引言

近年来，关于岩石损伤及因此而导致的岩石弹性模量变化对地震和地下爆炸地震波的影响受到了较多的关注(Johnson, Sammis，2001；Ben-Zion, Ampuero，2009；Patton，Taylor, 2011, Taylor，Patton, 2013).关于这一问题，Knopoff和Randall(1970)在考虑岩石的突然相变可作为天然地震特别是深震的可能机制之一时，曾讨论过岩石弹性模量变化所对应的震源表示.根据其理论，相应的震源强度正比于源区内弹性模量改变量与应变改变量的乘积. Ben-Zion和Ampuero(2009)从理论上更为详细地推导了源区弹性模量改变的震源表示，认为弹性模量改变所对应的震源强度不是正比于模量改变量与应变改变量的乘积，而是正比于模量改变量与总弹性应变的乘积.不过，Ben-Zion和Ampuero(2009)在其推导过程中并未显式地提及地震事件发生时可能存在的外力源，包括可能的体力源及面力源.需要特别指出的是，在Ben-Zion和Ampuero(2009)的式(4a)和(4b)中，尽管出现了一个体力项f_i，但根据该文中的式(5a)，相应的f_i是静态的，并不能辐射地震波.与此同时，该文还假定了介质边界上的牵引力为0.因此，在整个推导过程中均未考虑任何动态的力源扰动，而是仅考虑了地震发生时无应力应变和岩石弹性模量变化所辐射的地震波.

Ben-Zion和Ampuero(2009)采用的源表征方法在应用于天然地震时不会存在问题.在经典的震源理论中，无论是断层面错动还是岩石相变所引起的天然地震源，均可看作源区中的岩石突然经历了某种形式的无应力应变，尽管数学上它们也可以用相应的双力偶源来等效.不过，仍存在一些其它情况，对应的震源必须或更适合用动态的外力源来表示，这方面最典型的例子之一即为地下爆炸.作为膨胀体积源，爆炸源虽然也可以用源区内发生的无应力体积变形来等效(例如Aki，Richards，1980)，但当被看作是爆炸发生一瞬间突然加载在爆室壁上的压力扰动p(t)时，在物理上更加直观和容易让人理解，也更容易将其与爆炸当量、爆室半径等爆炸源参数联系起来.除地下爆炸外，介质受到外力撞击是需要利用动态力源来进行表示的又一个例子.

另一方面，Ben-Zion和Ampuero(2009)的理论还存在被误解的可能.这是因为，该文中的式(4a)与作为地震波理论基础的、一般的连续介质力学运动方程具有相同的形式，只不过后者中的力源项f_i一般是动态的，而前者中的f_i是静态的.因为Ben-Zion和Ampuero(2009)一文中并未强调这一点，读者有可能认为该文中的f_i也包括了动态力源项在内，进而认为相应的位移场解就是整个地震波场的解.以完全解耦的空腔地下爆炸为例，此时空腔之外的岩石对作用在空腔壁上的压力扰动p(t)的响应是完全弹性的，岩石中既不存在塑性变形，也不存在弹性模量的变化.按照Ben-Zion和Ampuero(2009)一文中的式(8b)，似乎就不会产生地震波，而实际情况并非如此.产生这一悖论的原因在于，如果按照Ben-Zion和Ampuero(2009)一文中的处理方法，应将空腔也看作介质的一部分.尽管空腔外面的岩石未产生塑性变形，但空腔中的气体却因为爆炸而发生了巨大的无应力体积应变.反之，若仅将腔壁外面的岩石作为整个连续介质区域的话，则必须考虑作用在腔壁上的动态压力扰动.这样的一种动态压力扰动是一种面力源，因为Ben-Zion和Ampuero(2009)在其推导过程中假定介质边界上的牵引力为0，使其在相应的理论中并未得到体现.

鉴于此，本文拟在修正Ben-Zion和Ampuero(2009)关于力源项假设的基础上，考虑动态力源(包括体力源和面力源)的存在，重新对岩石损伤对震源的影响进行推导，并对岩石损伤对地下核爆炸震源特性的影响进行讨论分析，给出关于与岩石损伤有关的震源项的新的分解方式，进而给出地下核爆炸伴随的补偿线性偶极子(compensated linear vector dipole，简写为CLVD)源和构造应力释放源与岩石损伤破坏之间的理论关系，以期更好地理解地下核爆炸震源特性特别是次生震源成分的产生机理.

