Preliminary research on probing depth of borehole geoelectrical resistivity observation
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摘要: 对井下地电阻率观测的探测深度进行了研究，计算了均匀半空间和给定结构参数的水平层状介质模型在不同装置电极埋深下的探测深度，分析了探测深度与装置电极埋深和介质电阻率结构之间的关系，得到如下结果：①与地表观测相比，在供电极距为1 km左右时，探测深度随装置电极埋深的增大而增大，且增大的速度与装置电极埋深密切相关；当装置电极埋深h < 100 m时，探测深度的增大速度远小于装置电极埋深h≥100 m时. ②当装置电极埋深h < 50 m时，与地表观测相比探测深度增加很小，不超过10 m；当装置电极埋深相同时，供电极距越大，与地表观测相比探测深度增加得越小. ③对于水平层状电阻率均匀分层结构，在装置电极埋深相同的情况下，下伏低阻结构的探测深度显著大于下伏高阻结构.本文的研究结果表明，为了观测到深部电阻率的变化情况，首先需要查明测区电性结构，再进行综合分析，以确定井下地电阻率观测的装置电极埋深，其结果为深部电阻率变化研究提供了理论基础.Abstract: In this paper, we studied probing depths of borehole geoelectrical resistivity observation by homogeneous half-space model and horizontally layered model with given structure parameters, and analyzed the relationship among probing depth, electrode buried depth of configuration and medium resistivity structure. The results are as follows: ① Compared with surface observation, when electrode distance is about 1 km, probing depth increases with electrode buried depth of configuration, and the increasing rate is closely related with electrode buried depth, as the increasing rate of electrode buried depth less than 100 m is much smaller than that greater than 100 m. ② When electrode buried depth of configuration is within 50 m, probing depth has a slow increase which is less than 10 m, compared with surface observation. For the same electrode buried depth, the greater electrode distance is, the smaller probing depth increases. ③ For the horizontally layered structure of homogeneous resistivity, probing depth in underlying low resistivity structure is significantly larger than that in underlying high resistivity structure under the condition of same electrode buried depth of configurations. Therefore, in order to observe the resistivity variations of deep medium, it is necessary to firstly identify the electrical structure parameters of observation area, and then determine electrode buried depth of borehole geoelectrical resistivity observation through comprehensive analyses.
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引言
