The influence of cut-off frequency on the statistical results of spatial coherency function of seismic ground motion
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摘要: 以SMART-1台阵第45号地震的南北分量加速度作为研究对象，计算截止频率fcut分别为8，16和24 Hz，台站间距分别为200，1 000和2 000 m这9种工况的相干系数，并进行曲线拟合，再根据9组拟合参数计算相应的相干系数并进行比较。结果表明：① 截止频率fcut的取值对相干函数统计模型参数和相干系数拟合曲线有很大影响；② 根据较小的截止频率fcut得到的拟合参数计算出的相干系数随频率的衰减很快，反之，根据较大的截止频率fcut得到的拟合参数计算出的相干系数随频率的衰减较慢；③ 当使用由确定的截止频率fcut得到的相干系数拟合参数计算超出截止频率fcut范围的相干系数时，将产生很大的误差。Abstract: Based on the north-south component of the 45th seismic record on the SMART-1 station, in this paper, we firstly calculated the lagged coherencies under nine conditions which were combined with the three cut-off frequencies （8, 16, 24 Hz） and three separation distances （200, 1 000, 2 000 m）. Then, we fitted the curves. Finally, the coherencies received according to nine groups of fitting parameters were compared. The conclusion can be drawn as follows: ① The selection of the cut-off frequency fcut has great effect on the parameters of coherence function model and lagged coherency fitting curves. ② The lagged coherency calculated by the fitting parameters which obtained by smaller cut-off frequency fcut decays rapidly with increasing frequency; on the other hand, the lagged coherency calculated by the fitting parameters which obtained by larger cut-off frequency fcut decays slowly with increasing frequency. ③ Great errors will be produced when using fitting parameters of the lagged coherency that got from the determined cut-off frequencyfcut to calculate the lagged coherency beyond that frequency range.
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引言
地震动的空间变化对大型桥梁（王君杰等，1995）、大坝（陈厚群，1997）、管线（Ghobarah et al，1996 ）等长大结构有很大的影响。对地震动空间变化的研究主要集中在频域内，常用的方法有功率谱密度函数法（Matsushima，1975；冯启民，胡聿贤，1981）和相干函数法。随着大型密集强震观测台阵的建立和大量强震数据的获得，相干函数法得到了很大发展。所有的地震动空间相干函数模型均具有相同的特点，即相干系数的变化趋势随频率f和台站间距d的增大而减小。然而在通过台阵强震记录进行相干系数计算和相干函数模型统计时，采用的频率范围（截止频率fcut）不尽相同，例如：Hao （1989，1993）、Hao等（1989）及Loh和Lin （1990）采用10 Hz；Abrahamson等（1991）考虑的频率范围最大，达到50 Hz；屈铁军等（1996）、刘先明等（2004）和李英民等（2013）均采用12 Hz；Zerva和Harada （1997）采用40 Hz；丁海平等（2004）采用5 Hz；阿布都瓦里斯等（2013）采用20 Hz。由于相干函数的统计回归采用的频段范围不同，即计算相干函数时考虑的最大频率（本文定义为截止频率）不同，势必影响模型参数的统计结果。同时，由较小频段范围得到的统计模型能否应用于更大的频率范围也无明确的答案。为了解答上述问题，本文拟采用台湾SMART-1台阵（Abrahamson et al，1987 ）的地震加速度记录，对选取不同截止频率fcut的相干函数计算值进行统计回归，通过比较相干函数模型曲线的差别，得到截止频率fcut对相干函数模型参数的影响程度。