1.   岩石损伤震源表示

假定边界为S的介质在初始时刻即t < 0时处于预应力状态，记相应的位移、应变和应力分别为u _i⁽⁰⁾, ε_ij⁽⁰⁾, σ_ij⁽⁰⁾, 则平衡方程和应力-应变关系分别为

式中，c_ijkl⁽ⁱ⁾为介质未发生损伤前的弹性本构系数，f_i为恒定作用在介质中的体力，如重力.不失一般影响，假定此时边界S上的牵引力为0.

假定t≥0时，介质中出现新的扰动源，其中包括作用在介质内部的体力源s_i和作用在边界S上的面力源Σ_i.若介质对扰动的响应是完全弹性的，即不发生介质的损伤和破坏，记相应的位移、应变和应力为u_i⁽¹⁾, ε_ij⁽¹⁾, σ_ij⁽¹⁾, 则

并需要满足应力边界条件

这里n_j表示沿S的法线方向.

另一方面，假定在介质的响应过程中有损伤、破坏发生，使得实际的位移、应变和应力为u_i⁽²⁾, ε_ij⁽²⁾, σ_ij⁽²⁾, 此时

需要满足的应力边界条件为

式中，p_kl为介质的塑性应变，c_ijkl^(f)为介质出现损伤后的等效弹性本构系数.假定

并分别记

式中: u_i⁽¹⁰⁾, ε_ij⁽¹⁰⁾, σ_ij⁽¹⁰⁾表示当介质响应完全为弹性时力源s_i和Σ_i在介质中引起的、相对于初始预应力状态的位移、应变和应力扰动; u_i⁽²⁰⁾, ε_ij⁽²⁰⁾, σ_ij⁽²⁰⁾为介质存在损伤破坏时所产生的相对扰动; u_i⁽²¹⁾, ε_ij⁽²¹⁾, σ_ij⁽²¹⁾为有、无损伤时的相对偏差.因为u_i⁽⁰⁾是不随时间变化的，将式(3)和式(6)分别减去式(1)，有

另外式(6)减去式(3)，进一步得到

同时在S上，应有

因为

其中ε_kl^(2e)=ε_kl⁽²⁾－p_kl为介质经受的弹性应变，可将式(12)改写为

其中

根据表示定理

式中G_ki(x, t－τ; ξ, 0)为自由边界条件下的格林函数.因为f_i^(eff)(ξ, τ)仅在发生介质损伤和塑性变形的区域V_S内才不为0，且因为式(13)即u_k⁽¹⁾和u_k⁽²⁾需要遵守完全相同的应力边界条件，使得

因此

将式(16)代入，通过分部积分、应用高斯定理，并利用V_S边界上Δm_ij=0的条件，最后得到

变换至频率域为

在波长和|x－ξ|均远大于V_S尺度的情况下，上式可简化为

其中

上述结果与Ben-Zion和Ampuero(2009)的结果在形式上相同，区别在于其得到的所有结果都是关于ε_kl⁽²⁰⁾和u_i⁽²⁰⁾而非ε_kl⁽²¹⁾和u_i⁽²¹⁾的.出现这一差别的原因在于Ben-Zion和Ampuero(2009)在推导过程中隐藏式地假定了地震事件发生前、后介质受到的体力始终保持不变，并且为了得到相应的矩张量表示，假定了边界上的牵引力为0.因此，在他们的理论中，不存在任何的力源扰动.在这种情况下，因为u_i⁽¹⁰⁾, ε_ij⁽¹⁰⁾和σ_ij⁽¹⁰⁾恒等于0；u_i⁽²¹⁾, ε_ij⁽²¹⁾, σ_ij⁽²¹⁾也就分别等于u_i⁽²⁰⁾, ε_ij⁽²⁰⁾, σ_ij⁽²⁰⁾即总的位移、应变和应力，同时Δm_ij或ΔM_ij分别为总的矩张量密度或总的矩张量.相反，当存在力源扰动时，u_i⁽¹⁰⁾, ε_ij⁽¹⁰⁾和σ_ij⁽¹⁰⁾都将不等于0，u_i⁽²¹⁾, ε_ij⁽²¹⁾, σ_ij⁽²¹⁾也不再是总的位移、应变和应力，而是考虑和不考虑岩石的非弹性响应情况下两者结果的相对值，同时Δm_ij或ΔM_ij分别为岩石非弹性响应对矩张量密度或矩张量的贡献.从这个意义上说，Ben-Zion和Ampuero(2009)一文的结果是本文结果在特殊情况下的解.除了能够同时应用于需要或必须考虑动态力源扰动的情形，本文表述方法的另一个优势是，无需对u_i⁽²¹⁾对应的应力边界条件进行假设，因为它自然满足式(13)代表的自由边界条件.