地震波数值模拟是在地震波传播理论的基础上，通过数值计算来模拟地震波在地下介质中的传播(董良国，2003)，是研究地震波传播特性与地球介质参数关系的重要手段．交错网格有限差分技术已经广泛应用于各向异性介质(Igel et al，1995; Collino，Tsogka，2001; 裴正林，王尚旭，2005; 殷文等，2006；何燕，2008)、 孔隙介质(Dai et al，1995; Zeng et al，2001; 孙林洁，2012)、 黏弹性介质(白晓寅，2008；孙成禹等，2010)的波动方程模拟中，但是常规交错网格在模拟非均匀性较强的介质和各向异性介质时需对介质参数进行平均或内插(陈浩等，2006)，低阶插值可能会导致精度降低，高阶插值则会导致计算量增大．Gold等(1997提出了旋转交错网格有限差分算法，Saenger等进一步研究了旋转交错网格的稳定性与频散的关系(Saenger et al，2000; Saenger，Bohlen，2004)．在旋转交错网格中采用沿网格对角线差分的方式，可以避免弹性模量的平均与插值，因而更准确．随后一些研究人员通过旋转交错网格的完全匹配层(perfectly matched layer，简写为PML)边界条件的实现，利用旋转交错网格技术对各向异性介质(李敏，刘洋，2012)和黏弹介质(严红勇，刘洋，2012)等进行了数值模拟．但由于旋转交错网格中差分是沿对角线进行，步长是同等条件下常规交错网格的 √2 倍(网格是正方形的情况下)，若用常规的差分格式会导致离散的梯度算子和散度算子在计算时误差增大，因而容易出现数值频散．而如果使用高阶有限差分则会因需要更多的网格点而增大计算量与内存．紧致有限差分是一种隐式差分格式，在同等网格数的条件下，具有比常规差分格式更高的精度以及更低的数值频散，故成为目前关注的热点．Lele(1992分析了紧致差分格式的分辨率特性；王书强等(2002对弹性波方程的紧致差分格式及其与中心差分的误差进行了研究；Du等(2009基于交错网格紧致有限差分进行了横向各向同性介质的正演模拟；Boersma(2011利用6阶紧致有限差分求解了Navier-Stokes方程．
实现有限差分时，差分系数的确定会影响数值模拟的精度．有限差分系数的求取一般包括泰勒展开和最优化算法两种方法(Liu，2013)．基于泰勒展开得到的差分系数在波数较小时精度高，但随波数增大其精度会降低；基于最优化算法的差分系数求取方法是在给定精度与差分算子长度的情况下尽可能拓宽波数范围(Holberg，1987)．Shan(2009，Kosloff等(2010，Zhou和Zhang(2011以及Liu(2013等对基于最小二乘算法的差分算子优化方法进行了深入研究；Zhang和Yao(2012则基于模拟退火算法对中心差分算子进行了优化．
本文拟结合旋转交错网格与紧致有限差分技术，基于模拟退火全局优化算法对紧致差分算子进行优化，拓宽数值模拟的波数范围，在此基础上进行频散分析，最后通过数值模拟验证该方法的可行性和有效性．
1. 旋转交错网格紧致有限差分方法
1.1 一阶速度-应力方程
在弹性波正演模拟中，除了使用二阶方程外，还常常采用一阶速度-应力弹性波方程，其主要优点是无需对弹性常数进行空间差分(Virieux，1984)．这里根据运动平衡方程和本构关系给出二维情况下体力为零时各向异性介质的一阶速度-应力方程：
式中： v，σ分别代表速度和应力，1表示x方向，3表示z方向; cij为介质弹性张量矩阵的元素，当极端各向异性介质时，该矩阵有21个独立参数；当二维时，不考虑y分量，故张量 矩阵中与y分量有关参数为0，只有5个独立参数(c11，c13=c31，c15=c51，c33，c35=c53，c55)．
1.2 紧致有限差分
在地震波正演模拟中，采用常规的中心有限差分往往需要较多的网格点才能比较有效地压制数值频散，不利于边界的处理(王书强等，2002)．紧致有限差分是一种隐式差分格式，只需要较少的网格点即可有效地压制数值频散，且同等阶次的精度要比常规中心有限差分格式高，因此本文采用紧致有限差分格式，弥补旋转交错网格因差分步长大导致梯度和散度算子在计算时误差增大因而更容易产生数值频散的不足．
常规的2(M-1)点2M阶紧致有限差分格式(Kim，Lee，1996)为
式中，Δx为网格的空间步长，a和bn分别为差分的权系数，可以通过在第i个网格点的泰勒展开，然后对比对应系数来求解
即可得到2(M-1)点2M阶紧致有限差分格式的差分系数(Liu，Sen，2009)，例如当M=5时，可以得到8点10阶的紧致差分格式系数为a=0.257 894 74，b1=0.889 871 16，b2=0.216 121 16，b3=－0.004 701 2，b4=0.000 151 55.
1.3 旋转交错网格及完全匹配层吸收边界条件
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图 1This page contains the following errors:
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Figure 1.This page contains the following errors:
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利用波动方程进行数值模拟，一个关键问题就是边界条件．为了解决边界反射问题，引入弹性波方程的PML边界条件．陈浩等(2006指出，在旋转交错网格中，PML吸收边界条件的处理方式及吸收效果与常规交错网格中几乎是一样的．为此，引入图 1所示的PML吸收层．PML边界的基本做法是在研究区域四周引入PML，波在PML中传播时不会产生反射，并且随传播距离按一定规律衰减．当波传播到PML边界时，波场近似为零，也不会产生反射(王守东，2003)．
以式(1)中的vx为例来说明旋转交错网格紧致有限差分算法PML的实现方法：
式中(vxx)n+1/2i，j表示n+1/2时刻vx在网格点(i，j)处沿坐标轴x方向的分量，(vxx)n-1/2i，j 表示n－1/2时刻的x方向分量，di为衰减因子，(Tnxx)xi，j表示n时刻σxx在网格点(i，j)处沿坐标轴x方向的导数．根据式(5)可推导出
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求出．其中
