Application of fractal interpolation method to geo-electric field interference data process
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摘要: 当地电场和地电阻率同场地观测时，地电场观测会受到地电阻率观测的供电干扰，这类干扰时间短、干扰形态和出现时间固定，影响了地电场观测数据的正常变化形态，给数据分析和地震科学研究造成困难。为解决这一干扰问题，本文在比较分形插值方法与传统插值方法优劣的基础上，采用分形插值方法对受干扰的地电场观测数据进行重建，以提高信号重建的精度。结果表明，采用该方法重建的数据是对原数据很好的近似，可有效地恢复观测数据信息，保持观测数据原有的变化趋势。Abstract: Geo-electric field and geo-electrical resistivity observation is one of the most important ways of earthquake monitoring. In recent years, geoelectric field observation has been subjected to more and more interference caused by subways, high-voltage direct current transmission, and electrical facilities, etc. Among all these interferences, there is a special type of known interference in the earthquake geo-electric field observation, which is so-called “interference from current” caused by the electric current in measuring geo-electrical resistivity if the geo-electric field and geo-electrical resistivity were observed at the same site. This kind of interference is characterized by short interference time, fixed interference waveform and fixed appearance time, and it will cause difficulties in identifying normal variation of geo-electric field and analyzing data. This paper deals with approaches of eliminating the interference data by using interpolation method. The fractal interpolation method and traditional Lagrange interpolation method were separately used. On the basis of introducing the principle of the two interpolation method, the processing result of the two methods on simulation data and actual data are compared, it demonstrates that fractal interpolation method has higher accuracy than that of Lagrange interpolation method. Then the fractal interpolation method was used in the actual data processing. The result shows that the method not only retrieves the section information effectively, but also preserves the overall original variation tendency of the observation data.
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引言
地电观测包括地电场和地电阻率两类观测，在多年的地震监测预测实践中发挥了不可替代的作用。近年来，随着我国城镇化的快速发展，地电观测受到越来越多的干扰，特别是地电场观测，在观测中受到城市轨道交通（包括地铁、轻轨）、高压直流输电、工农业用电漏电等多种外界环境因素的干扰。此外，在地电场观测中还有一类特殊的已知干扰，即地电阻率、地电场同场地观测时，地电阻率观测供电对地电场观测产生的干扰，这种干扰幅度大、频次高（每小时一次），严重地影响了地电场观测。