前面结果是将岩石非弹性响应对震源的贡献分解成了塑性变形的影响和弹性模量变化的影响两部分，岩石中的预应变对震源的贡献在式(20)中并未显式地表达出来.这在某些场合如考虑构造应力释放对核爆炸震源的影响时不太方便.为此，将式(14)改写为

则可以得到关于ΔM_ij(ω)的另一种表示，即

其中

后面我们将看到，地下核爆炸时ΔM_ij^(t-r)正是构造应力释放所对应的地震矩张量.

2.   岩石破坏对地下爆炸震源成分的影响

如图 1所示，地下爆炸可以用t=0时突然加载在球形空腔腔壁上的压力时间函数p(t)来表示.不同于传统的球对称爆炸源模型(例如，Mueller，Murphy, 1971)，此时的空腔半径不一定是爆炸的弹性半径：对地下核爆炸，可以是初始的汽化空腔半径；而对化学爆炸，则是药室半径.

图  1  地下爆炸力学模型

圆形区域代表爆炸初始空腔，箭头代表作用在腔壁上的压力p(t)

Figure  1.  Illustration of an explosive seismic source

The circle represents the initial cavity of the explosion, and the arrows represent the pressure p(t) applied on the cavity wall

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根据上一节的理论，在考虑岩石在地下爆炸冲击波作用下可能造成的损伤和破坏时，其震源可表示为

式中: M_ij^(el)为介质对p(t)的响应为完全弹性时的地震矩张量，在各向同性介质中，该参数是一个各向同性张量，与p(t)之间的关系可类似于经典球对称爆炸源模型求解(例如，Mueller，Murphy, 1971)；ΔM_ij则是介质的非弹性响应对震源的贡献，其大小和成分与地下爆炸对地下岩石所造成的损伤破坏及爆炸前岩石中存在的构造应力密切相关.

关于地下岩石在核爆炸时的破坏过程和破坏机理，Patton和Taylor(2011)基于数值模拟结果和地下核试验实际现象作了完整的分析阐述，这里简单归纳总结如下.如图 2所示，核爆炸造成的岩石损伤和破坏可粗略地分为4个阶段：①在爆炸后但在爆炸冲击波尚未到达地表之前，发生破坏损伤的区域主要为爆心周围且近似呈球形(图 2a)，从里向外，破坏损伤机制包括岩石汽化、液化、压实、压裂等；②随着爆炸冲击波在地表被反射为拉伸波并向下传播，爆心上方的岩层将经历不同程度的抬升及拉伸膨胀破坏，一定条件下甚至出现地表岩层被剥离即层裂现象(图 2b)；③在地表岩石经历进一步的层裂和拉伸膨胀破坏的同时，在层裂导致的重力卸载效应和空腔回弹冲击波的联合作用下，爆心上方的岩石可能沿既有及众多新产生的节理或断层以逆冲的方式发生错动(图 2c)；④被剥离的岩层在经历了短暂的上抛运动后将重新拍击到地面，根据拍击程度即层裂冲量大小的不同，可能使得地表附近的岩层重新被压缩甚至被最终压实(图 2d).

图  2  地下核爆炸岩石破坏损伤过程简单示意图

(a)第一阶段；(b)第二阶段；(c)第三阶段；(d)第四阶段

Figure  2.  Illustration of rock damages induced by underground nuclear explosions

(a) The first stage; (b) The second stage; (c) The third stage; (d) The fourth stage

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综上所述，地下核爆炸时出现岩石破坏损伤的区域由两部分组成:第一部分破坏区域主要在爆心周围，相当于传统球对称爆炸源模型中的非弹性区，直接由核爆炸冲击波引起; 第二部分破坏区域则主要分布在爆心上方的锥形区域范围内，主要由地表反射拉伸波、层裂和空腔回弹冲击波组成.

