Magnetic field distribution in geomagnetic observation bin based on equivalent magnetic charge method
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摘要:
利用等效磁荷方法计算了非轴向磁化圆柱形有底仓体表面的磁荷密度分布和仓内的磁场分布，并与计算机仿真和实测结果进行了对比，结果显示其相对差值＜0.001%。在此基础上，利用该方法计算了无底仓体及不同底部厚度、高度、直径、磁化率的仓体的内部磁场梯度分布情况。结果表明：仓体底部厚度和磁化率对仓体内部磁场梯度的影响较小，增大仓体高度和直径可有效地增加内部的低磁场梯度空间，当仓体内高≥4 m、仓体内径≥1.0 m时，仓体内部水平方向和垂直方向的有效空间占比平均在85%以上。
Abstract:Geomagnetic field observation constitutes a vital part of geophysical data acquisition. In recent years, the employment of smaller and more compact bins for geomagnetic observations has emerged as a novel trend. A geomagnetic observation bin typically takes the form of a cylindrical structure with a bottom. By utilizing the equivalent magnetic charge （EMC） method, a system of equations is initially solved at the boundaries between the object and the surrounding air. This facilitates the determination of the surface magnetic charge density on N discrete elements, which is subsequently employed to compute the magnetic field at any point in space. When applying this method to a cylindrical bottomed bin with non-axial magnetization, we obtain the distribution of surface magnetic charge density and the magnetic field within the bin, followed by the calculation of the magnetic field gradient inside.
In the calculations, the magnetic susceptibility of typical concrete was referred to, and the background magnetic field characteristics were acquired using the International Geomagnetic Reference Field （IGRF）. The results reveal that, due to the small geomagnetic declination angle D, the magnetic field intensity inside the observation bin exhibits approximate axial symmetry in the east-west direction, and near-central symmetry in the north-south direction. Near the bottom of the bin, the magnetic field intensity mainly increases, with a maximum increment of approximately 1.2 nT compared to the background field. Near the top of the bin, the magnetic field intensity predominantly decreases, with a maximum decrease of around 1.5 nT. The largest magnetic field gradients are concentrated at the edges of the top and bottom of the bin.
Finite element simulations along three measuring lines were compared with actual measurement data. These measuring lines include: ① a vertical line inside the bin, ② a north-south line one meter above the bin’s bottom, and ③ an east-west line one meter below the bin’s top, with a measurement interval of 0.1 meters. The results demonstrate that the magnetic field calculated using the EMC method deviates from the measured results by less than 0.1 nT, with a relative error of less than
0.000 1 %. In the region near the bottom of the bin along the vertical line, the magnetic field intensity increases by approximately 0.7 nT, while near the top of the bin, it decreases by about 0.2 nT.The effects of the bin’s bottom thickness, the ratio of its height to diameter, and the magnetic susceptibility of the material on the internal magnetic field gradient were also explored. The results indicate that as the bottom thickness of the bin decreases, the effective horizontal space inside the bin enlarges. When the bin is bottomless, it offers the maximum horizontal effective space. However, a bottomless structure does not augment the vertical effective space inside the bin. When the external and internal heights of the bin are kept constant, an increase in the inner diameter leads to more effective vertical space inside the bin, without significant alteration in the horizontal direction. When the inner and outer diameters of the bin are fixed, increasing the internal height results in more effective horizontal space inside the bin, with no pronounced impact on the vertical direction. The highest magnetic field gradients inside the bin are concentrated near the edges of the top and bottom. As the bin’s dimensions expand, the proportion of effective space inside the bin also rises. Moreover, when the bin size remains unchanged, the influence of varying magnetic susceptibilities on the magnetic field gradient inside the bin was analyzed. The results suggest that for magnetic susceptibilities ≤800×10−6, increasing the susceptibility does not trigger significant changes in the effective space inside the bin.
