Experiment and numerical simulation of co-seismic water level response in unconsolidated confined aquifer
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摘要: 为深入理解井水位同震响应机理，本文开展了向完整井-松散含水层系统输入由不同频率和振幅（加速度）组成的正弦波荷载的振动台实验。以实验模型为物理模型，建立了振动作用下松散承压含水层中孔隙水压力响应的流固耦合模型和含水层水流与井流的相互作用模型，并运用多物理场耦合模拟软件COMSOL Multiphysics对实验过程进行了数值模拟。实验中观测到的四种典型水位变化形态与野外场地同震井水位变化形态相似。数值模拟结果显示，本研究建立的数学模型能较好地反映松散承压含水层中孔隙水压力和水位的响应情况。本文研究对解释地下水同震响应机制、岩体渗流稳定性和安全问题具有重要意义。Abstract: In order to promote understanding mechanisms of co-seismic response of water level in well shaking table experiments have been carried out with sinusoidal loading in different vibration frequencies and amplitudes （accelerations） for complete well unconsolidated confined aquifer system. The physical model has been built based on experimental model, and fluid-solid coupled model of pore pressure response in unconsolidated aquifer and mathematical model of flow interaction between aquifer well under vibrations have been established. The experimental processes have been simulated in COMSOL Multiphysics, a multi-field coupling simulation software. Four typical water level variation forms observed in experiment are similar to those of field studies, and the results of numerical simulation show that the mathematical model established in this study can well reflect the response of pore water pressure and water level in unconfined aquifer. This research is of great significance to explain the mechanism of co-seismic responses of groundwater, and stability and safety of seepage in rock and soil mass.
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引言
基于弹性回跳理论（Reid，1910），原地复发的大地震具有时间记忆性，为了描述这种记忆性，Utsu （1972），Hagiwara （1974）以及Rikitake （1974）提出了一种更新模型，即在一次大地震发生之后，该断层源需长时间积累能量才足以再次发生大地震。
对于更新模型，根据有限的古地震或历史地震序列，研究人员提出了很多种假定的概率分布，包括双指数分布（Utsu，1972）、高斯分布（Rikitake，1974）、威布尔分布和伽马分布（Utsu，1984）、对数正态分布（Nishenko，Buland，1987）、布朗时间过程分布（Ellsworth et al，1999 ；Matthews et al，2002 ）等。但这些分布均假定基于有限数据的统计推断，通常缺少严格的物理意义，之所以作某种强分布假定，主要是为了数学计算上的方便（陈汉尧，胡聿贤，1994）。
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Ellsworth等（1999）采用Bootstrap方法评估小样本条件下的BPT模型变异系数α的随机不确定性时，取初始平均复发间隔μ和变异系数α分别为1和0.5，分别按样本数3—10个进行随机抽取，结果表明由几个小样本估算的α值的随机不确定性很大，而不同样本数所对应的不确定性大小也不同，序列中的地震数目越小，其随机不确定性则越大。
