引言

由于沉积谷地对地震波的聚集具有放大效应，会显著影响其附近的地震动，进而会影响到地震灾害的程度以及空间分布，例如1976年发生的唐山M_S7.8地震(首培烋等，1982)以及2008年发生的汶川M_S8.0地震(王海云，2011)，位于沉积谷地附近的建筑物普遍遭受了更为严重的破坏．

关于沉积谷地对地震波散射问题的理论研究，采用的地震波型主要是体波(P波、 SH波和SV波)，而地表一定深度范围内传播的地震波包括体波和面波. 与体波相比，面波周期较长，振幅较大，衰减较慢，携带的地震能量较多. 远场的震害主要来自于面波． 目前关于沉积谷地对面波的散射解答主要是针对简单模型的解析解(Todorovska，Lee，1990； 梁建文等，2006； 赵成刚等，2007； 张郁山，2010)，数值解主要采用边界积分方程法(Dravinski，Mossessian，1987； Kawase，Aki，1989； Sánchez-Sesma et al，1993)研究均匀半空间中沉积谷地对瑞雷波的散射问题．

值得指出的是，以上研究均局限于均匀半空间，然而因沉积年代不同，天然土体总体上是以层状形式存在，层状半空间模型更符合工程实际，且已有研究表明，层状半空间中沉积谷地与均匀半空间中沉积谷地对地震波的放大作用存在显著差异(梁建文，巴振宁，2007a； 巴振宁，梁建文，2012)． 瑞雷波在层状场地中的传播存在频散现象，相对于均匀半空间中瑞雷波以及层状场地中体波的传播要复杂得多. 关于层状半空间中沉积谷地对面波的散射问题尚未见报道. 此外，面波的入射方向与沉积谷地轴线一般不垂直，此时沉积谷地对面波的散射是三维的． 研究人员(Pedersen et al，1994； De Barros，Luco，1995； 梁建文等，2009)分别采用波函数展开法和边界元方法研究了均匀半空间中沉积谷地对瑞雷波的三维散射问题，发现沉积谷地对瑞雷波的三维散射与二维散射之间存在着本质差异．

本文考虑天然土体的成层特性，在梁建文和巴振宁(2007b)给出的层状场地三维精确动力刚度矩阵的基础上，采用直接刚度法计算自由波场，以移动斜线均布荷载动力格林影响函数模拟三维散射波场，求解了层状半空间中沉积谷地对斜入射瑞雷波的三维散射问题． 通过分析层状半空间与均匀半空间沉积谷地对斜入射瑞雷波三维散射的差异，讨论了层状场地中瑞雷波的模态以及土层的刚度和厚度等参数对散射效应的影响，得出了一些有益的结论．

1.   计算模型与求解

截面形状沿轴线不变的无限长沉积谷地位于层状半空间中(图 1)． 层状半空间由任意层数土层和下卧弹性基岩半空间组成，入射波为瑞雷波，入射方向与沉积谷地轴线(y轴)的夹角为φ(图 1a)，层状半空间中沉积谷地的截面如图 1b所示．

图  1  计算模型

(a) 瑞雷波入射方位图； (b) 沉积谷地截面图

Figure  1.  Calculation model

(a) Azimuth of incident Rayleigh wave； (b) Cross section of the alluvial valley

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瑞雷波斜入射时，由于入射方向与沉积谷地轴线不垂直，沉积谷地周围的动力响应是三维的． 但由于本文选用的模型是截面形状不变的无限长沉积谷地，这样对于垂直于沉积谷地轴线的任意两个截面，沿两个截面的动力响应，仅是由位置的不同而相差1个相位，其余完全相同． 此时便可仅取1个截面进行离散求解，得到计算截面产生的动力响应后，将所得结果依据面波的视速度和其余截面位置，偏移相应相位后，即得到其它截面的动力响应，最后将所有截面结果沿沉积谷地轴线积分，便可求得最终动力响应．

