 一维5节点切比雪夫谱单元一致质量模型数学图示
Figure 4. Mathematical representation for consistent mass model of 1-D 5-node Chebyshev element
![]()
图 5 一维5节点切比雪夫谱单元集中质量模型数学图示
Figure 5. Mathematical representation for lumped mass model of 1-D 5-node Chebyshev element
![]()
图 6 不同谱单元数量下简支梁的前6阶固有频率计算误差
Figure 6. Error of first six natural frequencies with different number of elements
![]()
图 9 离散化和积分过程引起的质量特性误差
Figure 9. Error in mass property caused by discretization and quadrature
表 1 GLL节点坐标和积分权系数
Table 1 Abscissas of GLL points and quadrature weights
谱单元阶次 GLL节点坐标 积分权系数 1 （−1，1） 1，1 2 （−1，0，1） 0.333 333，1.333 333，0.333 333 3 （−1，−0.447 214，0.447 214，1） 0.166 667，0.833 333，0.833 333，0.166 667 4 （−1，−0.654 654，0，0.654 654，1） 0.1，0.544 444，0.711 111，0.544 444，0.1 5 （−1，−0.765 055，−0.285 232，
0.285 232，0.765 055，1）0.066 667，0.378 475，0.554 858，
0.554 858，0.378 475，0.066 667
下载: 导出CSV
表 2 GLC节点坐标和高斯-洛巴托积分权系数
Table 2 Abscissas of GLC points and Gauss-Lobatto quadrature weights
谱单元阶次 GLC节点坐标 积分权系数 1 （−1，1） 1，1 2 （−1，0，1） 0.333 333，1.333 333，0.333 333 3 （−1，−0.5，0.5，1） 0.111 111，0.888 889，0.888 889，0.111 111 4 （−1，−0.707 107，0，0.707 107，1） 0.066 667，0.533 333，0.8，0.533 333，0.066 667 5 （−1，−0.809 017，−0.309 017，
0.309 017，0.809 017，1）0.04，0.360 743，0.599 257，
0.599 257，0.360 743，0.04
下载: 导出CSV
表 3 简支梁前6阶固有频率计算结果
Table 3 First six natural frequencies of simply supported beam
谱单元 单元阶次 固有频率 /Hz 1阶 2阶 3阶 4阶 5阶 6阶 切比雪夫
（集中质量）4 26.093 6 103.808 9 230.472 6 408.857 7 633.689 4 1 092.290 1 5 26.093 6 103.794 3 231.362 4 406.506 8 626.318 0 876.153 0 6 26.093 6 103.793 9 231.425 2 406.355 0 625.330 3 884.533 9 切比雪夫
（一致质量）4 26.093 7 103.818 0 231.485 4 410.983 5 647.442 7 1 025.303 2 5 26.093 6 103.794 3 231.453 3 406.625 7 627.393 8 887.768 5 6 26.093 6 103.793 9 231.418 6 406.356 5 625.379 6 886.020 8 勒让德
（集中质量）4 26.093 7 103.823 4 231.410 2 411.380 2 646.890 0 1 054.997 5 5 26.093 6 103.794 4 231.465 2 406.682 7 627.654 9 884.530 9 6 26.093 6 103.793 9 231.418 6 406.359 7 625.409 9 886.581 6 解析解 26.093 5 103.791 8 231.395 7 406.225 1 624.820 5 883.181 3
下载: 导出CSV
-
丁志华, 周红, 蒋涵. 2014. 三维台阶地形地震动效应研究[J]. 地震学报, 36（2）: 184-199 doi: 10.3969/j.issn.0253-3782.2014.02.004 Ding Z H, Zhou H, Jiang H. 2014. Effect of 3-D step topography on ground motion[J]. Acta Seismologica Sinica, 36（2）: 184-199 （in Chinese）. doi: 10.3969/j.issn.0253-3782.2014.02.004
韩天成, 于彦彦, 丁海平. 2020. 直下型断层的破裂速度对盆地地震效应的影响[J]. 地震学报, 42（4）: 457-470 doi: 10.11939/jass.20190177 Han T C, Yu Y Y, Ding H P. 2020. Influence of rupture velocity of the directly-beneath fault on the basin seismic effect[J]. Acta Seismologica Sinica, 42（4）: 457-470 （in Chinese）. doi: 10.11939/jass.20190177
廖振鹏. 2002. 工程波动理论导论[M]. 第2版. 北京: 科学出版社: 59–63 Liao Z P. 2002. Introduction to Wave Motion Theories in Engineering[M]. 2nd ed. Beijing: Science Press: 59–63 （in Chinese）.