此外，Ellsworth等（1999）考虑到古地震年代测定的认知不确定性，采用蒙特卡罗方法，由一个带有年代不确定性的原始地震序列资料随机生成大量可能的地震序列，取μ和α的均值作为该古地震序列的实际μ值和α值。而Parsons （2008）在此基础上还考虑了μ与α之间的相关性，采用蒙特卡罗方法，在（μ，α）组合的可能性分布图中选取最大可能的（μ，α）组合作为该古地震序列的实际μ值和α值。上述两种方法对古地震发生年代不确定性的考虑均不够充分，因其选取的μ值和α值仍是确定性的参数，而不是带有不确定性的概率性参数分布。
为此，本文拟提出一种基于经验分布的大地震复发概率计算方法，简称经验分布方法。与Bootstrap方法相比，经验分布方法的数学基础依然是经验分布和蒙特卡罗方法，但与Bootstrap方法不同的是，其在不确定方面的应用主要体现在对古地震年代认知不确定性的处理。经验分布方法不作任何复发概率分布的强假定，以历史重演原则和构造类比原则为基本物理假设，通过直接对大量地震序列的蒙特卡罗随机抽样来模拟和推测大地震的发生规律，进而得到未来一段时间内的大地震发生概率，并以鲜水河断裂带的炉霍段和道孚段为实例，利用本文提出的方法分别计算出炉霍段和道孚段未来50年的大地震发生概率。
1. 基于经验分布的大地震复发概率计算方法
历史重演原则和构造类比原则一直是地震危险性分析和中长期地震预报的两个基本假定，经验分布方法严格遵守上述两个原则。根据历史重演原则，历史上发生的事件未来还会再次发生，历史上未发生过的事件或超出历史所限定范围的事件不可能发生。Nishenko和Buland （1987）所采用的归一化复发间隔数据统计方法也体现了构造类比的假定，即不同构造上的大地震具有相同的归一化复发间隔分布和变异系数，这样才可以用大量非本地复发间隔数据来推断预测本地复发间隔的潜在变化。
经验分布方法的数学基础则类似于Bootstrap方法，但又存在一定的差别。Bootstrap方法的数学基础包括：① 根据有限数据所构建的经验分布函数是总体分布函数的非参数最大似然估计；② 蒙特卡罗方法在处理不确定性分析和相关性分析方面的应用。
基本的Bootstrap方法是把样本看作一个总体，根据经验函数有放回地随机抽取一个样本量为n的简单随机样本，根据这个样本可以计算得到统计量抽样，进而生成统计量抽样分布的经验估计，这个抽样分布是从一个给定总体中抽取样本量为n的大量随机样本而计算得到的统计量取值分布，进而可以统计分析由有限样本n所造成的样本参数（均值等）与总体之间偏差的随机不确定性。
地震危险性分析中的不确定性包括随机不确定性和认知不确定性，基本的Bootstrap方法中主要利用蒙特卡罗方法来分析有限样本量所造成的随机不确定性，包括偏差估计和置信区间估计。而本研究中则利用蒙特卡罗方法在处理认知不确定性方面的应用，虽然同样基于经验分布，但本文的经验分布方法却是利用蒙特卡罗方法来考虑古地震发生年代的认知不确定性。
经验分布方法可以简述如下：首先，根据拉普拉斯原则，在本地复发间隔样本中，等可能地随机抽取一个本地复发间隔数据A；然后在复发间隔数据库中等可能地随机抽取一个复发间隔数据B与其进行配对，再在B所在地震序列中等可能地抽取一个复发间隔数据C （C≠B），A （C/B）即为此次模拟所得的本地潜在复发间隔；随后经过大量蒙特卡罗抽样过程，就可以统计分析本地大地震的潜在复发规律，进而可以计算未来Δt年内的发震概率。抽取过程也就是利用蒙特卡罗随机抽样来处理古地震发生年代认知不确定性的过程，而配对过程则是与异地复发间隔数据库所构建的经验分布相联系的过程。该方法所得结果主要受实测复发间隔数据库的丰富程度和精确程度的影响，而不受主观假定的各种数学分布模型的影响。
1.1 地震序列数据库
本研究共收集、整理了40个中国大陆地区的原地复发型地震序列（包括古地震和历史地震），共计156次地震，所建立的数据库列于表1。本文中的大地震序列的选取原则为：① 考虑到地震破裂的分级性，同一断层上不同级别的地震不能放在同一地震序列中，同时还要考虑高级别破裂对低级别破裂的控制作用；② 考虑到不同观测者在同一地点测定的古地震序列亦会存在差异，选取最新的和权威的古地震序列；③ 仅选取较完整、研究程度较高的古地震（历史地震）序列进行定量分析；④ 排除古地震年代测定不确定性太大的地震序列，特指不确定性大到可以产生负值或10倍以上复发间隔的不现实情况；⑤ 破裂长度大于40 km。
表 1 由40个地震序列组成的数据库Table 1. Database consisting of 40 earthquake sequences断裂名称 古地震事件
年龄/a复发间隔
数目资料来源 断裂名称 古地震事
件年龄/a复发间隔
数目资料来源 郯城MS8.5
地震断裂E1：11 000±1 000
E2： 7 450±950
E3： 3 500±500
E4：公元16683 王华林（1995） 冷龙岭断裂 E1：5 926
E2：4 050±160
E3：2 900±270
E4：1 560±360