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前言
地磁场观测是获取地球物理信息的重要手段，传统的地磁场观测需要建造地磁观测室，而这具有较高的土地使用成本和施工成本。为了节约开支，近年来采用体积较小的仓体观测，为地磁场观测提供了一种新思路。例如将仓体埋入地下的地埋式地磁场观测，不同于传统的地磁观测台站，具有占地面积小、无地面建筑物、施工简单、不受农田保护限制等特点，避免了征地和地磁观测房建设的困难（张秀霞等，2022）。现行的地震行业标准 《地磁台站建设规范：地磁台站》（中国地震局，2004）提出了有关地磁观测室的技术指标，但是尚无仓体类型地磁观测装置的技术要求。
目前我国各地磁台站或地磁试验场所使用的仓体类型地磁观测装置虽无统一样式，但普遍采用埋入地下的有底无盖仓体结构，因其内部磁场梯度受到仓体形状、仓体材料和所处背景地磁场的影响，可将其抽象为铁磁性物体在背景磁场下的磁场分析问题。利用具有一定磁矩的磁性物体，以其产生的磁场去代替较大铁磁性物体产生的磁场，采用这种等效源法的思路，可以简化静磁场问题的计算（周耀忠，张国友，2004），常见的磁性模拟体有磁偶极子、磁化球体、磁化线圈等。张朝阳等（2010）以不同的磁性物体模型为基础，对比了实测数据与磁矩理论计算数据，进一步提出了磁偶极子计算方法在一般工程领域的应用思路；Guo等（2012，2015）利用磁偶极子构造法计算了管道形物体的磁场分布情况；吴攀等（2020）利用磁偶极子构造法计算了球形矿体的磁场分布情况。上述研究的思路均是将目标实体模型化，然后根据物体的形态划分成磁偶极子，其计算往往比较繁琐。另一种计算思路是采用计算量较小的等效磁荷法，例如：王树萱和贾义侠（1990）推导了等效磁荷（equivalent magnetic charge，缩写为EMC）的计算公式；Soda等（2004）计算了非椭球体的轴向均匀磁化特性，但未考虑磁化方向非轴向的情况；Huang等（2013）利用等效磁荷法计算了不同磁化方向下的非轴向磁化圆筒体表面的磁荷密度分布和筒内的磁场分布，但尚未考虑筒体含底（即一端闭合）的形态，也未进行筒内磁场梯度的有关计算。
本文拟将等效磁荷法应用于地磁观测仓体的磁场分析，计算非轴向磁化圆柱形有底仓体表面的磁电荷密度分布和仓内的磁场分布，并进一步计算仓内的磁场梯度分布。本文采用的离散计算方法不依赖于测量点的分布，计算矩阵的方程较少。为验证计算结果的可靠性，还与有限元仿真计算的磁场分布及实际测量所得的磁场分布进行对比。
1. 磁场计算理论
对于一个相对磁导率为μ的均匀物体，感应磁场${\boldsymbol{B}} $与单位体积磁偶极矩${\boldsymbol{M}} $和磁场${\boldsymbol{H}} $的关系可表示为
$$ \boldsymbol{B}＝{\mu }_{0} （ \boldsymbol{H} ＋ \boldsymbol{M} ） ＝{\mu }_{0}\mu \boldsymbol{H}， $$ (1) 式中：μ0为真空磁导率磁场，H可视为外加磁场H0和退磁场Hd的矢量和，即
$$ \boldsymbol{H}＝{\boldsymbol{H}}_{{0}} ＋ {\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}} .$$ (2) 退磁场${\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}} $可表示为磁标势W的梯度。在均匀磁化的物体中，磁标势可以视为面磁荷密度在物体表面上的积分，即
$$ {\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}}＝-\nabla {W}＝-\frac{1}{4\pi {\mu }_{0}}{\overset{}{\int_{S} }}\nabla \frac{\sigma }{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}{'}\right|}{\mathrm{d}}S , $$ (3) 式中：r表示空间中某点的位置矢量，r′表示物体表面某点的位置矢量，σ为面磁荷密度。
当把空间中某点（位置矢量为${\boldsymbol{r}} $）放置在物体表面时（此时记为${\boldsymbol{r_{{\mathrm{s}}}}} $），计算${\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}} $可以采用如下思路：其积分方程中的S共有两部分，其一是包含点${\boldsymbol{r_{{\mathrm{s}}}}} $的一块小的面积S0，其二是除去点${\boldsymbol{r_{{\mathrm{s}}}}} $以外的面积S1，此时${\boldsymbol{H_{{\mathrm{d}}}}} $可表示为
$$ {\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}}＝{\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}{0}} ＋ {\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}{1}}， $$ (4) 其中