1. 地震波的选取及调整
台湾SMART-1台阵由37个台站组成（图1），中心台站（C00）布设在3个同心环的中心。同心环半径分别为200，1 000和2 000 m，沿每个圆环布设12个间隔大致相等的台站。I01—I12台站位于半径为200 m的内环，M01—M12台站位于半径为1 000 m 的中环，O01—O12台站位于半径为2 000 m 的外环。
本文选取SMART-1台阵的第45号地震记录的NS向水平加速度作为统计数据。该地震发生于1986年11月14日，震级为ML7.0，震中距为79 km，震源深度为7 km。对于中心台站C00的加速度记录（图2），截取的S波时间窗为9—29 s （Oliveira，1985），数据采样间隔为dt＝0.01 s，其它台站的加速度时程也取相同的时间窗。为计算不同台站间距d下的相关系数，将C00分别与内圈（I03，I06，I09，I12）、中圈（M03，M06，M09，M12）和外圈（O03，O06，O09，O12）组成4组台站对，则台站间距d分别为200，1 000和2 000 m。
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图 2 第45号地震在台站C00处的NS向加速度时程及S波时间窗Figure 2. Acceleration traces of NS and EW components for the 45th event recorded at station C00 and the S wave time window2. 计算方法
基于强震台阵的观测资料进行地震动空间变化的研究，常常是根据随机振动理论，采用相干函数进行表述。假定xj（t）和xk（t）为场点j和k的两个时间过程，相干系数计算方法为（Zerva，2009）：① 计算xj（t）和xk（t）的傅里叶谱Aj（f）和Ak（f）；② 计算自功率谱Sj（f）和Sk（f），
${S_j}\left( f \right) {\text{＝}} {A_j}\left( f \right)\,A_j^*\left( f \right) {\text{，}}{S_k}\left( f \right) {\text{＝}} {A_k}\left( f \right)A_k^*\left( f \right) {\text{，}}$
(1) 式中Aj*（f）为Aj（f）的复共轭；③ 计算互功率谱Sjk（f），
${S_{jk}}\left( f \right) {\text{＝}} A_k\left( f \right)\,A_j^*\left( f \right) {\text{；}}$
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${\gamma _{jk}}{\rm{(}}f{\rm{)}} {\text{＝}} \frac{{{{\overline S}_{jk}}{\rm{(}}f{\rm{)}}}}{{\sqrt {{{\overline S}_j}{\rm{(}}f{\rm{)}}{{\overline S}_k}{\rm{(}}f{\rm{)}}} }}{\text{，}}$
(3) 式中，γjk（f）为复数，由于0≤|γjk（f）|≤1，取相干系数绝对值，则
$\left| {{\gamma _{jk}}{\rm{(}}f{\rm{)}}} \right| {\text{＝}} \frac{{\left| {{{\overline S}_{jk}}{\rm{(}}f{\rm{)}}} \right|}}{{\sqrt {{{\overline S}_j}{\rm{(}}f{\rm{)}}{{\overline S}_k}{\rm{(}}f{\rm{)}}} }}.$
(4) |γjk（f）|被称为迟滞相干系数，大多数情况下所讨论的均为迟滞相干系数，并把迟滞相干系数称为相干系数。
根据密集台阵的地震记录，国内外的研究人员提出了很多相干函数模型(Harichandran， Vanmarcke，1986；Hao，1989，1993；Loh，Lin，1990；Abrahamson et al，1991 )，本文采用其中的两种相干函数模型，并对模型参数进行拟合。两种相关函数模型为
1） Abrahamson等（1991）相干函数模型
${\tanh^{-1}}\left| {\gamma \left( {f,d} \right)} \right| {\text{＝}} \left( {a_1 {\text{－}} a_2d} \right)\left\{ {\left. {\exp \left[ {\left( {b_1 {\text{＋}} b_2d} \right)f} \right] {\text{＋}} {\frac{1}{3f^c}}} \right\} {\text{＋}} n} \right.{\text{，}}$