上述地下核爆炸岩石损伤破坏过程对理解其震源成分特别是CLVD源和构造应力释放等非球对称次生源的产生机理具有重要意义.这两种次生震源成分可能对地下爆炸地震波辐射具有明显的影响(例如，何永峰等, 2010, 2012；Murphy et al, 2014; Patton，Pabian, 2014; Jin et al, 2017; 徐恒磊等，2017).为简单起见，假定岩石在发生破坏前后均为各向同性，即c_ijkl=λδ_ijδ_kl+μ(δ_ikδ_jl+δ_ilδ_jk)，λ和μ为介质拉梅常数.首先，我们分析地下核爆炸CLVD源的产生机理.暂且假定岩石中的构造应变即ε_kl⁽²⁰⁾=0，根据核爆炸造成的岩石破坏区域的分布，将ΔM_ij=M_ij^(r-d)分解为

其中M_ij^(s-d)与核爆炸冲击波在未到达地表之前在爆心周围球形源区内的岩石破坏有关，M_ij^(c-d)则与爆心上方锥形区域内的岩石破坏有关.对于M_ij^(s-d)，因为相应的质点运动和岩石破坏分布均为球对称，有

而对于M_ij^(c-d)，因为相应的质点运动和岩石破坏分布为柱对称，有

其中M_xx^(c-d)=M_yy^(c-d)≠M_zz^(c-d).需要注意的是，M_ij^(s-d)的质心就位于爆心，而M_ij^(c-d)的质心则应位于爆心上方.这样，即可将爆炸所对应的总的地震矩张量表示为

式中h为爆炸埋深，h_c < h为M_ij^(c-d)质心对应的深度.令

则M₀^(ex)就是基于自由场测量结果的传统球对称爆炸源模型所对应的地震矩(例如，Denny，Johnson, 1991).另一方面，可以将M_ij^(c-d)分解为

其中

因此，此时地下核爆炸的总的地震矩张量可以表示为

从上式可以看出，由于地表反射拉伸波等造成的爆心上方锥形区域中的岩石损伤破坏，将导致地下核爆炸震源中出现一个具有CLVD性质的源.根据上述分析，这一区域中既包括以水平张性裂隙为主的岩石拉伸膨胀破坏，也包括沿不同走向断层面或节理面的岩石逆冲运动，正好与CLVD源的两种主要产生机制相对应.

构造应力释放是地下核爆炸震源的另一种特殊现象，被认为是地下核爆炸产生勒夫波和SH波的主要原因.关于地下核爆炸构造应力释放的具体机制，学术界一直存在争议，主要的观点有两种：一种观点认为地下核爆炸触发了爆心附近断层的错动，从而引起了构造应力的释放(例如，Brune，Pomeroy，1963；Aki et al, 1969; Aki，Tsai, 1972)；另一种观点则认为构造应力释放是由爆炸源区内的构造应力松弛引起的(例如，Archambeau, 1972; Lambert et al, 1972).两种观点各自都有有利的证据，但无论在理论还是观测结果方面也都存在一些难以完全解释的问题，具体可参见Massé(1981)的综述.

爆炸源区即岩石破坏区中的构造应力松弛对核爆炸震源的贡献可从式(28)得到.假定其中的ε_kl⁽⁰⁾为纯剪切(构造应力对应的预应变一般具有这样的性质)，则可以简化为

其中

V_S为破坏区的体积大小.不失一般性，假定除ε₁₂⁽⁰⁾=ε₂₁⁽⁰⁾=ε⁽⁰⁾外，构造应变张量的其它元素均为0，则M_ij^(t-r)对应的地震矩张量可以表示为

其中

这里为源区中的平均应力降.上述结果表明，爆炸源区中的应力松弛对长周期地震波的影响可等效为一个双力偶源，该源的强度为源区体积与源区平均应力降的乘积，这一结果与Randall(1966)给出的结果相同.