$$ \begin{split} \\[-8pt] {\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}{0}}＝-\frac{1}{4\pi {\mu }_{0}}{\overset{}{\int_{{S}_{ 0}} }}\nabla \frac{{\sigma }_{0}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S， \end{split}$$ (5) $$ \begin{split} \\[-8pt] {\boldsymbol{H}}_{{{\mathrm{d}}}{1}}＝-\frac{1}{4\pi {\mu }_{0}}{\overset{}{\int_{{S }_{1}} }}\nabla \frac{{\sigma }_{1}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S, \end{split}$$ (6) 式中σ0和σ1分别为面积S0和S1上的面磁荷密度。
结合式（2）和式（4），可得到物体与空气的边界上的一个方程组（以a代表空气，以b代表物体），
$$ {\boldsymbol{H}}^{\mathrm{a}}＝{\boldsymbol{H}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{a}} ＋ {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}\mathrm{0}}^{\mathrm{a}} ＋ {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{1}}^{\mathrm{a}} \text{，} $$ (7) $$ {\boldsymbol{H}}^{\mathrm{b}}＝{\boldsymbol{H}}_{{0}}^{\mathrm{b}} ＋ {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{b}} ＋ {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{1}}^{\mathrm{b}}. $$ (8) 对于物体和空气而言，外加磁场${\boldsymbol{H}}_{{0}}^{{{\mathrm{a}}}} $与${\boldsymbol{H}}_{{0}}^{\mathrm{b}} $相等，物体表面其余部分S1在该处产生的磁场${\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{1}}^{\mathrm{a}} $和${\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{1}}^{\mathrm{b}} $也是相等的，而点${\boldsymbol{r}}_{{\mathrm{s}}} $所在的S0产生磁场${\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{a}} $的方向与${\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{b}} $相反，原因是物体内的退磁场方向与外加磁场的方向相反（图1），即
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图 1 物体与空气的边界上的磁场关系Figure 1. Magnetic field relationship at the boundary between an object and air$$ {\boldsymbol{H}}_{{0}}^{\mathrm{a}}＝{\boldsymbol{H}}_{{0}}^{\mathrm{b}} \text{，} {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{1}}^{\mathrm{a}}＝{\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{1}}^{\mathrm{b}} \text{，} {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{a}}＝-{\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{b}} . $$ (9) 考虑到磁场在不同材料边界处的关系，有
$$ （ {\boldsymbol{H}}^{\mathrm{a}}-{\boldsymbol{H}}^{\mathrm{b}} ） \bullet \boldsymbol{n}＝\frac{{\sigma }_{0}}{{\mu }_{0}}， $$ (10) 式中n为r'处指向外的单位法向量。结合式（7）—（10），有
$$ {\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{a}}＝-{\boldsymbol{H}}_{\mathrm{d}{0}}^{\mathrm{b}}＝\frac{{\sigma }_{0}}{2{\mu }_{0}}\bullet \boldsymbol{n} . $$ (11) 将式（8）两端同时点乘${\boldsymbol{n}} $，将式（1）、（6）、（10）带入式（8），可得