目前我国的地震地电监测台网包括大约110个地电场观测台站和80个地电阻率观测台站，其中52个台站是地电场和地电阻率同场地观测。由于地电阻率观测为主动方式，观测时向地下供入电流，这会对地电场的观测造成干扰。图1为江苏高邮台和陕西宝鸡台受地电阻率供电干扰的地电场观测结果，可以看出，地电阻率观测时的供电严重影响了地电场观测，对后续分析和研究造成了影响，对提高这些综合地震观测台站数据的内在质量以及台站观测资源的有效利用均极为不利，因此如何处理好这一矛盾，显得尤为重要。
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图 1 2020年2月1日江苏高邮台（a）和陕西宝鸡台（b）受地电阻率供电干扰的地电场观测数据Figure 1. The interference waveforms of geo-electric field at the seismic observatories Gaoyou （a） and Baoji （b） on 1 February 2020多年来，我国的地震学科研人员对地电场观测数据的正常变化形态及其与地震的关系等进行了深入的研究。地电场的正常变化表现出明显的日变形态，且对于特定的台站，其地电场平静期的日变形态稳定，大多呈“两峰一谷”或“两谷一峰”的变化特征，并具有明显的周期性（黄清华，刘涛，2006；杜学彬等，2007；叶青等，2007；谭大诚等，2010；崔腾发等，2013）；而受到地电阻率供电干扰的观测数据的变化形态则会出现畸变（图1），影响着数据在地震预测研究中的应用。那么如何有效地避免此类干扰，或者通过何种方法有效地恢复数据的原始形态，这个问题亟待研究。
为了消除地电阻率供电干扰，我国的地震监测人员也曾经进行过一些研究。自“九五”以来，在观测中采用硬件连接，通过两种仪器“握手”的方式，使两种仪器的观测分时进行，即在地电场观测时，暂停地电阻率供电以达到避免干扰的目的（中国地震局监测预报司，2002）。虽然这种方式会导致地电阻率观测时间的延长，但对于每小时一次的地电阻率观测和每分钟一次的地电场观测来说完全可以接受。这种方式在当时的条件下有效地解决了同场地观测干扰的问题。近年来，为了提高地电场观测的精度，虽然产出的数据仍然是每分钟一次，但是地电场测量的采样率有了很大的提高，特别是一些型号的地电场仪开始以秒采样或以更高采样率进行工作，每分钟给出平均值，这使得通过分时的工作方式来避免供电干扰不再可行。
另一方面，从图1可以看出，对于一个固定台站来说，地电阻率供电干扰具有显著的特点，即干扰的幅度、出现时间和干扰形态均相对固定，因此干扰比较容易判断。实际工作中，如何通过这些已知的信息和特征，拟合出被干扰部分的局部形态，从而最大限度地恢复信息，对于地电场观测极其重要。
在地震台站的地电场观测中，地电阻率观测每小时一次，根据各台站的具体情况，每次观测需5—10分钟。对于分钟采样的地电场观测来说，按照目前台站的实际情况，每小时观测数据中大约有5—10个数据点被供电干扰所影响。一般情况下，对这样个别点的数据可采用插值方法进行插补，以弥补损失的信息。传统的插值法主要有拉格朗日插值、牛顿插值以及样条插值等，但是这些方法的主要缺陷是经插值得到的数据曲线局部放大后最终都是一条直线，这与地电场观测值随时间变化这一特征不相符，不能反映地电场的短时波动情况。而分形插值法则正好克服了这一缺陷，分形理论主要用来描述复杂事物在几何方面的整体与局部或不同尺度下的自相似性。该理论基于部分与整体的自相似性，从部分出发来确定整体的性质，可以直接预测曲线的整体形状。因此分形插值法相比于传统的插值方法更能反映插值点之间的突变情况，拟合强波动性曲线的能力较强，同时，其拟合精度较传统插值方法更高（孙洪泉，2002；范玉红等，2005；杨杰，2006；张俊伟等，2018）。
这也给受地电阻率观测供电干扰的地电场数据的处理提供了一种新的思路，该方法有可能更适合地电场干扰数据的处理。鉴于此，本文拟分别利用分形插值方法和传统的拉格朗日插值方法重建地电场被干扰的数据，比较两方法的处理效果，并通过理论模拟分析和台站的实际应用，来验证分形方法在地电场数据处理中的有效性。
1. 插值方法原理
1.1 拉格朗日插值
传统的插值函数都是用一组初等函数的线性组合来表示，通常所用的初等函数为多项式、有理函数或者三角函数。拉格朗日插值就是多项式插值的一种。
对于给定的一组数据（xi，yi），i＝1，2，3，···，N，其拉格朗日插值实际上就是把插值多项式L（x）表示为N个基本多项式（或称为基函数）Li（x）的线性组合（甄西丰，2006）：
$$ {L}_{i}{\text{（}}x{\text{）}}{\text{＝}}{ \prod^{\scriptstyle{N}} _{\scriptstyle{j{\text{＝}}1 }}}\frac{{\text{（}}{x{\text{－}}x}_{j}{\text{）}}}{{\text{（}}{{x}_{i}{\text{－}}x}_{j}{\text{）}}}{\text{，}}{ j{\text{≠}} i}{\text{，}}$$ (1) 则拉格朗日插值函数为
$$ L{\text{（}}x{\text{）}}{\text{＝}}\sum _{i{\text{＝}}1}^{N}{y}_{i}{L}_{i}{\text{（}}x{\text{）}}{{\text{.}}} $$ (2) 若插值点较多，多项式次数很大时，计算出的插值结果具有不稳定的特点，即计算出的插值数值变化较大，与实际的真值偏差很大，易产生所谓的“龙格震荡”现象（甄西丰，2006）。