王勖成. 2003. 有限单元法[M]. 北京: 清华大学出版社: 472–475 Wang X C. 2003. Finite Element Method[M]. Beijing: Tsinghua University Press: 472–475 （in Chinese）.
邢浩洁. 2017. 透射边界机理及其在地震波动谱元模拟中的应用[D]. 南京: 南京工业大学: 39–82 Xing H J. 2017. Mechanism of Transmitting Boundary and Its Application to Seismic Wave Simulation With Spectral Element Method[D]. Nanjing: Nanjing Tech University: 39–82 （in Chinese）.
Bathe K J. 2014. Finite Element Procedures[M]. 2nd ed. USA: Prentice-Hall: 476–480.
Bottero A, Cristini P, Komatitsch D, Asch M. 2016. An axisymmetric time-domain spectral-element method for full-wave simulations: Application to ocean acoustics[J]. J Acoust Soc Am, 140（5）: 3520-3530. doi: 10.1121/1.4965964
Chan H C, Cai C W, Cheung Y K. 1993. Convergence studies of dynamic analysis by using the finite element method with lumped mass matrix[J]. J Sound Vib, 165（2）: 193-207. doi: 10.1006/jsvi.1993.1253
Craig Jr R R, Kurdila A J. 2006. Fundamentals of Structural Dynamics[M]. 2nd ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons: 400–401.
Cristini P, Komatitsch D. 2012. Some illustrative examples of the use of a spectral-element method in ocean acoustics[J]. J Acoust Soc Am, 131（3）: EL229-EL235. doi: 10.1121/1.3682459
Dauksher W, Emery A F. 1997. Accuracy in modeling the acoustic wave equation with Chebyshev spectral finite elements[J]. Finite Elem Anal Des, 26（2）: 115-128. doi: 10.1016/S0168-874X(96)00075-3
Dauksher W, Emery A F. 1999. An evaluation of the cost effectiveness of Chebyshev spectral and p-finite element solutions to the scalar wave equation[J]. Int J Numer Methods Eng, 45（8）: 1099-1113. doi: 10.1002/(SICI)1097-0207(19990720)45:8<1099::AID-NME622>3.0.CO;2-5
Dauksher W, Emery A F. 2000. The solution of elastostatic and elastodynamic problems with Chebyshev spectral finite elements[J]. Comput Methods Appl Mech Eng, 188（1/2/3）: 217-233.
Duczek S, Gravenkamp H. 2019a. Mass lumping techniques in the spectral element method: On the equivalence of the row-sum, nodal quadrature, and diagonal scaling methods[J]. Comput Methods Appl Mech Eng, 353: 516-569. doi: 10.1016/j.cma.2019.05.016
Duczek S, Gravenkamp H. 2019b. Critical assessment of different mass lumping schemes for higher order serendipity finite elements[J]. Comput Methods Appl Mech Eng, 350: 836-897. doi: 10.1016/j.cma.2019.03.028
Fried I, Malkus D S. 1975. Finite element mass matrix lumping by numerical integration with no convergence rate loss[J]. Int J Solids Struct, 11（4）: 461-466. doi: 10.1016/0020-7683(75)90081-5
Hinton E, Rock T, Zienkiewicz O C. 1976. A note on mass lumping and related processes in the finite element method[J]. Earthq Eng Struct Dyn, 4（3）: 245-249. doi: 10.1002/eqe.4290040305
Hughes T J R. 1987. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis[M]. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall: 436−446.
