引言

近年来随着我国交通领域的发展，新建铁路隧道与既有隧道间紧邻交叠的工程大量涌现，相邻隧道的存在将改变既有隧道的地层条件，从而造成既有隧道的地震响应特性发生改变。另外，地层与隧道群之间存在地震波的反射和散射等多种影响（李玉峰等，2015），对其结构的抗震安全性埋下隐患。因此，地层与隧道群间相互作用及抗震问题需引起重视。

目前，针对近邻隧道群的抗震研究已引起一部分研究人员的关注。Balendra等（1984）采用波函数展开法，给出两个平行圆形地下隧道在简谐SH波入射下的解析解；梁建文等（2004，2012）针对双线平行空洞地震响应问题分别采用解析解和数值解进行了研究并讨论间距的影响；Liu和Wang （2012）基于复变函数法给出了全空间中双圆隧道对纵波和横波的动应力集中解析解；王国波等（2013，2015）针对紧邻多孔交叠盾构隧道工程问题，建立了土-隧道群相互作用计算模型进行了研究；Fang等（2015）研究纵波作用下两圆形衬砌隧道的相互作用机制，并指出高频载荷将导致较低的动应力；Alielahi和Adampira （2016）采用时域边界元法研究了双平行空洞对地表的地震动响应；Lin等（2017）模拟了水平双隧道在垂直入射地震波作用下的二维动力响应，指出隧道间距和埋深是影响隧道地震响应的重要因素；Tsinidis （2018）给出了单双隧道的存在对地表地震动的响应，并指出地表结构的存在导致隧道变形和周围土压力响应增加。总体而言，目前近邻隧道的抗震研究通常针对单相介质场地，而在沿海地区地下水位较高，场地多呈饱和状态。相比之下饱和两相介质地层的动力特性更为复杂（李鹏等，2014），如孔隙流体的力学性质、孔隙流体与固相土骨架的耦合作用等，会直接影响饱和地层的动力特性，进而对隧道间动力相互作用产生影响，但目前对其影响机制研究尚不清晰。

本文旨在研究SV波入射下饱和地层平行双线隧道动力响应的影响机制，基于Biot饱和两相介质理论，采用间接边界积分方程法（Liu et al，2017）分别建立水平和竖向双线隧道动力作用分析模型，模拟SV波垂直入射下饱和地层与平行隧道之间的动力相互作用，并分析双线隧道间距变化和SV波入射频率变化对隧道结构地震响应及饱和地层孔隙水压力的影响规律。

1.   模型及方法

1.1   计算模型

本文计算模型为饱和地层浅埋平行双线圆形隧道，如图1所示。假设饱和地层为均匀各向同性多孔介质，衬砌为均质各向同性弹性体。双线隧道形式为水平分布和竖向分布，衬砌内外半径分别为r₁和r₂，埋深为d，双线隧道间距（圆心距离）为s。平面SV波以θ角从基岩入射。假设行波方向垂直于隧道纵轴，即为饱和地层衬砌对平面SV波的二维散射问题。

图  1  计算模型

Figure  1.  Calculation model

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1.2   两相介质理论

根据饱和两相介质理论，采用Biot动力控制方程中的u-w模型（Biot，1962），其各向同性多孔弹性介质的本构关系可以表示为

式中：σ_ij为土体总应力张量；p为孔隙水压力；ε_ij为土体平均应变张量；e为土体骨架的体积应变；λ，µ为土体骨架的拉梅常数；δ_ij为克罗内克函数；u_i为土体骨架位移；w_i为土骨架相对流体位移；α，M分别表示Biot有效应力系数和Biot模量，其中${\text{0}}{\text{≤}} \alpha {\text{≤}} {\text{1}}$，${\text{0}} {\text{≤}} M {\text{＜}} \infty $。

u-w模型的动力控制方程表示为

式中：ρ为土体总密度，$\;\rho{\text{＝}}（1{\text{－}}n） \rho_{{\rm{s}}}{\text{＋}}n \rho_{{\rm{f}}}$，ρ_s和ρ_f分别为土颗粒和流体的质量密度，n为孔隙率；b为耗散系数，$b {\text{＝}} {\rho _{\rm{f}}}g/k$，$ k $为地层渗透系数，g为重力加速度；m为类似密度的参数，大小取决于ρ_f和附加质量系数，$m{\text{＝}}（n \rho_{{\rm{f}}}{\text{＋}}\rho_{{\rm{a}}}） / n^{2}$，其中ρ_a为固、液两相耦合质量密度。