1.2 分形插值
分形插值是一种构造分形曲线的方法，对于一组给定的数据点（xn，yn），（xn－1＜xn，n＝1，2，3，···，N），构造一个迭代函数系统IFS{（R2：W1，W2，W3，···，WN）}，使得这个迭代函数系统的吸引子G等于插值函数f （x）的图形（沙震，阮火军，2005；李洋等，2018；张俊伟等，2018）。
IFS是一组仿射变换，每个仿射变换如下：
$$ {W_n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) {\text{＝}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_n}}&{{b_n}}\\ {{c_n}}&{{d_n}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) {\text{＋}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_n}}\\ {{f_n}} \end{array}} \right){\text{，}}\;\;\;\;\;n {\text{＝}} 1{\text{，}}2{\text{，}}3{\text{，}} \cdots {\text{，}}N {\text{，}}$$ (3) 并满足如下条件：
$$ {W_n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0}}\\ {{y_0}} \end{array}} \right) {\text{＝}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{n {\text{－}} 1}}}\\ {{y_{n {\text{－}} 1}}} \end{array}} \right){\text{，}}\;\;\;{W_n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_N}}\\ {{y_N}} \end{array}} \right) {\text{＝}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_n}}\\ {{y_n}} \end{array}} \right) {\text{，}}$$ (4) 式（4）中：（xn，yn）为数据点；dn为Wn的垂直比例因子，作为分形自由参量，可以调整分形插值函数的形状，以满足不同分形的要求，dn越小，曲线越平滑，一般选择0≤dn＜1；通常bn＝0保证各个小区间函数不交迭；N为插值基点个数；各参数可由插值基点确定，分别为
$$ {a}_{n}{\text{＝}}\frac{{x}_{n}{\text{－}}{x}_{n{\text{－}}1}}{{x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}} {\text{，}}$$ (5) $$ {c}_{n}{\text{＝}}\frac{{y}_{n}{\text{－}}{y}_{n{\text{－}}1}}{{x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}}{\text{－}}\frac{{d}_{n}{\text{（}}{y}_{N}{\text{－}}{y}_{0}{\text{）}}}{{x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}} {\text{，}}$$ (6) $$ {e}_{n}{\text{＝}}\frac{{x}_{N}{x}_{n{\text{－}}1}{\text{－}}{{x}_{0}x}_{n}}{{x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}} {\text{，}}$$ (7) $$ {f}_{n}{\text{＝}}\frac{{{x}_{N}y}_{n{\text{－}}1}{\text{－}}{x}_{0}{y}_{n}}{{x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}}{\text{－}}\frac{{d}_{n}{\text{（}}{{y}_{0}x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}{y}_{N}{\text{）}}}{{x}_{N}{\text{－}}{x}_{0}}{\text{；}} $$ (8) G为吸引子，
$G {\text{＝}} {\rm{U}}_{n {\text{＝}}1}^N{W_n}{\text{（}}G{\text{）}}$ 。吸引子必定是某个连续函数的图形曲线，并同时通过各个插值基点。这个连续函数就称为分形插值函数f （x），其表达式为
$$ f{\text{（}}x{\text{）}}{\text{＝}}\frac{{c}_{n}x{\text{＋}}{f}_{n}}{1{\text{－}}{d}_{n}}{\text{，}} $$ (9) 式中系数cn和fn的值由Wn（x0，y0）＝（xn－1，yn－1）和Wn（xN，yN）＝（xn，yn）确定。