E5：公元15404 李正芳等 （2012） 三河−平谷MS8.0
地震断裂E1：20 000
E2：13 000
E3：7 500
E4：公元16793 冉勇康等 （1997） 鄂拉山断裂 E1：12 500±100
E2：10 000±150
E3：6 000±100
E4：4 100±300
E5：2 600±4004 袁道阳等 （2004） 北祁连山东段
毛毛山—金强河
断裂E1：7 700±50
E2：6 100±150
E3：5 200±100
E4：4 250±150
E5：3 050±1504 袁道阳等 （1997） 延矾盆地
北缘断裂北段E1：21 700±2 000
E2：16 000±1 300
E3：10 880±3 000
E4：5 756±1 1003 刘静和
汪良谋 （1996）北祁连山东段
老虎山断裂E1：7 700±50
E2：6 100±150
E3：5 200±100
E4：4 250±150
E5：3 050±150
E6：2 000±300
E7：800±100
E8：公元18887 袁道阳等 （1997） 延矾盆地
北缘断裂南段E1：33 100
E2：28 000
E3：21 000±1 500
E4：14 000
E5：10 800
E6：7 500
E7：公元13386 刘静和
汪良谋 （1996）东昆仑断裂带
库赛湖段E1：31 900±1 923
E2：27 990±1 681
E3：23 635±1 427
E4：20 345±1 225
E5：16 865±1 018
E6：12 935±774
E7：9 730±592
E8：6 955±425
E9：3 100±201
E10：公元20019 胡道功（2007） 怀涿盆地
北缘断裂北段E1：20 500±1 180
E2：14 500±710
E3：6 700±600
E4：＜1 3103 刘静和
汪良谋 （1996）海原断裂
中段破裂E1：6 595±275
E2：5 770±200
E3：4 965±925
E4：3 382±589
E5：2 765±355
E6：2 240±450
E7：1 275±3506 冉勇康等 （1998），
张培震等 （2003）怀涿盆地
北缘断裂南段E1：30 000±1 400
E2：24 500±700
E3：16 000±2 100
E4：10 000
E5：6 600±400
E6：4 400±500
E7：＜2 8656 刘静和
汪良谋 （1996）1.2 仅有一个本地复发间隔情况下的发震概率计算方法
本文假定大地震的复发在不同构造上的变异性相同，即归一化复发间隔的概率密度分布函数相同。而对于仅有一个本地复发间隔的情况，这个复发间隔在归一化复发间隔的概率密度分布函数中所处的位置是不确定的，即可以处于任意位置。根据拉普拉斯原则（等可能原则），这个本地复发间隔数据与数据库中任意一个复发间隔数据匹配的概率相同，即归一化后在复发间隔概率密度分布函数中所处的位置相同。综上所述，仅有一个本地复发间隔的情况下，经验分布方法的具体实现步骤如下（图1）：① 考虑古地震年代测定的不确定性，在古地震发生时间的不确定性上下限之间进行均匀随机抽样，生成一个本地复发间隔数据T，若采用历史地震数据，则无需考虑这种不确定性，直接选取本地仅有的一个复发间隔数据T；② 考虑古地震年代测定的不确定性，在地震序列数据库中生成多组复发间隔数据集，在其中等概率抽取一个复发间隔数据T′，其所在的复发间隔数据集为（T′ min，···，T ′ max）；③ 将选取的本地复发间隔T与数据库异地复发间隔T ′进行配对，即它们具有相同的变异性；④ 在T ′所在的复发间隔数据集（T ′ min，···，T ′ max）中除了T ′外等可能地抽取一个复发间隔Ts，即可得到本地下一次大地震的一个潜在的可能复发间隔T ′ s，即T ′ s＝T ′（Ts/T）；⑤ 判断T ′ s是否大于本地大震离逝时间Te，是则作记录，否则不作记录；⑥ 反复进行10万次上述蒙特卡罗模拟过程，即可得到离逝时间Te条件下的本地复发间隔的概率密度分布；⑦ 基于上述本地复发间隔的概率密度分布，还可以进一步得到离逝时间Te条件下的未来Δt年内的发震概率。
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图 1 仅有一个本地复发间隔情况下的经验分布方法流程图Figure 1. The flow chart for empirical distribution method with only one local recurrence interval1.3 两个及以上本地复发间隔情况下的发震概率计算方法