$$ {\sigma }_{0}\left(\frac{1}{\mu -1} ＋ \frac{1}{2}\right) ＋ \frac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S}_{1}} }}\nabla \frac{{\sigma }_{1}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet \boldsymbol{n}＝{\boldsymbol{\mu }}_{0}{\boldsymbol{H}}_{0}\bullet \boldsymbol{n} ，$$ (12) 假设将物体表面分为N个单元，每个单元对应的面磁荷密度为σ1，σ2，···，σN，则对于每个单元而言，都可以建立式（12）形式的方程，这样便可构成以下方程组：
$$ \left\{\begin{split}& {\sigma }_{1}\left(\dfrac{1}{\mu -1} ＋ \dfrac{1}{2}\right) ＋ \dfrac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S }_{2}} }}\nabla \dfrac{{\sigma }_{2}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet {\boldsymbol{n}}_{1}＋\cdots ＋ \dfrac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S }_{N}} }}\nabla \dfrac{{\sigma }_{N}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet {\boldsymbol{n}}_{1}＝{{\mu }}_{0}{\boldsymbol{H}}_{0}\bullet {\boldsymbol{n}}_{1}，\\ & \dfrac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S }_{1}} }}\nabla \dfrac{{\sigma }_{1}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet {\boldsymbol{n}}_{2} ＋ {\sigma }_{2}\left(\dfrac{1}{\mu -1} ＋ \dfrac{1}{2}\right)＋\cdots ＋ \dfrac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S }_{N}} }}\nabla \dfrac{{\sigma }_{N}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet {\boldsymbol{n}}_{2}＝{{\mu }}_{0}{\boldsymbol{H}}_{0}\bullet {\boldsymbol{n}}_{2}，\\[-3pt] & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \vdots \\[-3pt] & \dfrac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S }_{1}} }}\nabla \dfrac{{\sigma }_{1}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet {\boldsymbol{n}}_{N} ＋ \dfrac{1}{4\pi }{\overset{}{\int_{{S }_{2}} }}\nabla \dfrac{{\sigma }_{2}}{\left|\boldsymbol{r}-{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S\bullet {\boldsymbol{n}}_{N}＋\cdots ＋ {\sigma }_{N}\left(\dfrac{1}{\mu -1} ＋ \dfrac{1}{2}\right)＝{{\mu }}_{0}{\boldsymbol{H}}_{0}\bullet {\boldsymbol{n}}_{\boldsymbol{N}}.\end{split}\right. $$ (13) 通过解式（13）可以得到物体表面N个单元对应的面磁荷密度σ1，σ2，···，σN，再根据式（2）得到空间中某点的磁场${\boldsymbol{H}} $，即
$$ {\boldsymbol{H}}＝{{\boldsymbol{H}}}_{{{0}}}－\sum _{k＝1}^{N}\frac{1}{4\pi {\mu }_{0}}{\overset{}{\int_{{S }_{k}} }}\nabla \frac{{\sigma }_{k}}{\left|\boldsymbol{r}－{\boldsymbol{r}}'\right|}{\mathrm{d}}S. $$ (14) 2. 计算模型和验证
