A method for computing the recurrence probability of large earthquakes based on empirical distribution
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摘要: 以历史重演原则和构造类比原则为基础，提出了一种基于经验分布的大地震复发概率计算方法，该方法不作任何复发概率分布的强假定，直接通过对大量地震序列数据的蒙特卡罗随机抽样来模拟未来大地震的复发规律，进而统计得到未来一段时间内的大地震发生概率，并以鲜水河断裂带炉霍段和道孚段为实例，利用本文给出的复发概率计算方法得出炉霍段和道孚段未来50年大地震发生概率分别为0.15和0.31。Abstract: On the basis of historic recurrence and seismotectonic analogy, we presented a method for calculating earthquake recurrence probability in a period in the future by using empirical distribution function. It adopted the Monte Carlo method to sample from a lot of earthquake sequences to simulate the occurrence of future large earthquakes, so as to achieve statistical large earthquake occurrence probability. Besides, this method never makes assumption that the earthquake recurrence data is according with a certain kind of distribution model. Taking the Luhuo segment and the Daofu segment along the Xianshuihe fault zone as examples, the calculation results showed that the large earthquake occurrence probability in the future 50 years on those two segments are 0.15 and 0.31, respectively.
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引言
随着技术进步和经济发展以及“海洋强国”战略的提出，我国对于海洋资源的开发和利用已步入快速发展阶段，大量近海交通工程、海上风机和海洋平台的规划和建设已提上日程。我国地处环太平洋地震带西侧，海域地质构造复杂，地震频发，海洋工程的地震安全性问题不容忽视（李小军，2006），海域场地的地震反应分析作为海洋工程抗震设计和地震安全性评价的重要基础应予以高度关注。
早期对于海域场地地震动的研究主要采用解析方法，将海域地震动的产生和传播简化为数学模型，通过理论推导求解海域场地的应力场或波场分布（Lindsay，1939；Brekhovskikh，1980；郑天愉等，1985；朱镜清，1988；冯启民，1990）在揭示流固耦合开放系统的波动传播规律及其影响因素等方面取得了具有理论指导意义的研究成果。近年来，美国、日本等国家陆续在其临近海域布设地震观测系统，利用近海地震台站记录可分析海域地震动的时频特征和工程特性，Chen等（2017）、陈苏等（2018）和杨铭等（2020）分别利用美国加州和日本相模湾等地的海域地震记录，揭示了近海地震动具有长周期成分丰富，竖向分量强度低，反应谱峰值大等特点。同时，随着计算机性能水平和数值模拟方法的成熟与发展，数值模拟方法凭借其在求解复杂模型和边界条件等方面的优势，被更多地应用于海域场地的地震反应分析。采用谱元法（Linket al，2009）、有限差分法（Okamoto et al，2017）、传递函数模型（Liet al，2017）和有限元法（陈少林等，2019）建立了海水-海床流固耦合分析模型与方法，为复杂海域场地的地震动场计算提供了实用分析工具。胡进军等（2017）通过数值模拟，比较了上覆海水层对海底地震动的放大效应在竖直方向和水平方向的差异，揭示了海底竖向地震动，尤其是P波引起的竖向震动更易受海水层影响。荣棉水等（2013）分析了海底沉积层对海域地震动场和地震动参数的影响表明，当考虑海底沉积层时，海域场地的地震动场存在放大现象，且地震动反应谱周期也有所增大。
然而，目前对海域场地地震反应的理论分析与数值模拟研究主要针对平坦的海底场地，而近海工程场地存在向海洋倾斜的单体边坡，且边坡一侧直接与海水耦合。此类横向不均匀的特殊场地类型导致其自由场的求解存在天然的困难，对现有的基于自由波场的地震波动输入方法提出了挑战；同时，场地与无限海水层和半无限海床的动力相互作用也是开展近海场地地震反应分析时需重点考虑的问题，其涉及的关键因素包括大范围流-固耦合系统的数值模拟、无限固体域和流体域波动辐射效应的数值模拟等。