对于有两个及以上本地复发间隔情况下的发震概率的计算，与只有一个本地数据的情况存在一定的差异：首先根据构造类比原则在将本地复发间隔数据与数据库中复发间隔数据进行配对的过程中，需要增加一个随机抽取本地复发间隔的过程；其次，因为本地有两个或两个以上的复发间隔数据，在配对过程中可能会出现超出历史变异范围的归一化复发间隔数据，而经验分布方法则要求严格遵照历史重演原则，不允许出现超出历史所限定范围的事件。综上所述，两个及以上本地复发间隔情况下经验分布方法的具体实现步骤为（图2）：① 考虑古地震年代测定的不确定性，随机生成一组本地复发间隔数据集，并在其中随机抽取一个复发间隔数据T，若采用的是历史地震数据，则不需要考虑这种不确定性，直接在本地复发间隔数据中随机抽取一个复发间隔数据T；② 考虑古地震年代测定的不确定性，在地震序列数据库中生成多组复发间隔数据集，在其中等概率抽取一个复发间隔数据T ′，其所在的复发间隔数据集为（T ′ min，···，T ′ max）；③ 将抽取的本地复发间隔T与数据库异地复发间隔T ′进行配对，以确保它们具有相同的变异性；④ 严格遵守历史重演原则，如果在配对过程中出现超出历史变异范围的归一化复发间隔数据，则返回第一步重新进行模拟。若满足条件（TmaxT ′/T）/T ′ min＞Tmax/Tmin或（T ′ maxT/T ′）/Tmin＞Tmax/Tmin，则需要返回第一步重新开始，否则进行下一步骤；⑤ 在T ′所在的复发间隔数据集（T ′ min，···，T ′ max）中除了T ′外等可能地抽取一个复发间隔Ts，即可得到本地下一次大地震的一个潜在可能复发间隔T ′ s，即T ′ s＝T ′（Ts/T）；⑥ 判断T ′ s是否大于本地大震离逝时间Te，是则作记录，否则不作记录；⑦ 反复进行10万次上述蒙特卡罗模拟过程，即可得到离逝时间Te条件下的本地复发间隔的概率密度分布；⑧ 基于上述本地复发间隔的概率密度分布，还可以进一步得到离逝时间Te条件下未来Δt年内的发震概率。
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图 2 两个及以上本地复发间隔情况下经验分布方法流程图Figure 2. The flow chart for empirical distribution method with two or more local recurrence intervals2. 计算实例
本研究分别选取鲜水河断裂带炉霍段和道孚段，利用本文提出的经验分布方法进行大地震复发概率计算。炉霍段历史上曾经发生过1816年M7.5和1981年M7.6地震；道孚段历史上曾经发生过1792年M6¾、1904年M7.0和1981年M6.9地震（冉洪流，何宏林，2006）。
根据历史地震记录，鲜水河断裂带上可收集到近300年的强震记录，综合地震完整性分析的结果（黄玮琼等，1994；苏有锦等，2003），鲜水河断裂带上地震目录的完整性最小震级选取：1725年以来的M6.5，1904年以来的M6.0，1923年以来的M5.0，1970年以来M2.5以上和1982年以来M2.0。根据历史地震记载和完整性分析结果，炉霍段仅有一个本地复发间隔数据，而道孚段有两个本地复发间隔数据，可以分别采用仅有一个本地复发间隔数据和两个及以上本地复发间隔数据情况下的经验分布方法来计算炉霍段和道孚段未来50年的大地震发生概率。
此外，需要注意的是，如果本地地震序列包含在40个地震序列所构成的数据库中，在实际计算中需要将数据库中的本地地震序列剔除，然后再进行蒙特卡罗抽样。
2.1 鲜水河断裂带炉霍段的大地震复发概率计算
炉霍段历史上曾经发生过1816年M7.5和1981年M7.6地震，对于炉霍段未来50年的发震概率，首先可以直接利用仅有一个本地复发间隔（T＝165 a）情况下基于经验分布方法的发震概率计算方法，直接生成炉霍段大地震复发间隔的概率密度分布柱状图（图3a）；然后，在蒙特卡罗模拟过程中统计复发间隔不在离逝时间Te内而在未来50年内的抽样数目n；再统计复发间隔不在离逝时间Te内也不在未来50年内的抽样数目N，这样就可以得到离逝时间Te所对应的未来50年发震概率为n/N；最后分别选取不同的离逝时间计算得到炉霍段50年发震概率曲线图（图3b）。考虑到1981年M7.6地震为炉霍段最近的一次大震，故离逝时间取为36年，计算得到炉霍段未来50年的发震概率为0.15。
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图 3 炉霍段大地震复发间隔的概率密度直方图（a）和未来50年发震概率曲线图（b）Figure 3. The probability density plot of large earthquakes （a） and the occurrence probability for a 50-year exposure period （b） on the Luhuo segment![]()
图 4 道孚段大地震复发间隔的概率密度直方图（a）和未来50年发震概率曲线图（b）Figure 4. The probability density plot of large earthquakes （a） and the occurrence probability for a 50-year exposure period （b） on the Daofu segment2.2 鲜水河断裂带道孚段的大地震复发概率计算