1.3   波场构造及求解

考虑到二维饱和地层半无限域D₁中存在隧道域D₂和相邻隧道域D₃，现以水平双线隧道为例给出边界元方法的波场构造示意图（图2）。衬砌内外引入3个虚拟波源面，其中$ {S_1} $和$ {S'_1} $构造地层中散射波，$ {S_2} $，$ {S'_2} $和$ {S_3} $，$ {S'_3} $分别构造衬砌中的散射波。为便于求解，将D₁中的波场分为自由场和半无限域散射场，D₂和D₃中的波场为衬砌域散射场。其中，自由场表示无散射体时的波场。半无限域中位移场和应力场由自由场和散射场叠加而得，两隧道内部反应则由各自衬砌域的散射场构成。

图  2  波场构造示意图

Figure  2.  Schematic diagram of wave field structure

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基于Biot理论和波势函数求解（刘中宪等，2015），得到压缩波P₁，P₂和剪切波SV的波数，进而得到自由波场引起的地层应力$\sigma_{ij}^{{\rm{f}}}（i{\text{，}} j{\text{＝}}x{\text{，}} y）$，固相位移$ u_{i}^{{\rm{f}}} $，流体相对位移$ w_{i}^{{\rm{f}}} $和孔隙水压力$ p^{{\rm{f}}} $。由于双线隧道作为散射体存在于半无限域中，入射波会在饱和地层和两个隧道内部产生散射波。根据单层位势理论，通过在两隧道内部虚拟面${S_{1}}$和${S'_{1}}$上的波源积分，可以模拟扩展到无穷远外部区域中的位移$u_{i}^{S_{1}}$，应力$\sigma_{{i}}^{{S}_{1}}$，流体相对位移$w_{i}^{S_{1}}$和孔隙水压力$p^{S_{1}}$。同理，两隧道衬砌内部的散射场可以分别通过虚拟波源面${S_{2}}$和${S_{3}}$，${S'_{2}}$和${S'_{3}}$上的波源积分，模拟单相介质衬砌域的位移$u_{i}^{{\rm{d}}}{\text{＝}}u_{i}^{S_{2}}{\text{＋}}u_{i}^{S_{3}}$和应力$\sigma_{i j}^{{\rm{d}}}{\text{＝}}\sigma_{ij}^{S_{2}}{\text{＋}}\sigma_{ij}^{S_{3}}$以及位移$u{'}_{i}^{\rm{d}} {\text{＝}} u{'}_{i}^{{S_{2}}} {\text{＋}} u{'}_{i}^{{S_{3}}}$和应力$ \sigma {'}_{ij}^{\rm{d}} {\text{＝}} \sigma {'}_{ij}^{{S_{2}}} {\text{＋}} \sigma {'}_{ij}^{{S_{3}}} $，需要注意的是，相邻隧道之间由于半空间散射场的存在而相互影响。另外，由于边界积分方程的建立基于叠加原理，因此局限于线性问题的求解。本文仅针对动力问题进行分析，具体工程设计可以通过叠加初始地应力场进行组合。