除M_ij^(t-r)外，与构造应力释放有关的另外一个问题是由式(27)定义的M_ij^(r-d)是否也会受到构造应力的影响，换句话说，当有构造应力存在时，其中是否也会包括构造应力的贡献.关于这个问题，严格的理论分析比较困难，但可以设想这样一种场景，即假设岩石的破坏和损伤仅与应力张量中的各向同性分量有关，且一旦发生破坏，剪切模量则突变为0.此时，构造应力对岩石的屈服破坏不会有任何影响，即使是在非弹性区域内，ε_kl⁽²⁰⁾的解与无构造应力时的情况也是完全相同的.另一方面，因为发生破坏后岩石的剪切模量μ^(f)=0，式(27)中被积函数的第一项即c_ijkl^(f)p_kl将只与p_kl的球张量部分有关，自然也就与构造应变无关.因此，至少在这样一种岩石破坏模式下，构造应力对M_ij^(r-d)无任何影响，而地下爆炸中的双力偶源成分将唯一地来自于M_ij^(t-r).这反过来说明，将M_ij^(t-r)看作由源区应力松弛引起的构造应力释放源是合适的.

可以利用式(40)来对地下核爆炸构造应力释放源的可能大小进行简单估计.由于地表岩石不可能积累足够大的构造应力，因此对构造应力释放有重要影响的岩石破坏区主要是爆心周围的冲击波破坏区，其大小可以用地下核爆炸的弹性半径来进行描述.对花岗岩中的地下核爆炸而言，当埋深为600 m时，根据MM71模型(Mueller，Murphy, 1971)可估计相应的比例弹性半径为r_el/W^1/3≈162 m, 而M_DC≈5.4×10⁷ΔτW (N·m)，其中Δτ和W的单位分别为Pa和kt.假定Δτ处于10⁷ Pa的量级，所得到的M_DC源强度与实际观测到的地下核爆炸双力偶源强度(例如，Bukchin et al, 2001; Vavryuk，Kim, 2014)相当.在600 m埋深的情况下，花岗岩中的静水压力可达约1.6×10⁷ Pa，此时岩石中积累高达10⁷ Pa的构造应力理论上是有可能的(Byerlee，1978).这意味着，一般情况下岩石破坏区中的构造应力松弛足以解释地下核爆炸的构造应力释放，与Johnson和Sammis(2001)以及Stevens和Thompson(2015)的数值模拟结果相吻合，同时也与近年来的一些观测分析结果相吻合.例如：Vavryuk和Kim(2014)的研究表明，2013年朝鲜核试验辐射的勒夫波不可能来自爆炸触发的天然地震，而应该来自爆心周围的源区；而Fisk(2006, 2007)的研究显示，地下核爆炸产生的S波具有与P波相似的源频谱，两者的源拐角频率相差v_S/v_P倍，表明地下核爆炸S波具有与P波相同的源区，这也有利于构造应力释放的应力松弛模式而非地震触发模式.

3.   结论

本文在考虑外力源存在的条件下，对岩石损伤对地震波辐射和震源成分的影响进行了分析和讨论.理论推导结果表明，Ben-Zion和Ampuero(2009)给出的位移场解实际上是岩石存在损伤破坏时的位移场与岩石响应完全弹性时的位移场之间的差值.本文在Ben-Zion和Ampuero(2009)给出的结果之外，将岩石非弹性变形和损伤破坏对地震矩张量的贡献重新进行了分解，新的分解方式更好地体现了岩石中的预应变对源的影响.利用上述理论推导结果，本文对岩石损伤破坏对地下核爆炸震源机制的影响进行了分析.结果表明，地下核爆炸CLVD源主要来自于地表反射拉伸波和空腔回弹冲击波等造成的爆心上方锥形区域中的岩石破坏，包括其中的水平张性裂隙和逆冲断层运动等，而构造应力释放则可能主要来自整个岩石破坏区内的构造应力松弛.

本文结果对深入理解地下核爆炸次生震源成分的产生机理并进一步分析其对核爆炸地震波的影响等均有重要的理论指导意义.同时，文中得到的关于岩石损伤和构造应力对地下爆炸震源影响的理论表达式，为通过数值模拟方法来直接计算地下核爆炸的构造应力释放和CLVD源的强度奠定了理论基础.下一步可结合地下核爆炸源区中具体的岩石破坏损伤过程及范围的数值模拟开展研究，以期更加具体深入地认识地下核爆炸的震源特性.