(5) 2） Loh和Lin （1990）相干函数模型
$\left| {\gamma \left( {\omega ,d} \right)} \right| {\text{＝}} \exp \left[ {\left( { {\text{－}} a {\text{－}} b{\omega ^2}} \right)d} \right]{\text{，}}$
(6) 式中，f为频率，ω为圆频率，d为台站间距，其它变量为拟合参数。
为了研究截止频率fcut的选取对地震动空间相干函数统计模型参数的影响，本文计算了4组地震对在台站间距d＝200，1 000和2 000 m，截止频率fcut＝8，16和24 Hz，9种工况下的相干系数，之后采用式（5）和（6）的相干函数模型，对上述计算得到的相干系数进行拟合，之后根据拟合参数，得到不同台站间距d和截止频率fcut的拟合曲线。
3. 计算结果
根据SMART-1台阵记录的第45号地震南北分量加速度记录的S波时间窗，计算不同台站对的相干系数|γ（d，f）|，并对相干系数进行拟合，得到如下结果：① 台站间距d＝200 m的4个台站对C00-I03，C00-I06，C00-I09和C00-I12在截止频率fcut＝8，16，24 Hz时的相干系数分别为图3a，b，c中所示的细实线；② 台站间距d＝1 000 m的上述4个台站对在截止频率fcut＝8，16，24 Hz时的相干系数分别为图4a，b，c中所示的细实线；③ 台站间距d＝2 000 m的上述4个台站对在截止频率fcut＝8，16，24 Hz时的相干系数分别为图5a，b，c中所示的细实线。
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图 5 台站间距d＝2 000 m，截止频率fcut为8 Hz （a），16 Hz （b） 和24 Hz （c） 时的相干系数 |γ| （细实线）及其根据Abrahamson相干函数模型（黑粗线）和Loh相干函数模型（红粗线）拟合所得的拟合曲线Figure 5. Lagged coherencies |γ| at station spacing d＝2 000 m （thin solid line） and the corresponding fitting curves based on Abrahamson （black rough line） and Loh （red rough line） coherence function model which obtained with different cut-off frequency values of 8 Hz （a），16 Hz （b） and 24 Hz （c）![]()
图 3 台站间距d＝200 m，截止频率fcut为8 Hz （a），16 Hz （b） 和24 Hz （c）时的相干系数 |γ| （细实线）及其根据Abrahamson相干函数模型（黑粗线）和Loh相干函数模型（红粗线） 拟合所得的拟合曲线Figure 3. Lagged coherencies |γ| at station spacing d＝200 m （thin solid line） and the corresponding fitting curves based on Abrahamson （black rough line） and Loh （red rough line） coherence function model which obtained with different cut-off frequency values of 8 Hz （a），16 Hz （b） and 24 Hz （c）![]()
图 4 台站间距d＝1 000 m，截止频率fcut为8 Hz （a），16 Hz （b） 和24 Hz （c） 时的相干系数 |γ| （细实线）及其根据Abrahamson相干函数模型（黑粗线）和Loh相干函数模型（红粗线）拟合所得的拟合曲线Figure 4. Lagged coherencies |γ| at station spacing d＝1 000 m （thin solid line） and the corresponding fitting curves based on Abrahamson （black rough line） and Loh （red rough line） coherence function model which obtained with different cut-off frequency values of 8 Hz （a），16 Hz （b） and 24 Hz （c）对上述9种工况的相干系数分别按Abrahamson模型和Loh模型进行曲线拟合，每个模型均可得到9组模型拟合参数，具体参数值列于表1和表2。根据对应的拟合参数计算得到的相干系数曲线在对应图中以粗实线进行展示。
表 2 基于Loh相干函数模型得到的拟合参数Table 2. Fitting parameters based on Loh coherence function model台站间距
d/m截止频率