因此，综合上述因素，本文拟采用基于声流体单元的流固耦合算法（宝鑫，刘晶波，2017）模拟场地-海水动力相互作用，利用流体介质动力人工边界（刘晶波等，2017）和一致黏弹性人工边界单元（刘晶波等，2006）模拟无限流、固介质的辐射阻尼，提出一种基于人工边界子结构，利用混合波场实现近海场地地震动输入的方法，在此基础上，建立近海场地地震反应分析模型，并对其适用性及计算精度进行验证。
1. 近海场地地震反应分析模型
近海场地与下部基岩、外部海水域和海床介质共同构成半无限的开放系统，在地震反应分析中，需综合考虑局部地形影响和场地与海水的耦合作用，截取有限的近场计算域进行建模分析，并对流体和固体介质截断边界进行处理，以模拟其波动辐射效应。示意模型如图1所示，下文将对该数值模型所涉及的关键技术环节进行简要介绍。
1.1 流体介质动力人工边界
刘晶波等（2017）基于波动理论，将流体介质中的单侧波动方程转化为截断边界处的等效力学系统，从而提出一种离散化的流体介质动力人工边界条件（图2），可用于吸收流体域截断边界处的外行波动。该流体介质人工边界由阻尼器与集中质量构成。二维模型中对应的物理参数质量M和阻尼C分别为
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图 2 流体介质动力人工边界示意图Figure 2. Schematic diagram of dynamic artificial boundaries of fluid medium$$ M {\text{＝}} 2{\rho _{\text{F}}}{R_{\text{b}}}\sum\limits_i {{A_i}} {\text{，}} C {\text{＝}} {\rho _{\rm{F}}}{c_{\rm{F}}}\sum\limits_i {{A_i}} {\text{，}}$$ (1) 式中，ρF和cF分别为流体介质的密度和声速；Rb为波源至截断边界的距离，由于散射波源为非点波源，可令其为平均意义上的常值；
$\sum\limits_i {{A_i}}$ 为与有限单元相连的人工边界节点所代表的面积长度。1.2 一致黏弹性人工边界单元
采用一致黏弹性人工边界单元（刘晶波等，2006）模拟半无限的远场基岩、近海场地及海床介质。该人工边界的具体实现方法是在近海场地模型中固体域的截断处沿外法向方向延伸一层相同类型的单元，并将该层单元的外边界固定，人工边界单元剪切模量
$ \tilde G $ 、弹性模量$ \tilde E $ 、阻尼系数$ \tilde \eta $ 和泊松比$ \tilde \gamma $ 定义为:$$\begin{split}& \tilde G {\text{＝}} {\alpha _{\text{T}}}h\frac{G}{R}{\text{，}} \tilde E {\text{＝}} {\alpha _{\text{N}}}h\frac{G}{R} \frac{{（1 {\text{＋}} \tilde \gamma ）（1 {\text{－}} 2\tilde \gamma ）}}{{（1 {\text{－}} \tilde \gamma ）}}{\text{，}}\\& \tilde \eta {\text{＝}} \frac{{\rho R}}{{2G}}\left( {\frac{{{c_{\text{S}}}}}{{{\alpha _{\text{T}}}}} {\text{＋}} \frac{{{c_{\text{P}}}}}{{{\alpha _{\text{N}}}}}} \right){\text{，}} \tilde \gamma {\text{＝}} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\alpha {\text{－}} 2}}{{2（\alpha {\text{－}} 1）}}}&{\alpha {\text{≥}} 2}{\text{，}} \\ 0&{\alpha {\text{＜}} 2} {\text{，}} \end{array}} \right. \end{split}$$ (2) 式中，G，ρ，cS和cP分别为固体介质的剪切模量、密度、横波和纵波波速；h为人工边界单元的厚度；R为波源至人工边界点的距离； αT和αN为人工边界参数，刘晶波等（2006）给出的推荐值分别为αT＝0.5和αN＝1，α＝αN/αT。
1.3 近海场地-海水动力相互作用有限元模型
基于通用有限元计算平台Ansys建立近海场地-海水动力相互作用有限元模型。其中，固体介质和流体介质分别采用Solid45和Fluid80单元建模，并通过耦合流-固界面节点的法向自由度，模拟海水与场地的动力相互作用（宝鑫，刘晶波，2017）。由于Solid45和Fluid80均为三维单元，应用于二维模型时，可仅在平面内建立一层单元，并约束全部节点的出平面自由度。分别在流、固介质截断边界处添加前两节中介绍的流体介质动力人工边界和固体介质一致黏弹性人工边界单元。此外，为保证波动问题的数值模拟精度，离散化网格的尺寸
$\Delta x$ 应满足（杜修力，2009）$$ \Delta x {\text{≤}} \alpha {\lambda _{\min }}\qquad {\frac{1}{6} {\text{≤}} \alpha{\text{≤}} \frac{1}{8}}{\text{，}}{\lambda _{\min }} {\text{＝}} \frac{{{c_{\min }}}}{{{f_{\max }}}} {\text{，}} $$ (3) 式中，λmin为离散网格模型中波动传播的最短波长，cmin为介质中的最小波速，fmax为波动问题数值模拟的截止频率。