在饱和地层域与衬砌域交界面$S{_{\rm{d}}}$（衬砌外壁），满足位移和应力连续性条件，即

在饱和地层域与相邻衬砌域交界面$S{_{\rm{d}}'}$（相邻衬砌外壁），满足位移和应力连续性条件，即

在衬砌域与内部空气介质交界面S_s （衬砌内壁）处，衬砌域散射场须满足应力为零边界条件，即

同理，在相邻衬砌域与内部空气介质交界面S_s ′ （相邻衬砌内壁）处，衬砌域散射场也应满足应力为零的边界条件，即

式中：上标$ S_{1} $和${S'_{1}}$表示两隧道引起的半无限域散射场；$S_{2}{\text{，}}{S_{3}}$表示衬砌域外壁和内壁引起的散射场；$S'_{2}{\text{，}}{S'_{3}}$表示相邻衬砌域引起的散射场；${\rm{f}}$表示无散射体时的自由场；$t_{i}{\text{＝}}\sigma_{i j} {\boldsymbol{n}}_{j}$表示边界力，${\boldsymbol{n}}_{j}$为外法向量分量，$i {\text{＝}} 1{\text{，}}2$，$j {\text{＝}} 1{\text{，}}2$分别表示x，y方向。

边界不透水条件为饱和地层与两个衬砌交界面处流体相对位移为零，即

式中，$w{\text{＝}}w_{i} {\boldsymbol{n}}_{i}$，流体相对位移方向仅为法向方向。

为了便于求解，需对散射波长的方程进行离散化处理，同时将格林函数带入边界条件，可以得到如下离散化矩阵形式

式中：$ G{\text{，}}T{\text{，}}W $分别表示饱和半无限域的位移、应力和流体相对位移格林函数；$ TT $表示衬砌域的应力格林函数；$ b $，$ c $和$ d $分别为虚拟波源面${S_{\text{1}}}$上P₁，P₂和SV三种波源的源密度；$ e{\text{，}}f $和$ g{\text{，}}h $分别为虚拟波源面${S_2}$和${S_3}$上P₁和SV波的波源密度；上标′表示相邻隧道域，同理上述表达；$ {u^{\rm{f}}}{\text{，}}{t^{\rm{f}}}{\text{，}}{w^{\rm{f}}} $分别表示自由场位移、应力和流体相对位移；上标（1），（2），（3）分别表示三个虚拟波源面$ {S_1}{\text{，}}{S_2}{\text{，}}{S_3} $；下标x，y分别表示x，y方向；下标1，2，3分别表示P₁，S，P₂波。采用最小二乘法求解方程组从而得到虚拟波源密度；再与格林函数矩阵相乘，即可得到散射场中的结构应力和位移、流体位移和孔压；最后与自由场结果相加，即可得到弹性波入射下空间任一点响应的解答。

2.   模型验证

由于饱和地层中平行双线隧道对弹性波的散射问题至今没有完全精确的解析解，现通过参数退化与现有单相介质条件下的动力响应对比来进行模型验证，即将孔隙率、流体体积模量和流体密度设为非常小，从而得到饱和两相介质退化为单相介质的计算结果。为了便于对比分析，首先定义无量纲频率，即通过散射体的特征尺寸和剪切波速$ {v_\beta } $将频率归一化为

式中：$ a $为散射体的特征尺寸（隧道半径）；ω为圆频率；λ_β是剪切波的波长；η表示衬砌结构尺寸与地层介质中剪切波波长之比，η越大，则入射波波长越小，对应频率f越高。

首先，假设平行双线隧道无限远，同时衬砌和饱和半空间的模量与波数均相等，图3给出了SV波垂直入射下，隧道上方地表水平位移和竖向位移。定义位移无量纲幅值$u_i {\text{＝}} \left| {{U_x}/{A_{{\rm{sv}}}}} \right|{\text{，}} $$ i {\text{＝}} x{\text{，}}y$，表示地表位移与入射波幅值之比。隧道埋深d/r＝1.5和5.0，黏滞阻尼比$ \zeta $＝0.001，无量纲频率η，材料泊松比ν＝1/3。中可以看出，本文结果与解析解（Luco et al， 1994）结果吻合良好。

图  3  地表水平（左）和竖向（右）位移幅值与解析解对比

Figure  3.  Comparison of the horizontal （left） and vertical （right） displacement amplitudes of the surface with analytical solutions