fcut/Hz系数 a b 200 8 0.32 1.95×10−3 16 1.57 4.57×10−3 24 2.43 1.01×10−4 1 000 8 0.53 6.73×10−4 16 0.84 1.44×10−4 24 1.10 2.27×10−5 2 000 8 0.52 1.10×10−4 16 0.61 4.46×10−6 24 0.61 2.18×10−6 表 1 基于Abrahamson相干函数模型得到的拟合参数Table 1. Fitting parameters based on Abrahamson coherence function model台站间距
d/m截止频率
fcut/Hz系数 a1 a2 b1 b2 c n 200 8 −0.65 0.013 2.31 −1.34×10−2 −1.604 0.33 16 2.36 1.17×10−3 1.29 −9.39×10−3 −1.148 0.39 24 −0.16 9.74×10−3 −0.24 −1.71×10−3 −0.587 0.36 1 000 8 0.95 −2.70×10−4 0.62 1.16×10−3 −0.942 0.19 16 1.05 −3.76×10−4 −0.54 6.04×10−6 −0.988 0.20 24 0.62 −1.62×10−5 0.59 1.20×10−3 −1.778 0.27 2 000 8 −0.91 5.78×10−4 −0.02 −2.31×10−5 −1.570 0.10 16 1.06 −4.96×10−4 −3.10 1.53×10−3 −3.970 0.24 24 2.66 −1.27×10−3 −0.052 2.23×10−5 −3.203 0.18 ![]()
图 6 根据不同截止频率fcut所得的拟合参数计算得到的台站间距d＝200 m （a），1 000 m （b） 和2 000 m （c） 时的相干系数|γ|左侧对应于Abr相干函数模型的结果，右侧对应于Loh相干函数模型的结果Figure 6. Coherencies at separation distance d＝200 m （a），1 000 m （b），2 000 m （c） based on fitting parameters which obtained from different cut-off frequency valuesThe graphs on the left correspond to the result of the Abrahamson，and the graphs on the right correspond to the result of the Loh事实上，根据某一台站间距d和截止频率fcut得到的拟合参数，均可以计算其它8种工况的相干系数。例如以Loh模型为例，对应工况d＝200 m，截止频率fcut＝8 Hz时的相干函数模型拟合参数为a＝0.32，b＝1.95×10−3 （表2），根据式（6），即可计算出任意台站间距d和频率f下的相干系数；同样，根据截止频率fcut＝16 Hz和fcut＝24 Hz得到的相干函数模型拟合参数，也可以计算出任意台站间距d和频率f下的相干系数。为了方便对比，下文在根据拟合参数计算相干系数时，考虑的频率范围均为0—24 Hz，计算结果如图6所示。
采用Abrahamson相干函数模型在不同截止频率下的拟合参数计算相干系数时，可以得到：① d＝200和1 000 m，频率f＜8 Hz的相干系数基本相等；② 频率f＞8 Hz的相干系数，由截止频率fcut＝16和24 Hz的拟合参数得到的相干系数基本相等，而由截止频率fcut＝8 Hz的拟合参数得到的相干系数与二者的结果相差较大；③ 无论是哪种情况，当f＞8 Hz时，得到的相干系数衰减很慢，特别是由截止频率fcut＝16和24 Hz的拟合参数得到的相干系数几乎无衰减。
采用Loh相干函数模型在不同截止频率下的拟合参数计算相干系数时，除了d＝2 000 m，频率f＜8 Hz时的相干系数相对差别比较小外，其它工况下的结果差别都很大。特别是根据截止频率fcut＝8 Hz的拟合参数计算得到的f＞8 Hz的相干系数，随着频率的增大，衰减非常快。
事实上，当频率达到一定大小后，即达到截止频率fcut，大于截止频率的高频部分，由于影响相干函数变化的因素很多，高频的相关性减小，随机性增大，这时长大结构的抗震分析再考虑空间变化就没有意义了。因此，考虑地震动的空间变化，需要确定一个“截止频率”，但若截止频率较大，将会对低频的相干系数有较大影响，即降低了低频的相干系数值，从而减弱了地震动低频段的相关性。表3给出了根据不同截止频率拟合所得相干系数在0—8 Hz频段内的变化，以Loh相干函数模型，台站间距d＝200 m为例，若fcut=8 Hz，则0—8 Hz频段内相干系数为0.93—0.33，若fcut=24 Hz，则0—8 Hz频段内的相干系数为0.61—0.58，相关性大大降低。
表 3 根据不同截止频率fcut拟合得到的相干系数在0—8 Hz频段内的变化Table 3. Changes of the lagged coherencies obtained with different fcut in the 0—8 Hz frequency band台站间距