类似地可以推导出其它分量的旋转交错网格紧致有限差分下的PML控制方程．
1.4 紧致有限差分的全局优化
根据平面波理论，令
式中，β=kΔx/2，0≤β≤π/2．
为了使式(2)左右两边的误差尽可能小，须满 足β－β*≈0的β取值范围应尽 可能地大．
本文中，采用模拟退火全局最优算法(Kirkpatrick et al，1983)来优化旋转交错网格紧致有限差分算子．为此，建立以下目标函数：
Kim和Lee(1996指出，当θ接近最大值π/2时，会出现很多难以控制的误差，从而导致优化效果不佳，因此本文选择θ=rπ/2，其中0<r<1．表 1列出了优化的8点10阶，10点12阶，12点14阶以及14点16阶的紧致有限差分系数．
表 1 优化的10—16阶紧致有限差分系数Table 1. Optimized coefficients of 10—16-order compact finite-difference阶次 r a b1 b2 b3 b4/10-2 b5/10-5 b6/10-3 b7/10-5 10 0.85 0.384 0.728 0.369 -0.015 0.152 12 0.87 0.390 0.720 0.376 -0.016 0.171 -6.49 14 0.89 0.434 0.658 0.434 -0.022 0.361 -74 0.138 16 0.85 0.452 0.633 0.458 -0.0252 0.452 -114 0.322 -7.79 2. 频散分析
由式(12)可以看出，β接近于β*的程度表征了优化的紧致有限差分算子的精度，故定义
使α≈1的β取值范围越大，数值频散越小．
图 2给出了常规的基于泰勒展开得到的差分算子与本文提出的全局优化算子的精度对比. 可以看出，对于常规的基于泰勒展开得到的紧致有限差分算子，随着空间阶次的增大，使α≈1的波数范围变得越宽，即数值模拟的精度随阶次的增大而增大． 显然，本文得到的全局优化的紧致有限差分算子在相同最大误差下使α≈1的波数范围比常规紧致有限差分算子还要大．从图 2中还可以看出，优化的8点10阶紧致有限差分算子的频散比常规14点16阶紧致有限差分算子小，即优化的10阶精度要高于常规的16阶精度，从而可以使用较少的网格点来达到较高的精度，节省计算内存．
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图 2 10阶常规有限差分，10—16阶常规紧致有限差分及对应的优化紧致有限差分的频散对比(k代表波数，Δx 表示空间网格间距)Figure 2. Dispersion comparison by 10-order conventional finite-difference，10—16-order conventional compact finite-difference and the corresponding optimized compact finite-difference. k denotes the wavenumber， and Δx is spatial grid spacing由图 2中的10阶常规有限差分、 10阶常规紧致有限差分与10阶优化紧致有限差分的频散曲线可以看出，10阶常规紧致有限差分格式的波数范围较10阶常规有限差分要宽，而经过优化的10阶紧致有限差分格式的波数范围则更进一步拓宽．设最大允许误差为εmax=|α－1| 0≤β ≤βmax，取εmax=0.2%，分别计算得到10阶常规有限差分、 10阶常规紧致有限差分及10阶优化紧致有限差分的最大波数范围βmax分别为0.847 5，1.037 5，1.458 0，即10阶常规紧致有限差分的波数范围比常规差分格式拓宽了1.22倍，而经过全局优化后，波数范围提升至1.72倍．考虑到正演模拟中最常采用Δx=Δz的情况，则对于旋转交错网格，Δr比常规交错网格差分步长Δx及Δz增大了 2 倍，因而可以采用优化系数的紧致有限差分来弥补这一不足，从而有效地压制数值频散．需要指出的是，优化系数的紧致有限差分格式也可以很方便地应用于PML边界条件，而不需要特殊的处理．
3. 模型试算
3.1 模型1
为了验证全局优化的旋转交错网格紧致有限差分的精度比常规旋转交错网格有限差分 方法有所提升，首先采用一个简单的各向同性模型进行测试(模型大小为3 000 m×3 000 m，在测试中并未添加任何边界条件)，震源采用主频30 Hz的雷克子波，z方向集中力源激发，网格大小为Δx=Δz=10 m，时间采样为Δt=1 ms．纵横波速度分别为4 000 m/s和2 600 m/s，模型密度为2 300 kg/m3．图 3给出了3种有限差分条件下400 ms时刻x分量波场快照，均采用旋转交错网格系统. 图 3a采用常规10阶常规有限差分格式; 图 3b采用8点10阶，10点12阶，12点14阶，14点16阶常规紧致有限差分格式; 图 3c采用优化的8点10阶紧致有限差分格式．可以看出，10阶常规有限差分与10阶紧致有限差分对比，后者频散要小；而对于图 3b中的紧致有限差分格式，随着空间阶次的增大，其精度越高，频散越小；对比图 3b与图 3c可以看出，优化的8点10阶紧致有限差分的数值频散甚至比常规14点16阶紧致有限差分还要小，这与图 2所示是一致的．图 4给出了从图 3中提取的z=500 m处(即50个网格点处)的波形曲线，以此来对比以上3种差分格式的数值频散．可以看出，10阶常规有限差分算法在波形外出现了数值抖动，说明数值频散比较高，模拟精度相对较低，而10阶紧致有限差分和优化的10阶紧致差分精度较高，从虚线框中可以进一步看出优化的10阶紧致有限差分算法的精度更高一些．