2. 数值模拟检验
2.1 模拟数据生成
模拟受干扰数据采用正常地电场观测数据加上地电阻率观测供电干扰波形构成。正常地电场数据选取高邮地震台的实际地电场NS向观测数据，将其作为原始数据xi，如图2所示。
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图 2 高邮台2020年2月1日正常地电场NS向观测数据Figure 2. The curve of normal geo-electric field data of Gaoyou seismic observatory on 1 February 2020高邮台实际的地电阻率观测时间为7 min，干扰幅度最大为1.2 mV/km。图3为高邮台地电阻率观测供电干扰ni的波形，以此作为供电干扰模板。
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图 3 高邮台地电阻率供电干扰波形模板Figure 3. The waveform of interference from current for Gaoyou seismic observatory从图3中可以看到：地电阻率观测供电存在一定的时间间隔，并不是在其观测的7分钟内所有地电场数据点都会被干扰；在第3、4分钟时，干扰幅度很小，可以忽略。但在数据处理时，仍然将这7分钟的数据全部删去，然后进行插补。
对于地电阻率供电干扰来说，由于地电场观测是分钟采样，因此供电干扰表现为对各个分钟单点观测结果的干扰。对不同台站来说，由于地电阻率观测供电时间不同，其干扰的模板（形态）也不同。但是这并不会影响到数据的插值处理，因为进行插值处理时，不论供电干扰形态如何，这些被供电干扰的数据均被删去再进行插值处理。
将原始数据xi与供电干扰ni相加得到含有供电干扰的模拟地电场观测数据Ei，地电阻率每小时第5分种开始观测，相加时，将xi与ni每小时第5—11分钟的数据对应相加，得到Ei，如图4所示。
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图 4 地电场干扰数据模拟曲线Figure 4. The curve of simulated interference data of geo-electric field2.2 插值结果对比
在进行插值处理之前，首先要合理地选择插值基点。所谓插值基点就是构造插值函数的一组数据点。在选择插值基点时，为了更好地反映数据局部变化的相关性，以被干扰数据前后的几个数据作为插值基点，即由相邻的几个数据点构造相应的插值公式，然后再对一定范围内的自变量x进行插值，这样构造的插值公式更接近于实际情况。
在处理受供电干扰的地电场观测数据时，选择的插值基点为10个，采用被干扰数据前、后各5个数据作为插值基点。例如，每小时5—11分钟的观测数据为被干扰数据，插值基点选择每小时5分钟之前的5个数据（即0—4分钟的观测数据）和11分钟之后的5个数据（即12—16分钟的观测数据），共10个正常观测数据作为插值基点。
分别采用拉格朗日插值和分形插值方法对2.1的模拟数据进行处理，并对处理效果进行对比，以插值处理后得到的数据与原始数据xi差值的均方根误差作为评价标准，以便真实地反映处理后数据与原始数据的偏离程度。
假设插值后的数据为yi，则其与原始数据xi差值的均方根误差σ为
$$ \sigma {\text{＝}}\sqrt{\frac{1}{N}\sum \limits_{i{\text{＝}}1}^{N}{{\text{（}}{y}_{i}{\text{－}}{x}_{i}{\text{）}}}^{2}}{\text{，}} $$ (10) 式中，N为每天观测数据的总个数。
对高邮地震台2020年2月1日至25日共25天的正常观测数据加入干扰，并采用拉格朗日插值和分形插值方法分别进行处理。表1给出了基于两种插值方法所得结果与原始数据差值的均方根误差σ，图5则给出了均方根误差σ的变化曲线。从图5和表1可以看出，采用分形插值方法的误差小于传统的拉格朗日方法，而且其与原始数据差值的均方根误差σ更稳定。
表 1 插值数据与原始数据差值的均方根误差Table 1. The RMS error of difference between original data and reconstructed data序号 数据日期
年-月-日均方根误差σ 序号 数据日期
年-月-日均方根误差σ 拉格朗日插值 分形插值 拉格朗日插值 分形插值 1 2020-02-01 0.048 0.033 14 2020-02-14 0.034 0.032 2 2020-02-02 0.039 0.028 15 2020-02-15 0.043 0.028 3 2020-02-03 0.051 0.028 16 2020-02-16 0.030 0.025 4 2020-02-04 0.040 0.023 17 2020-02-17 0.040 0.028 5 2020-02-05 0.030 0.024 18 2020-02-18 0.055 0.028 6 2020-02-06 0.045 0.027 19 2020-02-19 0.053 0.035 7 2020-02-07 0.071 0.042 20 2020-02-20 0.038 0.034 8 2020-02-08 0.054 0.033 21 2020-02-21 0.046 0.023 9 2020-02-09 0.034 0.030 22 2020-02-22 0.047 0.032 10 2020-02-10 0.042 0.025 23 2020-02-23 0.031 0.029 11 2020-02-11 0.043 0.025 24 2020-02-24 0.045 0.023 12 2020-02-12 0.050 0.026 25 2020-02-25 0.029 0.019 13 2020-02-13 0.033 0.026 ![]()