2. 基于混合波场的近海场地地震动输入方法
在场地地震反应分析中，近场计算域的截取和人工边界条件的施加将直接影响地震动的输入过程。以域缩减法（Bielak et al，2003；Yoshimura et al，2003）和波动法（刘晶波，吕彦东，1998）为代表，目前常用的地震动输入方法一般以自由场地震动为输入地震动场，通过将其转化为等效地震荷载，在不影响人工边界对于外行波动吸收的前提下，将地震动输入至计算模型内部。在此基础上，为进一步简化计算流程，刘晶波等（2018）根据波动法原理和有限元理论，提出一种土-结构相互作用系统地震波动输入的人工边界子结构法。该方法不依赖于人工边界条件的具体形式，将等效地震荷载的计算转化为人工边界子结构模型的动力分析，即保证了计算精度又有效地提高了分析效率。但上述地震动输入方法为了便于通过Shake91和EERV等一维化场地分析软件计算得到自由场分布，主要分析横向均匀、纵向成层的规则场地形式，而对于以图1中近海场地为代表的不规则场地，由于模型不同位置处的地形特征和地层分布存在明显的差异，地震波入射下整体模型的自由波场难以预先求解，使得传统的基于自由场地地震动的地震波动输入方法难以实现。为解决这一问题，本文提出一种基于人工边界子结构，利用混合波场实现近海场地中地震P波和SV波垂直输入的方法，实施思路如下。
将近海场地模型中的输入波场分成左侧、右侧和底部输入波场三部分，如图3所示。对于模型两侧的波动输入，可根据截断位置处的地层特性建立等效的纵向成层、横向均匀的场地模型，并根据输入地震动计算相应的自由场分布，进而利用人工边界子结构法，将该自由场分布转化为等效地震荷载；而对于近场模型的底部截断边界，则仅考虑入射波场，并利用底部的人工边界子结构将其转化为等效地震荷载。将计算得到的不同截断边界处的等效地震荷载施加于近海场地模型，可完成地震动的输入过程。
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图 3 基于混合波场的近海场地地震动输入方法Figure 3. Seismic wave input method of offshore site based on hybrid wave field从波动传播的角度分析该方法的实现过程：入射波场分别从侧边和底面边界输入至计算模型，与内部局部地形相互作用产生反射波和散射波。对于侧面边界，由于输入的自由波场同时包含了入射波和反射波成分，因此经模型自由表面反射的外行波动被与其对应的等效地震荷载所抵消，而由局部地形产生的散射波则被人工边界吸收；对于底面边界，由于在等效地震荷载的计算中仅考虑了入射波场，因此反射波场和散射波场都将被人工边界所吸收。此外，在两种波场输入位置的交界处，即模型两侧底部角点位置，可能存在输入波场不协调的问题，由此引起的额外波动最终也将被人工边界所吸收。
根据以上思路提出的基于混合波场的近海场地地震反应分析方法避免了预先求解不规则场地自由场分布的困难，通过构建由模型两侧的自由波场和模型底部的入射波场组成的混合波场，并利用人工边界子结构法将其输入至近场计算模型，实现此类不规则场地的地震反应分析。该方法的具体实施步骤如下：
1） 建立近海场地有限元模型，在此基础上截取对应的人工边界子结构模型，该模型仅由人工边界及与其相邻的一层内部介质单元构成，如图4a所示。
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图 4 基于混合波场的近海场地地震波动输入方法实现步骤（a） 利用子结构模型求解等效地震荷载；（b） 在近海场地模型中施加等效地震荷载Figure 4. Implementation steps of seismic wave input method of offshore site based on hybrid wave field（a） Solving equivalent seismic loads through the substructure model；（b） Applying equivalent seismic loads on the offshore site model2） 根据左右两侧边界位置处的地层特性分别进行等效自由场分析，获得自由波场，其中右侧截断边界对应的自由场模型为上覆海水层的半空间场地模型，Bao等（2020）给出了不同类型波动输入下此类场地自由场分布的理论公式；固定人工边界子结构模型的最外层节点，对所有与侧边人工边界相连的子结构节点施加自由波场位移时程，而在其余的与底部人工边界相连的子结构节点上输入入射波场位移时程（图4a）；对子结构模型进行动力分析，求得全部人工边界节点上的反力，即为等效地震荷载。
3） 对近海场地有限元模型的人工边界节点施加由上一步骤获得的等效地震荷载（图4b），进行动力时程计算，即可完成近海场地的地震反应分析。
3. 算例与分析
建立近海场地有限元模型，对本文方法的有效性和计算精度进行验证。假定近海场地、基岩和海床为均一介质，材料参数列于表1。近场模型的整体尺寸为100 m×50 m，水深10 m，向海坡倾角为45° （图5）。在截断边界处分别添加流、固介质人工边界。采用本文方法将图6所示的持时为0.2 s的脉冲波分别以SV波和P波的形式垂直输入至计算模型。模型中有限元网格的最大尺寸为1 m，满足式（3）给出的计算精度要求。
表 1 介质材料参数Table 1. Material parameters of media流体介质 固体介质 密度ρF