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另外，考虑单相介质条件下将双线隧道衬砌模型退化为双孔洞模型。计算参数取值为：双洞室埋深D＝2，间距s＝5，阻尼比$\zeta $＝0.001，泊松比$\nu {\text{＝}} 0.25$，入射角为90°。图4给出了无量纲频率η＝0.25情况下，水平平行孔洞中左孔洞的环向应力和双孔洞上方地表横向位移幅值，定义$ \sigma _{\theta \theta }^{\text{*}}{\text{＝}}\left| {{\sigma _{\theta \theta }}{\text{/}}{\sigma _{\text{0}}}} \right|{\text{＝}}\left| {{\sigma _{\theta \theta }}{\text{/}}\mu k_\beta ^2} \right| $，表示衬砌环向应力与地层入射波应力幅值之比。从图中可以看出，本文结果与陈波（2008）的结果吻合良好，从而验证了模型的正确性。

图  4  本文环向应力（左）和地表位移幅值（右）与精确解对比

Figure  4.  Comparison of the hoop stress （left） and surface displacement （right） in this paper with the exact solution

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3.   算例分析

本研究主要讨论饱和地层水平和竖向双线隧道在SV波垂直入射下，隧道间距及SV波入射频率变化对饱和地层-平行隧道的动力响应机制。双线隧道浅埋于饱和两相介质半空间中，衬砌内径取为3 m，外径取为3.3 m，深径比$D{\text{＝}}d/a$ 为3，d为隧道开挖断面的中心至地面的垂直距离。取饱和半空间介质材料参数，泊松比为ν₁＝0.25，材料滞回阻尼比$\xi $＝0.001 （按照复阻尼理论引入，$\bar \lambda {\text{＝}} \lambda （1 {\text{＋}} 2\zeta {\text{i}}）$，$\bar \mu {\text{＝}} \mu （1 {\text{＋}} 2\zeta {\text{i}}）$），孔隙率$n$＝0.3，临界孔隙率$ {n_{{\rm{cr}}}} {\text{＝}} 0.36 $，临界土体体积模量$ {K_{{\rm{cr}}}} $＝200 MPa，土颗粒体积模量$ {K_{\rm{g}}} $＝36 000 MPa，流体体积模量$ {K_{\rm{f}}} $＝2 000 MPa，土颗粒密度$ {\rho _{\rm{g}}} $＝2 650 kg/m³，流体密度$\; {\rho _{\rm{f}}} $＝1 000 kg/m³。衬砌材料选取C40混凝土，泊松比为ν₂＝0.2，弹性模量$ E $＝32 500 MPa，混凝土密度$ \rho $＝2 500 kg/m³。

下文参数分析中，定义双线隧道间距比$S{\text{＝}}s/a$，s为隧道断面中心之间的直线距离，选取隧道间距比S为3，5，8。考虑到地震波长若介于隧道尺寸的1—4倍时，地震动响应会被明显放大（Hashash et al，2001），本文将选取无量纲入射频率η＝0.25，0.5，1.0展开研究，即地震波长为隧道直径尺寸的4倍，2倍和1倍。本文重点讨论饱和地层-平行双线隧道交界面不透水条件下隧道间距及入射频率变化对衬砌环向应力、地表位移幅值变化及周围地层孔隙水压力的响应规律，并以单条隧道分析结果为参照进行对比分析，揭示饱和地层-平行双线隧道的动力响应机制。

3.1   平行双线隧道地表位移响应

图5给出了饱和地层水平双线隧道地表x和y方向位移幅值曲线，并于单条隧道结果为参照进行比较，定义位移无量纲幅值$u_i^* {\text{＝}} \left| {{U_{x}}/{u^{\rm{f}}}} \right|{\text{，}} i {\text{＝}} x{\text{，}}y$，表示地表位移与自由场的比值。x方向地表分布范围选取为x/a＝0—20。可以看出：与单隧道相比，近邻隧道动力相互作用下的地表位移幅值放大效应明显，且随间距的增加位移幅值逐渐增大，如$\eta $＝1.0时，S＝3的水平双线隧道x方向地表位移峰值为单隧道的1.3倍，且达到自由场幅值的1.5倍，这是由于近邻隧道与地表之间产生“扫掠区”，导致地震波在区域内多次反射而引起动力响应增强。当无量纲入射频率较低（$\eta $＝0.25，0.5），平行双线隧道存在对地表的位移响应影响范围较大，当频率较高（$\eta $＝1.0）时，地表位移响应特征发生较大变化但影响范围较小，仅隧道上方4倍范围内地表受到影响，而远离隧道上方地表处的响应趋于自由场。