道孚段历史上曾经发生过1792年M6¾，1904年M7.0和1981年M6.9地震，对于道孚段未来50年的发震概率，首先可以直接利用两个及以上本地复发间隔（两个本地复发间隔T1＝112 a，T2＝ 77 a）情况下经验分布方法的发震概率计算方法，直接生成道孚段大地震复发间隔的概率密度分布柱状图（图4a）；然后，在蒙特卡罗模拟过程中统计复发间隔不在离逝时间Te内而在未来50年内的抽样数目n；再统计复发间隔不在离逝时间Te内也不在未来50年内的抽样数目N，得到离逝时间Te所对应的未来50年发震概率n/N；最后分别选取不同的离逝时间，计算得到道孚段50年发震概率曲线图（图4b）。考虑到1981年M6.9地震为道孚段最近的一次大震，故离逝时间取为36年，计算得到道孚段未来50年发震概率为0.31。
很显然，炉霍段和道孚段大地震复发间隔的概率密度分布并不是标准的正态分布，更类似于对数正态分布，但其未来50年的发震概率曲线却是随着离逝时间的增大而不断递增的，而对数正态分布所对应的发震概率曲线则会在一定离逝时间后出现递减的情况。
本文的经验分布方法中仅采用10万次蒙特卡罗模拟，已经可以得到较平滑的发震概率曲线，若要得到更精确的计算结果，则可以采取更多次的蒙特卡罗模拟。
3. 讨论与结论
本文提出了一种基于经验分布的大地震复发概率计算方法，简称经验分布方法，该方法不作任何复发概率分布的强假定，以历史重演原则和构造类比原则为物理基础，直接采用经验分布模型，通过对大量复发间隔序列数据的蒙特卡罗随机抽样，模拟未来大地震复发，进而统计得到未来一段时间内的大地震发生概率。经验分布方法与传统Bootstrap方法虽然都以经验分布为数学基础，但Bootstrap方法主要利用蒙特卡罗方法在处理随机不确定性方面的应用，而经验分布方法则利用蒙特卡罗方法在处理认知不确定性方面的应用。
经验分布方法不需要对大地震复发模型作任何概率分布的强假定，直接通过对大量古地震序列的随机抽样和统计，同样可以得到未来Δt年的发震概率。本文以鲜水河断裂带炉霍段和道孚段为计算实例，结果表明，不同于对数正态模型，经验分布方法所得的未来50年发震概率曲线随离逝时间的增大不断递增，更符合客观情况。
以鲜水河断裂带炉霍段和道孚段为实例，利用本文给出的复发概率计算方法得到炉霍段和道孚段未来50年大地震的发生概率分别为0.15和0.31。本文重点在于探讨一种大地震复发概率的计算方法，炉霍段和道孚段的发震概率计算结果仅供参考，实际应用研究需要作大量的地震地质调查工作，具体模拟过程也更为复杂。
对于无本地复发间隔数据情况下的发震概率的计算，本文提出的经验分布方法存在一定的局限性。若要采用滑动速率法（Shimazaki，Nakata，1980）或地震矩释放率法（Wesnousky，1986）估计本地复发间隔，则存在很大的不确定性，这点还需要作进一步研究。
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图 13 孔隙水压力（a）和井水位（b）的模拟值与实测值误差分析对比图
Figure 13. Comparison diagram of error analysis between simulated and experimental measured values of pore water pressure （a）and groundwater level （b）
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图 2 实验所记录的典型井水位变化形态（以G2井为例）
（a） 振荡；（b） 上升；（c） 下降；（d） 阶变
Figure 2. Typical change forms of well water level in experiments （taking well G2 as an example）
（a） Oscillation；（b） Rise；（c） Drop；（d） Step-like change
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图 3 初始平衡状态下承压含水层模型剖面图
Figure 3. Profile of confined aquifer model at initial equilibrium state
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图 4 压力扰动井-含水层系统的概念模型
Figure 4. Conceptual model of the well-aquifer system disturbing by a harmonic pressure
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图 5 井流运动示意图
（a） 静止状态；（b） 运动状态
Figure 5. Schematic diagram of well flow
（a） Stationary state；（b） Motion state
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图 6 工况1中孔隙水压力的实测值（a）与模拟值（b）时程变化对比图