建立一种圆筒形的仓体模型，其内径和外径分别为R1和R2，其内高和外高分别为L1和L2，对于无底的仓体，有L1＝L2，具体如图2所示。将该仓体模型置于直角坐标系中，x轴指向地理南，y轴指向地理东，z轴垂直地表向上。外加磁场${\boldsymbol{H}}_{{0}} $即为地球磁场，其在一个小范围内可视为均匀稳定，由总磁场强度F、磁偏角D和水平分量H来表示。
实际工作中，仓体的材料一般为混凝土或岩石，这是出于对地磁观测仓体稳定性、密闭性和保温性的考虑。常见的硅酸盐类水泥的磁化率为200×10−6 （夏志成等，2004），而一般沉积岩的磁化率最大可至1 000×10−6 （郭友钊等，2001；单红丹，卢升高，2005），由此可见所用材料在很大程度上影响了地磁观测仓体的内部磁场分布。
利用等效磁荷法计算仓体内部的磁场分布，设置观测仓体的内径R1＝1 m，外径R2＝2 m，内高L1＝4 m，外高L2＝4.5 m。仓体采用混凝土材质，磁化率χ均设定为200×10−6。利用国际地磁参考场（International Geomagnetic Reference Field，缩写为IGRF）查询江苏高邮实验场地所对应的背景磁场${\boldsymbol{H}}_{{0}} $，总磁场强度F＝
50136 nT，磁偏角D＝−6.17°，水平分量H＝32 480 nT。以图2中的东西向剖面和南北向剖面绘制磁场强度的模等值线图如图3所示，可以看出：观测仓内部的磁场强度在东西向上近似轴对称分布，这是由于地球背景磁场的磁偏角很小；在南北方向上，磁场强度近似中心对称分布；仓体内部靠近底部的大部分区域的磁场强度增大，相比于背景磁场的最大增幅约为1.2 nT；仓体内部靠近顶部大部分区域的磁场强度减小，相比于背景磁场的最大减幅约为1.5 nT。
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图 3 仓体内部沿南北向（a）、东西向（b）剖面的磁场分布Figure 3. Distribution of magnetic field along N-S （a） and E-W （b） profiles in the bin图4所示为计算所得两个剖面的水平磁场梯度和垂直磁场梯度，可见梯度较大的位置集中于仓体顶部边缘和仓体底部边缘。以地震行业标准 《地磁台站建设规范：地磁台站》 （中国地震局，2004）中提出的以1.5 nT/m作为磁场梯度的界限，本研究无需对仓体的垂直内壁设置避让距离，对仓体底部、顶部则需分别设置避让距离0.4 m和0.9 m。
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图 4 仓体内部剖面的磁场梯度分布（a） 南北向剖面的水平梯度；（b） 南北向剖面的垂直梯度；（c） 东西向剖面的水平梯度；（d） 东西向剖面的垂直梯度Figure 4. Distribution of magnetic field gradient along the internal profiles of the bin（a） Horizontal gradient along the N-S profile；（b） Vertical gradient along the N-S profile； （c） Horizontal gradien along the E-W profile；（d） Vertical gradient along the E-W profile为验证计算结果的可靠性，利用计算机仿真和实测结果与其进行对比。计算机仿真设置的条件与等效磁荷法的计算条件相同。实测仓体位于江苏高邮，仓体尺寸、背景磁场与等效磁荷法的计算条件相同，实测采用加拿大GSM-19T Overhauser磁力仪。共设置三条测线（图5中箭头所指为测线方向）：仓体内部的垂直测线、距离仓体底部1 m处的南北向测线、距离仓体顶部1 m处的东西向测线，测量点位间隔均为0.1 m。
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图 5 利用三种方法得到的仓体内部沿三条测线的磁场分布对比（a） 仓体内部的垂直测线；（b） 距离仓体底部1 m处的南北向测线；（c） 距离仓体顶部1 m处的东西向测线Figure 5. Comparison of magnetic field distribution along three measuring lines in the bin by the three methods（a） Vertical line inside the bin；（b） N-S line 1 m from the bottom of the bin；（c） E-W line 1 m from the top of the bin图5所示为利用三种方法得到的仓体内部测线上的磁场分布对比结果。可以看出，在每一条测线上三种结果较为相近，以等效磁荷法计算得到的磁场与实测结果之差＜0.1 nT，相对差值＜0.000 1%。根据等效磁荷法的计算结果，在垂线上靠近仓体底部的区域，磁场强度的最大增幅约为0.7 nT；在垂线上靠近仓体顶部的区域，磁场强度的最大减幅约为0.2 nT。计算机仿真结果相比于等效磁荷法，曲线并不平滑，这是由于计算机仿真得到的数据很大程度上取决于网格划分方案和划分密度，更高的计算精度需要高性能计算机的支持。
3. 仓体设计参数对磁场的影响
地磁观测仓体应尽量保证其内部磁场梯度小，因此本文着重讨论仓体底部厚度、仓体高度与直径之比以及仓体材料磁化率对内部磁场梯度的影响。