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图 3 10阶常规有限差分(a)，10—16阶常规紧致有限差分(b)与优化的10阶紧致有限差分(c)得到的波场快照Figure 3. Snapshots of wave field by using 10-order conventional finite-difference(a)，10-16-order conventional compact finite-difference(b) and optimized 10-order compact finite-difference(c)![]()
图 4 10阶常规有限差分，10阶常规紧致有限差分及10阶优化紧致有限差分波形对比图Figure 4. Comparison of waveforms by using 10-order conventional finite-difference(FD)(dark line)，10-order conventional compact FD(blue line) and optimized 10-order compact FD(red line)3.2 模型2
模型2的几何构造如图 5所示，其中凹陷构造上部及下部均为各向同性介质，最下层为横向各向同性(VTI)介质．模型纵向和横向长为3 000 m，具体参数见表 2．采用优化的旋转交错网格紧致有限差分方法进行正演模拟，网格大小为Δx=Δz=10 m，时间采样 为Δt=1 ms．震源采用30 Hz雷克子波，在模型的(1 150 m，1 500 m)处以纵波源形式激发．模拟过程中，采用PML边界条件(PML层部分同样采用优化的旋转交错网格紧致有限差分算法)，厚度层为 30个网格点．为体现吸收效果包含了PML层，图 6给出了600 ms 时刻x及z分量的波场快照．可以看出，震源激发的纵波传播 至分界面时，发生了反射与透射，可以见到PP波、 PS波等，并可在凹陷处看到断面波，波场复杂，但波前面清晰，数值频散小．从图 7所示的单炮记录中也可以看出优化的旋转交错网格紧致有限差分算法具有较高的模拟精度，各类波均可得 到清晰体现，并且能够证明所加PML边界条件的吸收效果很好，无明显人为边界反射产生．
表 2 凹陷模型参数Table 2. Parameters of the depression model序号 介质类型 c11/GPa c13/GPa c33/GPa c55/GPa 密度/(kg·m-3) 第一层 各向同性 31.77 42.68 31.77 13.75 2200 第二层 各向同性 42.33 47.04 42.34 18.82 2400 第三层 横向各向同性 87.88 21.22 67.60 22.56 2500 ![]()
图 6 600 ms时刻优化的旋转交错网格紧致有限差分正演x分量(左)和z分量(右)的波场快照(虚线框外围代表PML层)Figure 6. Wavefield snapshots of x-(left) and z-component(right)at 600 ms using optimized rotated staggered-grid compact finite-difference method(PML layers are outside the dashed box)![]()
图 7 凹陷模型优化的旋转交错网格紧致有限差分正演x分量(左)和z分量(右)单炮记录Figure 7. Records of x-(left) and z-component(right)of the depression model using optimized rotated staggered-grid compact finite-difference method4. 讨论与结论
旋转交错网格在地震波正演模拟中由于其可以避免在模拟中因弹性模量插值或平均而产生的误差和其对边界条件处理的便捷性而被广泛应用．但由于其差分方向是沿网格的对角线方向，因此相对于常规的交错网格而言，其差分步长较大，梯度算子、 散度算子在计算时更容易产生误差，这意味着旋转交错网格更容易产生数值频散，从而影响模拟的精度．若采用小网格，虽然可以压制数值频散，却又大大增加了运算量及内存．因此本文采用旋转交错网格与紧致有限差分技术相结合的方法来提高模拟精度，并在此基础上，基于模拟退火算法对紧致有限差分进行全局优化，进一步提高计算精度，压制数值频散．
数值频散分析结果表明，优化的旋转交错网格紧致有限差分算法相对于普通旋转交错网格有限差分算法具有更宽的波数范围，这意味着优化的旋转交错网格有限差分算法可以在采用更大的空间采样间隔或者更高的震源主频时依然有较高的精度和较低的数值频散；且经过全局优化的10阶紧致有限差分算子比常规的16阶紧致有限差分算子具有更高的精度，即可以采用较少的网格点来达到较高的模拟精度，因此可以节省计算内存．
数值模拟实验进一步证实了本文提出的优化的旋转交错网格紧致有限差分算法的正确性与可行性．凹陷模型中，各类波均具有比较清晰的响应，揭示了波场的传播规律．同时波场快照与单炮记录中无明显的人为边界反射产生，也证明了模拟采用的PML吸收边界条件的有效性．
但是本文提出的方法亦存在不足之处. 在求解紧致差分格式时需要解三角矩阵线性方程，较常规显式有限差分格式增加额外的计算负担，且不利于在GPU等平台直接并行，例如图 3a和图 3c中的400 ms时长的计算时间分别为46.5 s和85.6 s，后者计算耗时约为前者的1.8倍．在科学计算中，效率与计算精度常常不可兼得，随着计算机科学计算能力的提高，可以采用GPU加速的LU分解算法或者使用LAPACK等优化程序包来克服求解大型矩阵的计算效率问题．在实际应用中需权衡利弊，选择适合的算法．