图  5  水平双线隧道地表x （a）和y （b）方向无量纲位移幅值曲线

Figure  5.  The amplitude curves of the ground x-direction （a） and y-direction （b） displacement of the horizontal twin tunnels

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图6给出了饱和地层竖向双线隧道地表x和y方向位移幅值曲线，x方向地表分布范围选取为x/a＝−10—10。可以看出：随入射频率的增加，地表位移响应特征发生显著变化。当频率较低（$\eta $＝0.25，0.5）时，隧道间距的变化对地表位移响应影响明显，与单隧道相比，竖向双线隧道地表x向位移幅值减小，且随着隧道间距的增加，放大效应逐渐减弱，而y方向地表位移幅值随隧道间距的减小而增加，这是由于下层隧道的存在阻滞了SV波的向上传播。当频率较高（$\eta $＝1.0）时，隧道间距对隧道上方地表位移的响应影响较小，而远离隧道上方地表处的动力响应影响较大。

图  6  竖向双线隧道地表x （a）和y （b）方向无量纲位移幅值曲线

Figure  6.  The amplitude curves of the ground x-direction （a） and y-direction （b） displacement of the vertical twin tunnels

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3.2   衬砌环向应力响应

图7分别给出了水平和竖向双线隧道衬砌沿圆周方向分布的动应力集中因子曲线，衬砌选取为，水平双线隧道左侧隧道，竖向双线隧道上方隧道。定义$ \sigma _{\theta \theta }^{\text{*}}{\text{＝}}\left| {{\sigma _{\theta \theta }}{\text{/}}{\sigma _{\text{0}}}} \right|{\text{＝}}\left| {{\sigma _{\theta \theta }}{\text{/}}\mu k_\beta ^2} \right| $，表示衬砌环向应力与地层入射波应力幅值之比。可以看出，双线隧道间距对衬砌环向应力影响显著，不同间距下环向应力沿圆周方向分布形式发生明显改变，但竖向相邻隧道影响下应力峰值位置不发生改变，受到SV波垂直入射下的剪切作用影响，均在45°和135°方向。相比于单隧道结果，水平相邻隧道影响下衬砌环向应力幅值变大且随间距减小而逐渐增加，这是由于地震波在两个洞室之间发生多次反射导致饱和地层中孔压随间距变化较明显（详见下节讨论），依据有效应力原理，故而地层孔隙水压力变化会对衬砌动应力响应产成影响。而竖向相邻隧道影响下应力幅值随间距变化不明显，注意到的是，$\eta $＝1.0时，随间距变化的衬砌应力幅值均小于单隧道结果，由于波传播过程中被下方相邻隧道阻滞，对于隧道而言能起到一定的减震作用。

图  7  水平双线隧道（a）和竖向双线隧道（b）的动应力集中因子$ \sigma _{\theta \theta }^*$幅值曲线

Figure  7.  Amplitude curves of dynamic stress concentration factor of the horizontal twin tunnels （a） and the vertical twin tunnels （b）

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3.3   平行隧道间距对周围地层孔隙水压力的影响

图8给出了不同频率入射下单隧道周围饱和地层的孔隙水压力分布图。定义无量纲孔压${p^*}{\text{＝}} \left| {p/\mu k_\beta ^2} \right|$，表示孔隙水压力与地层入射波应力幅值之比。横坐标为x方向距离与隧道半径a的比值，纵坐标为y方向距离与隧道半径a的比值。分布范围选取为，x方向范围为−4—4，y方向范围为0—12。可以看出，SV波垂直入射时，孔隙水压力主要集中分布在隧道附近，且随着入射频率的增加，离隧道越近的区域孔隙水压力越大，在远离隧道的区域，土体响应趋近于自由场结果（纯剪切变形），孔隙水压力几乎为零。由于入射频率增加导致波长变短，水压力峰值在地层中呈现层状分布。另外，单隧道分析结果作为参照与下文内容进行对比讨论。