在地磁观测仓体外高L2＝4.5 m、内径R1＝4 m、外径R2＝5 m的情况下，计算不同底部厚度的仓体内部的磁场梯度，此处以磁场梯度≤1.5 nT/m为界限。考虑到仓体内部符合梯度要求的有效空间为不规则形状，故分别用有效空间水平方向最小内径与仓体内径之比、有效空间垂直方向最小高度与仓体内高之比作为计算内容，具体列于表1。可见：随着仓体底部厚度的减小，仓体内部在水平方向上具有更多的有效空间；当仓体为无底结构（内高/底厚→∞）时，仓体内部在水平方向上具有最大的有效空间，但无底结构不能增加仓体内部在垂直方向上的有效空间。
表 1 不同仓体底厚对应的仓体内部磁场梯度分布特征Table 1. The distribution characteristics of the magnetic field gradient inside the bin with different bottom thickness of the bin仓体底部
厚度/m仓体内高与
底厚之比水平方向最小内径
与仓体内径之比垂直方向最小高度
与仓体内高之比2.25 1.00 0.82 0.78 1.13 3.00 0.83 0.86 0.75 5.00 0.84 0.75 0.56 7.00 0.84 0.75 0.45 9.00 0.84 0.75 0 ∞ 0.87 0.83 为讨论仓体高度和直径对磁场梯度的影响，分别计算不同内高和内径所对应的仓体内部的有效空间（以磁场梯度≤1.5 nT/m为界限），结果如表2所示。可见：在仓体的外高和内高不变的情况下，随着内径的增大，仓体内部在垂直方向上具有更多的有效空间，在水平方向无明显规律；在仓体的内径和外径不变的情况下，随着内高的增大，仓体内部在水平方向上具有更多的有效空间，在垂直方向无明显规律。
表 2 仓体高度和直径对应的仓体内部磁场梯度的分布特征Table 2. The distribution characteristics of the magnetic field gradient inside the bin with different height and diameter of the bin内高
/m不同内径情况下水平方向最小内径与仓体内径之比 不同内径情况下垂直方向最小高度与仓体内高之比 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 0.70 0.70 0.80 0.85 0.88 0.80 0.90 0.90 0.90 0.90 2 0.95 0.80 0.80 0.85 0.88 0.60 0.80 0.95 0.95 0.95 3 0.95 0.90 0.87 0.85 0.88 0.73 0.73 0.90 0.97 0.97 4 0.96 0.97 0.97 0.90 0.88 0.80 0.80 0.85 0.93 0.98 5 0.98 0.98 0.98 0.92 0.89 0.84 0.84 0.91 0.97 0.99 上述计算结果一定程度上与图3和图4所显示的情况一致，即仓体内部的较高磁场梯度集中在仓体的顶、底边缘处，且随着仓体尺寸的增加，仓体内部有效空间的占比在增大。
在仓体尺寸不变的情况下对比不同磁化率对仓体内部磁场梯度的影响，结果列于表3，可以看出，随着磁化率的增加，仓体内部的有效空间无明显变化。
表 3 不同仓体材料磁化率对应的仓体内部磁场梯度的分布特征Table 3. The distribution characteristics of the magnetic field gradient inside the bin with magnetic susceptibility of different bin materials磁化率χ
/10−6水平方向最小内径与
仓体内径之比垂直方向最小高度与
仓体内高之比100 0.82 0.78 200 0.82 0.78 400 0.84 0.78 600 0.84 0.77 800 0.86 0.77 4. 讨论与结论
等效磁荷法是通过建立并求解物体表面的磁荷密度方程来计算磁场分布的方法。本文利用该方法计算了非轴向磁化圆柱形有底仓体表面的磁荷密度分布和仓内的磁场分布，主要结论如下：
1） 通过等效磁荷法计算所得到的磁场分布与计算机仿真结果和实测结果之间的相对差值＜0.001%。本文对磁场的计算一般精确到10−1级别，若想提高计算的精度，需要对物体表面进行更细致的划分，但这会增加计算的复杂程度；另一方面，等效磁荷法应用在形状相对简单且对称的物体时具有较高的计算效率。
2） 对一个圆筒形仓体而言，较高磁场梯度集中在仓体顶、底边缘处，无底结构不能有效地增加仓体内部的低磁场梯度空间，即实际工作中，因稳定性或工程需求，可以设计为有底结构。同时，在磁化率≤800×10−6的情况下，降低磁化率也不能有效地增加仓体内部的低磁场梯度空间。
3） 设计仓体结构时，仓体高度与直径之比并非影响仓体内部磁场梯度的关键因素，因此可适当增加高度和直径来确保仓体内部的低磁场梯度空间达到观测需求。当仓体内高≥4 m、仓体内径≥0.5 m时，仓体内部水平方向和垂直方向的有效空间占比平均在85%以上。
本文在讨论材料的影响时，认为整个仓体是均匀的，但是从工程实践的角度看，很难在选材阶段就确定材料的磁化率，故应当提前制作形状简单的材料样品，利用等效磁荷法计算其磁场分布，将计算数据与实测数据进行对比，进一步估算材料的磁化率范围，便于开展后续的工程。