衷心感谢审稿专家提出的宝贵意见和建议．
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图 1 几种常用观测装置的探测深度z随电极埋深h的变化 (均匀半空间)
Figure 1. The variation curves of probing depths z along with electrode buried depths h of several common observation configurations (homogeneous half-space)
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图 2 几种常用观测装置的探测深度z随电极埋深h的变化
(a) 下伏低阻; (b) 下伏高阻
Figure 2. The variation curves of probing depths z along with electrode buried depths h of several common observation configurations
(a) Underlying low resistivity structure; (b) Underlying high resistivity structure
表 1 几种常用观测装置在井下的探测深度 (均匀半空间)
Table 1 The borehole probing depths of several common observation configurations (homogeneous half-space)
装置电极埋深
h/mC1
(L=150 m，
a=25 m)C2
(L=300 m，
a=75 m)C3
(L=400 m，
a=75 m)C4
(L=500 m，
a=125 m)C5
(L=600 m，
a=125 m)0 148.2 292.1 394.1 486.8 589.0 10 148.8 292.3 394.3 486.9 589.1 20 150.2 293.1 394.8 487.4 589.5 50 160.3 298.4 398.8 490.6 592.2 100 190.9 316.3 412.5 501.8 601.5 200 276.5 378.1 462.5 543.9 637.3 300 371.9 459.4 533.4 606.1 691.9 500 569.1 644.2 705.6 765.7 838.2 注：L=AB/2，a=MN/2，下同. 
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表 2 几种常见观测装置在井下的探测深度 (下伏低阻)
Table 2 The borehole probing depths of several common observation configurations (underlying low resistivity structure)
装置电极埋深
h/mC1
(L=150 m，
a=25 m)C2
(L=300 m，
a=75 m)C3
(L=400 m，
a=75 m)C4
(L=500 m，
a=125 m)C5
(L=600 m，
a=125 m)0 184.4 344.3 458.2 551.3 645.0 10 184.9 344.6 458.5 551.5 645.2 20 186.2 345.3 459.0 551.8 645.6 50 194.9 350.0 462.3 554.7 647.8 100 221.5 365.3 473.6 563.9 655.7 200 297.7 419.4 516.3 600.0 686.4 300 377.9 477.6 563.2 639.6 720.6 500 570.2 646.9 712.9 773.8 841.1
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表 3 几种常见观测装置在井下的探测深度 (下伏高阻)
Table 3 The borehole probing depths of several common observation configurations (underlying high resistivity structure)
装置电极埋深
h/mC1
(L=150 m，
a=25 m)C2
(L=300 m，
a=75 m)C3
(L=400 m，
a=75 m)C4
(L=500 m，
a=125 m)C5
(L=600 m，
a=125 m)0 104.5 162.6 238.8 305.6 388.7 10 104.9 162.7 239.0 305.8 388.8 20 105.8 163.3 239.5 306.2 389.2 50 111.0 167.3 242.4 308.6 391.2 100 124.3 180.3 252.4 317.1 398.1 200 251.1 300.0 351.0 402.4 469.7 300 365.5 424.3 472.5 516.3 572.1 500 568.0 632.2 681.2 721.9 769.7
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