图  8  不同频率入射下单隧道周围地层孔隙水压力分布图

Figure  8.  Distribution of pore water pressure around a single tunnel under different incident frequencies

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图9给出了不同频率入射下水平双线隧道周围饱和地层孔隙水压力分布图，选取无量纲入射频率η＝0.25，0.5，1.0，隧道间距比S为3，5，8，分布范围选取为，x方向范围为−8—8，y方向范围为−8—0。可以看出，与单隧道相比，饱和地层孔隙水压力随入射频率变化规律基本一致，但由于水平相邻隧道的存在导致孔隙水压力峰值增大。当隧道间距比较小（S＝3）时且低频入射下，平行双线隧道周围孔压分布与单隧道分布相似，这是由于间距较小可近似将双线隧道视为一个整体。另外，当入射频率较低（η＝0.25，0.5）时，随隧道间距的增加，两隧道之间的区域孔隙水压力明显增加，这是由于地震波在隧道间的多次反射，导致两隧道之间区域出现明显的孔隙水压力集中。而当频率较高（η＝1.0）时，隧道间距对平行双线隧道的孔隙水压力影响不明显。

图  9  不同频率入射下隧道间距比为3 （a），5 （b），8 （c）时水平双线隧道周围地层的孔隙水压力分布图

Figure  9.  Distribution of pore water pressure in the formation around the horizontal twin tunnels under different incident frequencies for tunnel spacing ratio S＝3 （a），5 （b），8 （c）

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图10给出了不同频率入射下竖向双线隧道周围的孔隙水压力分布图，分布范围选取为，x方向范围为−4—4，y方向范围为0—−16。可以看出，与单隧道结果相比，竖向相邻隧道的存在对地层孔隙水压力的分布影响显著，且随着隧道间距的增加，隧道周围孔隙水压力峰值逐渐降低，当η＝0.25时，随间距增加地层孔隙水压力峰值依次为1.6，1.0，0.6，而当S＝8时，隧道间相互作用影响较小，两个隧道周围的孔隙水压力分布与单隧道近似一致。而较高频率入射下，随隧道间的距增加对周围孔隙水压力的影响范围增大而压力幅值变化不明显。

图  10  不同频率入射下隧道间距比为3 （a），5 （b），8 （c）时竖向双线隧道周围地层的孔隙水压力分布图

Figure  10.  Distribution of pore water pressure in the formation around the vertical twin tunnels under different incident frequencies for tunnel spacing ratio S＝3 （a），5 （b），8 （c）

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4.   结论

本文基于Biot两相介质理论，采用间接边界积分方程法模拟SV波垂直入射下饱和地层与浅埋平行双线隧道之间的动力相互作用，进而探讨了隧道间距及SV波入射频率影响下，平行双线隧道结构及周围地层的动力响应机制，并以单条隧道分析结果为参照进行对比分析，得出以下结论：

1） 相比单条隧道，相邻隧道的存在改变了既有隧道结构和周围地层的动力响应特征，且动力响应幅值放大效应显著。

2） 平行双线隧道随间距的减小衬砌动力响应分布变化显著，且应力峰值逐渐增加。低频入射下水平双线隧道地表位移幅值和周围地层孔隙水压力随间距的减小逐渐增加，而高频入射下影响不太明显。另外双线隧道周围地层孔隙水压力分布明显集中在隧道之间的区域，且随着入射频率的增加孔隙水压力集中于隧道附近地层。

3） 水平双线隧道的动力响应特征与竖向双线隧道不同，且相比单隧道，水平与竖向双线隧道的孔隙水压力分布模式也不相同。随着相邻隧道间距的减小，水平双线隧道结构及周围地层的动力响应增加，而竖向相邻隧道的存在能阻滞SV波向上传播，导致隧道及地表动力响应减弱。