图 5 插值结果与原始数据差值的均方根误差σFigure 5. The RMS error σ of difference between original data and reconstructed data图6为2020年2月7日（误差最大）和25日（最小误差）的模拟干扰数据及分形插值处理结果，图7为插值前后曲线形态的对比。从图6中可以看出，采用分形插值可以有效地消除地电阻率供电干扰，较好地重建了受干扰的地电场观测数据，提高了观测数据的精度。从图7所示的分形插值结果（图中蓝色圆圈为插值点）与原始数据的对比可以看出，分形插值与原始数据的变化形态近似，表明采用该方法重建的数据是对原数据很好的近似，插值结果较好地恢复了原有数据的信息，保持了观测数据原有的变化趋势。
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图 6 模拟干扰数据（左）及分形插值处理结果（右）（a） 2020年2月7日；（b） 2020年2月25日Figure 6. The curves of simulated interference data （left） and processing result （right）（a） On 7 February 2020；（b） On 25 February 2020![]()
图 7 分形插值数据与原始数据的对比（a） 2020年2月7日；（b） 2020年2月25日Figure 7. Comparison of original data with data reconstructed by fractal interpolation（a） On 7 February 2020；（b） On 25 February 2020从插值结果的对比来看，分形插值的误差小于传统的拉格朗日插值方法，效果更优，这主要是因为传统的插值方法在任意两插值点之间，只能用直线连接，掩盖了地电场本身的数据变化特征，而分形方法则是根据自相似的原理，能够充分体现两个插值点之间的地电场局部变化特征。
3. 实际数据处理结果
从上述对模拟干扰数据的处理结果可以看出，对于包含有少量供电干扰的地电场观测数据，可以采用分形插值方法对地电场观测数据进行插补，处理后的数据不影响其原有的信息。自2019年以来该方法已被应用于台站实际观测数据的处理中，图8是以3个同场地观测台站为例，给出了分形插值方法对受供电干扰地电场实际观测数据的处理结果。
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图 8 高邮台（a）、宝鸡台 （b）和榆树台（c）受干扰地电场数据（左）及其相应的分形插值结果（右）Figure 8. The actual interference geo-electric field data （left panels） and corresponding fractal interpolation result （right panels） for the seismic observatories Gaoyou （a），Baoji （b） and Yushu （c）从图8中台站的实际应用效果可以看出，采用分形插值的方法对台站观测数据进行处理，有效地改善了原来数据中由于供电干扰所产生的剧烈变化的问题，使观测数据曲线变得较接近于原有的变化形态，便于后续处理。
4. 讨论与结论
地电同场地观测中，地电阻率观测供电不可避免地对地电场观测造成干扰，这些干扰点虽然数量较少，但严重影响了观测数据的质量，对于这些少量的干扰数据可以通过插值的方式来恢复。
从对模拟受干扰数据的处理结果来看，分形插值结果与原始数据的误差更小，提高了信号重建的精度，效果优于传统的拉格朗日方法，更适合于地电场供电干扰数据的处理，采用该方法重建的数据较好恢复了原有数据的信息，并保持观测数据原有的变化趋势。
目前该方法已经被应用于30余个地电场、地电阻率同场地观测台站的数据处理中，今后随着观测仪器的持续更新及换代，将用于更多的观测台站。实际应用结果表明分形方法的插值效果良好，有效地改善了原来数据中由于供电干扰所产生的剧烈变化的问题，使观测数据曲线变得较平滑，便于后续分析、处理，同时又不影响观测数据原有的趋势性变化。该方法对电阻率观测直流供电干扰处理具有较好效果。同时对于其它已知的短时干扰数据的处理，例如地磁观测数据受地电阻率供电干扰，具有一定的借鉴意义。
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图 1 2020年2月1日江苏高邮台（a）和陕西宝鸡台（b）受地电阻率供电干扰的地电场观测数据
Figure 1. The interference waveforms of geo-electric field at the seismic observatories Gaoyou （a） and Baoji （b） on 1 February 2020