d/m0—8 Hz内的相干系数 Abr相干函数模型 Loh相干函数模型 fcut＝8 Hz fcut＝16 Hz fcut＝24 Hz fcut＝8 Hz fcut＝16 Hz fcut＝24 Hz 200 0.99—0.39 0.99—0.45 0.99—0.47 0.93—0.33 0.73—0.58 0.61—0.58 1 000 0.78—0.22 0.78—0.23 0.79—0.24 0.58—0.11 0.43—0.29 0.33—0.31 2 000 0.62—0.24 0.60—0.28 0.60—0.28 0.35—0.20 0.29—0.28 0.30—0.29 另外，从Abrahamson模型和Loh模型拟合结果的比较（图6）中可以看出，两个模型的差别还是很大的，这不在本文的研究范围，暂不讨论。
4. 讨论与结论
本文利用SMRAT-1台阵记录的第45号地震的南北分量加速度，采用Abrahamson相干函数模型和Loh相干函数模型，对不同截止频率fcut （8，16，24 Hz）范围内的相干系数进行曲线拟合，得到了相应的拟合参数，并根据各组拟合参数计算了台站间距d＝200，1 000，2 000 m的相干系数|γ（d，f）|。比较由不同截止频率fcut的拟合参数计算得到的拟合曲线后发现：① 截止频率fcut取值的不同对拟合结果影响很大；② 根据较小的fcut得到的拟合参数计算出的相干系数随频率衰减很快，反之，根据较大的fcut得到的拟合参数计算出的相干系数随频率衰减较慢；③ 根据实际加速度记录的计算结果可以看出，高频相干系数的变化不明显，这可能是造成②中结果的原因；④ 若fcut较大，将会对低频的相干系数产生较大影响。
综上，本文认为，由于不同频率范围的相干特性差异较大，因此采用简单经验函数拟合得到的模型参数存在较大差异。当采用某一截止频率fcut得到相干系数拟合参数后，不建议用其计算超出fcut范围的相干系数，否则会产生很大的误差。当采用已有的相干函数模型进行多点地震动合成时，一定要注意该模型的频段范围。众多的相干函数模型采用的fcut之所以不一致，估计部分研究人员也发现是由fcut的影响所致，但并无文献提及这一问题。至于如何确定fcut，还需作进一步的研究。
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图 2 第45号地震在台站C00处的NS向加速度时程及S波时间窗
Figure 2. Acceleration traces of NS and EW components for the 45th event recorded at station C00 and the S wave time window
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图 5 台站间距d＝2 000 m，截止频率fcut为8 Hz （a），16 Hz （b） 和24 Hz （c） 时的相干系数 |γ| （细实线）及其根据Abrahamson相干函数模型（黑粗线）和Loh相干函数模型（红粗线）拟合所得的拟合曲线
Figure 5. Lagged coherencies |γ| at station spacing d＝2 000 m （thin solid line） and the corresponding fitting curves based on Abrahamson （black rough line） and Loh （red rough line） coherence function model which obtained with different cut-off frequency values of 8 Hz （a），16 Hz （b） and 24 Hz （c）
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图 3 台站间距d＝200 m，截止频率fcut为8 Hz （a），16 Hz （b） 和24 Hz （c）时的相干系数 |γ| （细实线）及其根据Abrahamson相干函数模型（黑粗线）和Loh相干函数模型（红粗线） 拟合所得的拟合曲线
Figure 3. Lagged coherencies |γ| at station spacing d＝200 m （thin solid line） and the corresponding fitting curves based on Abrahamson （black rough line） and Loh （red rough line） coherence function model which obtained with different cut-off frequency values of 8 Hz （a），16 Hz （b） and 24 Hz （c）
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图 4 台站间距d＝1 000 m，截止频率fcut为8 Hz （a），16 Hz （b） 和24 Hz （c） 时的相干系数 |γ| （细实线）及其根据Abrahamson相干函数模型（黑粗线）和Loh相干函数模型（红粗线）拟合所得的拟合曲线