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图 1 物体与空气的边界上的磁场关系
Figure 1. Magnetic field relationship at the boundary between an object and air
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图 3 仓体内部沿南北向（a）、东西向（b）剖面的磁场分布
Figure 3. Distribution of magnetic field along N-S （a） and E-W （b） profiles in the bin
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图 4 仓体内部剖面的磁场梯度分布
（a） 南北向剖面的水平梯度；（b） 南北向剖面的垂直梯度；（c） 东西向剖面的水平梯度；（d） 东西向剖面的垂直梯度
Figure 4. Distribution of magnetic field gradient along the internal profiles of the bin
（a） Horizontal gradient along the N-S profile；（b） Vertical gradient along the N-S profile； （c） Horizontal gradien along the E-W profile；（d） Vertical gradient along the E-W profile
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图 5 利用三种方法得到的仓体内部沿三条测线的磁场分布对比
（a） 仓体内部的垂直测线；（b） 距离仓体底部1 m处的南北向测线；（c） 距离仓体顶部1 m处的东西向测线
Figure 5. Comparison of magnetic field distribution along three measuring lines in the bin by the three methods
（a） Vertical line inside the bin；（b） N-S line 1 m from the bottom of the bin；（c） E-W line 1 m from the top of the bin
表 1 不同仓体底厚对应的仓体内部磁场梯度分布特征
Table 1 The distribution characteristics of the magnetic field gradient inside the bin with different bottom thickness of the bin
仓体底部
厚度/m仓体内高与
底厚之比水平方向最小内径
与仓体内径之比垂直方向最小高度
与仓体内高之比2.25 1.00 0.82 0.78 1.13 3.00 0.83 0.86 0.75 5.00 0.84 0.75 0.56 7.00 0.84 0.75 0.45 9.00 0.84 0.75 0 ∞ 0.87 0.83 
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表 2 仓体高度和直径对应的仓体内部磁场梯度的分布特征
Table 2 The distribution characteristics of the magnetic field gradient inside the bin with different height and diameter of the bin
内高
/m不同内径情况下水平方向最小内径与仓体内径之比 不同内径情况下垂直方向最小高度与仓体内高之比 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 0.70 0.70 0.80 0.85 0.88 0.80 0.90 0.90 0.90 0.90 2 0.95 0.80 0.80 0.85 0.88 0.60 0.80 0.95 0.95 0.95 3 0.95 0.90 0.87 0.85 0.88 0.73 0.73 0.90 0.97 0.97 4 0.96 0.97 0.97 0.90 0.88 0.80 0.80 0.85 0.93 0.98 5 0.98 0.98 0.98 0.92 0.89 0.84 0.84 0.91 0.97 0.99
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表 3 不同仓体材料磁化率对应的仓体内部磁场梯度的分布特征
Table 3 The distribution characteristics of the magnetic field gradient inside the bin with magnetic susceptibility of different bin materials
磁化率χ
/10−6水平方向最小内径与
仓体内径之比垂直方向最小高度与
仓体内高之比100 0.82 0.78 200 0.82 0.78 400 0.84 0.78 600 0.84 0.77 800 0.86 0.77
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