/（kg·m−3）声速cF
/（m·s−1）密度ρ
/（kg·m−3）剪切波波速cS
/（m·s−1）泊松比γ 1000 1435.27 2 000 200 0.25 由于本文方法误差的主要来源可能是底部人工边界难以充分吸收下行反射波，导致该波动经底部边界再次反射后传播至模型顶部的近海场地区域，对计算精度产生影响。可将模型底部边界取至足够远，使反射波在计算时长内不传回顶部场地观测点，从而获得扩展网格解，作为本文方法的验证。
3.1 SV波垂直入射
首先分析SV波入射下近海场地地震动场分布情况。以模型水平向总长度L＝100 m对近海场地、向海坡以及海床位置的测点坐标进行归一化处理，以该无量纲坐标为纵坐标，对比采用本文方法和通过扩展网格方法计算得到的位移波形，如图7所示。同时，为衡量近海场地的地震动放大效应，定义地震反应峰值比R为
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图 7 SV波入射下近海场地的水平（a）和垂直（b）位移波形Figure 7. Displacement waveforms in horizontal （a） and vertical （b） directions on offshore site under incident SV wave$$ {R_x} {\text{＝}} \frac{{\max {| {{u_x}（x{\text{，}}t ）} |} }}{{\max {| {{u_0}（t）} |} }}{\text{，}}{R_{\textit{z}}} {\text{＝}} \frac{{\max {| {{u_{\textit{z}}}（x{\text{，}}t ）} |} }}{{\max {| {{u_0}（t）} |} }} ， $$ (4) 其中u为位移，下标x和z分别代表水平和竖直方向，下标0代表输入同一地震动下均匀半空间平坦场地的地震反应，其峰值为入射波峰值的二倍，x为测点水平坐标，t为时间。
分析SV波入射下近海场地位移峰值放大系数的空间分布（图8）可以看出，本文方法计算得到的近海场地峰值地震反应与扩展网格解吻合良好。在靠近向海坡的近海场地区域，水平地震峰值放大系数大于1；向海坡由上至下，峰值比逐渐减小，至向海坡底部角点处峰值比达到最小值；在远离向海坡的区域，近海场地与海床处的峰值放大系数均接近于1，说明在此位置处的场地地震反应受向海坡局部地形的影响较小。进一步分析图7可知，由于采用混合波场进行波动输入时，模型底面的人工边界难以充分吸收下行的反射波，导致初至波峰过后的后续波动存在较小的计算误差。但鉴于峰值地震反应是场地地震反应分析和结构抗震设计中最为重要的的地震动参数，本文方法对于此类不规则的近海场地地震反应分析具有较为良好的适用性。
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图 8 SV波入射下近海场地位移峰值放大系数的空间分布Figure 8. Spatial distributions of peak displacement amplification coefficient on offshore site under incident SV wave3.2 P波垂直入射
进一步将图6所示的脉冲波以P波的形式垂直输入至计算模型中，比较近海场地、斜坡以及海床位置处的位移波形（图9），同时计算P波入射下近海场地位移峰值放大系数的空间分布（图10）。
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图 9 P波入射下近海场地的水平（a）和垂直（b）位移波形Figure 9. Displacement waveforms in horizontal （a） and vertical （b） directions on offshore site under incident P wave![]()
图 10 P波入射下近海场地位移峰值放大系数的空间分布Figure 10. Spatial distributions of peak displacement amplification coefficient on offshore site under incident P wave与SV波入射时的计算结果（图8）类似，P波垂直入射下，采用本文方法与扩展网格方法计算得到的峰值地震反应也具有良好的一致性，且地震动场的分布规律与SV波入射时的结果相似，均体现为靠近向海坡的近海场地区域地震动场被放大，而向海坡由上至下峰值地震反应逐渐减小。观察图9可以看出，采用本文方法计算得到的初至波峰过后的后续波动（0.6—1.0 s）与扩展网格解相比也存在一定的误差，这同样是由于底部边界对下行反射波吸收不充分导致的。整体而言，采用本文方法能够较为合理准确的实现P波入射下近海场地的地震动输入和地震反应分析。
4. 讨论与结论
针对横向不规则的近海场地地震反应问题，本文采用由场地近场截断模型两侧的自由波场和模型底部的入射波场构成的混合波场作为输入波场，改进基于人工边界子结构的地震波从输入方法以实现近海场地的地震动输入。同时，综合考虑场地-海水动力相互作用以及远场流、固介质的辐射阻尼，构建了一种近海场地地震反应分析模型与时域整体分析方法。
数值算例的结果表明，采用本文模型与方法能较为合理可靠地计算得到的近海场地的峰值地震反应。鉴于峰值地震反应是场地地震反应分析和结构抗震设计中最为研究人员所关心的地震动参数，本文方法对于此类不规则的近海场地地震反应分析具有较为良好的适用性。