Figure 4. Lagged coherencies |γ| at station spacing d＝1 000 m （thin solid line） and the corresponding fitting curves based on Abrahamson （black rough line） and Loh （red rough line） coherence function model which obtained with different cut-off frequency values of 8 Hz （a），16 Hz （b） and 24 Hz （c）
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图 6 根据不同截止频率fcut所得的拟合参数计算得到的台站间距d＝200 m （a），1 000 m （b） 和2 000 m （c） 时的相干系数|γ|
左侧对应于Abr相干函数模型的结果，右侧对应于Loh相干函数模型的结果
Figure 6. Coherencies at separation distance d＝200 m （a），1 000 m （b），2 000 m （c） based on fitting parameters which obtained from different cut-off frequency values
The graphs on the left correspond to the result of the Abrahamson，and the graphs on the right correspond to the result of the Loh
表 2 基于Loh相干函数模型得到的拟合参数
Table 2 Fitting parameters based on Loh coherence function model
台站间距
d/m截止频率
fcut/Hz系数 a b 200 8 0.32 1.95×10−3 16 1.57 4.57×10−3 24 2.43 1.01×10−4 1 000 8 0.53 6.73×10−4 16 0.84 1.44×10−4 24 1.10 2.27×10−5 2 000 8 0.52 1.10×10−4 16 0.61 4.46×10−6 24 0.61 2.18×10−6 
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表 1 基于Abrahamson相干函数模型得到的拟合参数
Table 1 Fitting parameters based on Abrahamson coherence function model
台站间距
d/m截止频率
fcut/Hz系数 a1 a2 b1 b2 c n 200 8 −0.65 0.013 2.31 −1.34×10−2 −1.604 0.33 16 2.36 1.17×10−3 1.29 −9.39×10−3 −1.148 0.39 24 −0.16 9.74×10−3 −0.24 −1.71×10−3 −0.587 0.36 1 000 8 0.95 −2.70×10−4 0.62 1.16×10−3 −0.942 0.19 16 1.05 −3.76×10−4 −0.54 6.04×10−6 −0.988 0.20 24 0.62 −1.62×10−5 0.59 1.20×10−3 −1.778 0.27 2 000 8 −0.91 5.78×10−4 −0.02 −2.31×10−5 −1.570 0.10 16 1.06 −4.96×10−4 −3.10 1.53×10−3 −3.970 0.24 24 2.66 −1.27×10−3 −0.052 2.23×10−5 −3.203 0.18
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表 3 根据不同截止频率fcut拟合得到的相干系数在0—8 Hz频段内的变化
Table 3 Changes of the lagged coherencies obtained with different fcut in the 0—8 Hz frequency band
台站间距
d/m0—8 Hz内的相干系数 Abr相干函数模型 Loh相干函数模型 fcut＝8 Hz fcut＝16 Hz fcut＝24 Hz fcut＝8 Hz fcut＝16 Hz fcut＝24 Hz 200 0.99—0.39 0.99—0.45 0.99—0.47 0.93—0.33 0.73—0.58 0.61—0.58 1 000 0.78—0.22 0.78—0.23 0.79—0.24 0.58—0.11 0.43—0.29 0.33—0.31 2 000 0.62—0.24 0.60—0.28 0.60—0.28 0.35—0.20 0.29—0.28 0.30—0.29
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