Jensen M S. 1996. High convergence order finite elements with lumped mass matrix[J]. Int J Numer Methods Eng, 39（11）: 1879-1888. doi: 10.1002/(SICI)1097-0207(19960615)39:11<1879::AID-NME933>3.0.CO;2-2
Komatitsch D, Vilotte J P. 1998. The spectral element method: An efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures[J]. Bull Seismol Soc Am, 88（2）: 368-392.
Komatitsch D, Tromp J. 1999. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation[J]. Geophys J Int, 139（3）: 806-822. doi: 10.1046/j.1365-246x.1999.00967.x
Kudela P, Krawczuk M, Ostachowicz W. 2007a. Wave propagation modelling in 1D structures using spectral finite elements[J]. J Sound Vib, 300（1/2）: 88-100.
Kudela P, Żak A, Krawczuk M, Ostachowicz W. 2007b. Modelling of wave propagation in composite plates using the time domain spectral element method[J]. J Sound Vib, 302（4/5）: 728-745.
Patera A T. 1984. A spectral element method for fluid dynamics: Laminar flow in a channel expansion[J]. J Comput Phys, 54（3）: 468-488. doi: 10.1016/0021-9991(84)90128-1
Priolo E, Carcione J M, Seriani G. 1994. Numerical simulation of interface waves by high-order spectral modeling techniques[J]. J Acoust Soc Am, 95（2）: 681-693. doi: 10.1121/1.408428
Tong P, Pian T H H, Bucciarblli L L. 1971. Mode shapes and frequencies by finite element method using consistent and lumped masses[J]. Comput Struct, 1（4）: 623-638. doi: 10.1016/0045-7949(71)90033-2
Wu S R. 2006. Lumped mass matrix in explicit finite element method for transient dynamics of elasticity[J]. Comput Methods Appl Mech Eng, 195（44/47）: 5983-5994.
Yang Y T, Zheng H, Sivaselvan M V. 2017. A rigorous and unified mass lumping scheme for higher-order elements[J]. Comput Methods Appl Mech Eng, 319: 491-514. doi: 10.1016/j.cma.2017.03.011
Żak A. 2009. A novel formulation of a spectral plate element for wave propagation in isotropic structures[J]. Finite Elem Anal Des, 45（10）: 650-658. doi: 10.1016/j.finel.2009.05.002
Żak A, Krawczuk M, Palacz M, Doliński Ł, Waszkowiak W. 2017. High frequency dynamics of an isotropic Timoshenko periodic beam by the use of the Time-domain Spectral Finite Element Method[J]. J Sound Vib, 409: 318-335. doi: 10.1016/j.jsv.2017.07.055
Żak A, Krawczuk M. 2018. A higher order transversely deformable shell-type spectral finite element for dynamic analysis of isotropic structures[J]. Finite Elem Anal Des, 142: 17-29. doi: 10.1016/j.finel.2017.12.007
Zhang G H, Yang Y T, Zheng H. 2019a. A mass lumpig scheme for the second-order numerical manifold method[J]. Comput Struct, 213: 23-39. doi: 10.1016/j.compstruc.2018.12.005
Zhang G H, Yang Y T, Sun G H, Zheng H. 2019b. A mass lumping scheme for the 10-node tetrahedral element[J]. Eng Anal Bound Elem, 106: 190-200. doi: 10.1016/j.enganabound.2019.04.018
Zheng H, Yang Y T. 2017. On generation of lumped mass matrices in partition of unity based methods[J]. Int J Numer Methods Eng, 112（8）: 1040-1069. doi: 10.1002/nme.5544
Zhu C Y, Qin G L, Zhang J Z. 2011. Implicit Chebyshev spectral element method for acoustics wave equations[J]. Finite Elem Anal Des, 47（2）: 184-194. doi: 10.1016/j.finel.2010.09.004
Zienkiewicz O C, Taylor R L, Zhu J Z. 2013. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals[M]. 7th ed. London: Elsevier: 383–386.
-
期刊类型引用(0)
其他类型引用(3)
计量
- 文章访问数: 375
- HTML全文浏览量: 199
- PDF下载量: 41
- 被引次数: 3