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图 2 高邮台2020年2月1日正常地电场NS向观测数据
Figure 2. The curve of normal geo-electric field data of Gaoyou seismic observatory on 1 February 2020
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图 3 高邮台地电阻率供电干扰波形模板
Figure 3. The waveform of interference from current for Gaoyou seismic observatory
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图 4 地电场干扰数据模拟曲线
Figure 4. The curve of simulated interference data of geo-electric field
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图 5 插值结果与原始数据差值的均方根误差σ
Figure 5. The RMS error σ of difference between original data and reconstructed data
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图 6 模拟干扰数据（左）及分形插值处理结果（右）
（a） 2020年2月7日；（b） 2020年2月25日
Figure 6. The curves of simulated interference data （left） and processing result （right）
（a） On 7 February 2020；（b） On 25 February 2020
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图 7 分形插值数据与原始数据的对比
（a） 2020年2月7日；（b） 2020年2月25日
Figure 7. Comparison of original data with data reconstructed by fractal interpolation
（a） On 7 February 2020；（b） On 25 February 2020
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图 8 高邮台（a）、宝鸡台 （b）和榆树台（c）受干扰地电场数据（左）及其相应的分形插值结果（右）
Figure 8. The actual interference geo-electric field data （left panels） and corresponding fractal interpolation result （right panels） for the seismic observatories Gaoyou （a），Baoji （b） and Yushu （c）
表 1 插值数据与原始数据差值的均方根误差
Table 1 The RMS error of difference between original data and reconstructed data
序号 数据日期
年-月-日均方根误差σ 序号 数据日期
年-月-日均方根误差σ 拉格朗日插值 分形插值 拉格朗日插值 分形插值 1 2020-02-01 0.048 0.033 14 2020-02-14 0.034 0.032 2 2020-02-02 0.039 0.028 15 2020-02-15 0.043 0.028 3 2020-02-03 0.051 0.028 16 2020-02-16 0.030 0.025 4 2020-02-04 0.040 0.023 17 2020-02-17 0.040 0.028 5 2020-02-05 0.030 0.024 18 2020-02-18 0.055 0.028 6 2020-02-06 0.045 0.027 19 2020-02-19 0.053 0.035 7 2020-02-07 0.071 0.042 20 2020-02-20 0.038 0.034 8 2020-02-08 0.054 0.033 21 2020-02-21 0.046 0.023 9 2020-02-09 0.034 0.030 22 2020-02-22 0.047 0.032 10 2020-02-10 0.042 0.025 23 2020-02-23 0.031 0.029 11 2020-02-11 0.043 0.025 24 2020-02-24 0.045 0.023 12 2020-02-12 0.050 0.026 25 2020-02-25 0.029 0.019 13 2020-02-13 0.033 0.026 
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