Figure 6. Comparison diagram of time history changes between measured （a） and simulated （b） pore water pressure values in working condition 1
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图 7 工况2的孔隙水压力实测值（a）与模拟值（b）时程变化对比
Figure 7. Comparison diagram of time history changes between measured （a） and simulated （b） pore water pressure values in working condition 2
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图 8 工况3中孔隙水压力的实测值（a）与模拟值（b）时程变化对比图
Figure 8. Comparison diagram of time history changes between measured （a） and simulated （b） pore water pressure values in working condition 3
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图 9 工况4中孔隙水压力的实测值（a）与模拟值（b）时程变化对比图
Figure 9. Comparison diagram of time history changes between measured （a） and simulated （b） pore water pressure values in working condition 4
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图 10 工况5中孔隙水压力的实测值（a）与模拟值（b）时程变化对比图
Figure 10. Comparison diagram of time history changes between measured （a）and simulated （b） pore water pressure values in working condition 5
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图 11 工况6中孔隙水压力的实测值（a）与模拟值（b）时程变化对比图
Figure 11. Comparison diagram of time history changes between measured （a） and simulated （b） pore water pressure values in working condition 6
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图 12 G2井中各工况的水位的实测值与模拟值时程变化对比图
Figure 12. Comparison diagram of time history changes between measured and simulated water levels in well G2
表 1 正弦波的振动参数
Table 1 Shaking parameters of different sine waves
工况编号 频率/Hz 加速度/g 加载时间/s 工况编号 频率/Hz 加速度/g 加载时间/s 1 0.5 0.1 35 4 5 0.25 35 2 2 0.25 35 5 10 0.25 35 3 5 0.15 35 6 15 0.15 35 注：1g＝9.81 m/s2。 
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表 2 数值模拟中的参数取值
Table 2 Parameters used in numerical experiments.
参数 单位 数值 弹性模量$E$ Pa 2.63×1010 泊松比$\upsilon $ 1 0.25 渗透系数$K$ m/d 33 孔隙度$n$ 1 0.398 ${{{\rm{Biot}}'{\rm{s}}} }$系数 1 1 固相密度$\;{\rho _{\rm{s}}}$ kg/m3 2 650 液相密度$\;{\rho _{\rm{f}}}$ kg/m3 1 000 固相体积模量${E_{\rm{s}}}$ Pa 1.56×1010 液相体积模量${E_{\rm{f}}}$ Pa 1×108 储水率${S_{ {\rm{s} }} }$ 1 1×10−3 动力黏度系数$\;\mu$ Pa·s 1×10−4
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