采用本文提出的混合波场方法进行波动输入时，由于模型底部的人工边界难以充分吸收下行反射波，导致计算得到的场地地震动的后续波动存在一定的误差。进一步合理优化近海场地模型的底部输入波场，是该领域的后续研究中有待解决的关键问题。
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图 1 仅有一个本地复发间隔情况下的经验分布方法流程图
Figure 1. The flow chart for empirical distribution method with only one local recurrence interval
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图 2 两个及以上本地复发间隔情况下经验分布方法流程图
Figure 2. The flow chart for empirical distribution method with two or more local recurrence intervals
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图 3 炉霍段大地震复发间隔的概率密度直方图（a）和未来50年发震概率曲线图（b）
Figure 3. The probability density plot of large earthquakes （a） and the occurrence probability for a 50-year exposure period （b） on the Luhuo segment
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图 4 道孚段大地震复发间隔的概率密度直方图（a）和未来50年发震概率曲线图（b）
Figure 4. The probability density plot of large earthquakes （a） and the occurrence probability for a 50-year exposure period （b） on the Daofu segment
表 1 由40个地震序列组成的数据库
Table 1 Database consisting of 40 earthquake sequences
断裂名称 古地震事件
年龄/a复发间隔
数目资料来源 断裂名称 古地震事
件年龄/a复发间隔
数目资料来源 郯城MS8.5
地震断裂E1：11 000±1 000
E2： 7 450±950
E3： 3 500±500
E4：公元16683 王华林（1995） 冷龙岭断裂 E1：5 926
E2：4 050±160
E3：2 900±270
E4：1 560±360
E5：公元15404 李正芳等 （2012） 三河−平谷MS8.0
地震断裂E1：20 000
E2：13 000
E3：7 500
E4：公元16793 冉勇康等 （1997） 鄂拉山断裂 E1：12 500±100
E2：10 000±150
E3：6 000±100
E4：4 100±300
E5：2 600±4004 袁道阳等 （2004） 北祁连山东段
毛毛山—金强河
断裂E1：7 700±50
E2：6 100±150
E3：5 200±100
E4：4 250±150
E5：3 050±1504 袁道阳等 （1997） 延矾盆地
北缘断裂北段E1：21 700±2 000
E2：16 000±1 300
E3：10 880±3 000
E4：5 756±1 1003 刘静和
汪良谋 （1996）北祁连山东段
老虎山断裂E1：7 700±50
E2：6 100±150
E3：5 200±100
E4：4 250±150
E5：3 050±150
E6：2 000±300
E7：800±100
E8：公元18887 袁道阳等 （1997） 延矾盆地
北缘断裂南段E1：33 100
E2：28 000
E3：21 000±1 500
E4：14 000
E5：10 800
E6：7 500
E7：公元13386 刘静和
汪良谋 （1996）东昆仑断裂带
库赛湖段E1：31 900±1 923
E2：27 990±1 681
E3：23 635±1 427
E4：20 345±1 225
E5：16 865±1 018
E6：12 935±774
E7：9 730±592
E8：6 955±425
E9：3 100±201
E10：公元20019 胡道功（2007） 怀涿盆地
北缘断裂北段E1：20 500±1 180
E2：14 500±710
E3：6 700±600
E4：＜1 3103 刘静和
汪良谋 （1996）海原断裂
中段破裂E1：6 595±275
E2：5 770±200
E3：4 965±925
E4：3 382±589
E5：2 765±355
E6：2 240±450
E7：1 275±3506 冉勇康等 （1998），
张培震等 （2003）怀涿盆地
北缘断裂南段E1：30 000±1 400
E2：24 500±700
E3：16 000±2 100
E4：10 000
E5：6 600±400
E6：4 400±500
E7：＜2 8656 刘静和
汪良谋 （1996）
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