在具体求解时，将总波场分解为自由波场和散射波场． 对于三维自由波场(无沉积谷地存在)，首先求解层状场地中瑞雷波的频散问题，得到层状场地中瑞雷波的各阶模态，然后由直接刚度法再进行求解； 对于三维散射波场，为了达到仅选择1个截面进行离散求解的目的，通过2次施加在沉积边界上的移动斜线荷载产生的动力响应，分别模拟沉积谷地内外的三维散射波场(移动斜线荷载动力响应实际上是模拟对所有截面的计算，这种方法也称为移动格林函数法). 通过沉积交界面的位移和应力连续条件求得移动斜线荷载的密度，最后叠加自由场波场和散射波场得到总波场，便可求得层状半空间中沉积谷地对斜入射瑞雷波的三维散射解答．

因为瑞雷波在层状半空间中的传播存在频散现象，并存在多阶模态，所以求解瑞雷波入射下层状半空间的自由波场，关键是求解层状半空间中瑞雷波的频散问题． 本文首先建立层状场地的三维精确动力刚度矩阵，然后令其行列式为零，求得各阶模态下的频散(频率-视速度)关系曲线．

在频域内，每一土层中都包含有上行和下行的P波、 SV波和SH波，由位移和应力与P波、 SV波和SH波势函数之间的关系，可求得每一土层上下界面处的位移幅值和应力幅值与各上下行波幅值系数之间的关系:

式中: u₁，v₁，w₁和u₂，v₂，w₂分别为土层上下界面处的位移; τ_zx1，τ_zy1，σ_z1和τ_zx2，τ_zy2，σ_z2分别为土层上下界面处的应力； A_P、 B_P，A_SV、 B_SV和A_SH、 B_SH分别为土层中上行和下行的P波、 SV波和SH波的幅值系数. 将式(1a)和式(1b)中上行波和下行波的幅值系数消去，即可求得土层的三维精确动力刚度矩阵S_P-SV-SH^L; 对于半空间内只存在下行波，则采用相同的思路，可求得半空间三维精确动力刚度矩阵S_P-SV-SH^R． S_P-SV-SH^L和S_P-SV-SH^R中具体元素可参阅梁建文和巴振宁(2007b)文章． 利用各土层交界面上位移和应力连续，以及自由地表的零应力边界条件，集整各土层和半空间的三维精确动力刚度矩阵，可求得层状场地的整体三维动力刚度矩阵S_P-SV-SH．

得到层状场地的整体三维精确动力刚度矩阵后，令整体刚度矩阵行列式|S_P-SV-SH|=0，可求得各阶模态下频散曲线，进而可求得响应的模态，即各土层上下界面位移幅值的比值； 然后再由式(1a)，可求得每一土层中上下行P波、 SV波和SH波的幅值系数； 最后由层状半空间中任意位置位移或应力与上下行波幅值系数间的关系，求得任意点的位移或应力，即瑞雷波斜入射下层状半空间的自由波场．

对于三维散射波场，本文通过移动斜线荷载动力格林函数的方法进行求解． 首先将荷载由双重傅里叶变换变换到波数域中，在波数域中求解三维层状半空间中斜线荷载的动力格林影响函数； 然后将求得的斜线荷载动力格林影响函数，依据移动速度偏移相位得到其它位置斜线荷载动力格林影响函数，再将所有斜线荷载动力格林函数沿移动方向积分； 最后由双重傅里叶逆变换，将波数域中的动力格林函数转换到空间域中，便可求得移动斜线荷载动力格林影响函数． 设F(k_x，k_y，z)为波数域(k_x，k_y，z)中的斜线荷载产生的位移或应力，则空间域中移动斜线荷载引起的位移或应力 F(x，y，z)，可由式(2)求得.

式中，k′_y=ω/c′，c′为斜线荷载的移动速度，应等于瑞雷波沿y轴的视速度. 由图 1可知，c′=c_a/cosφ． 具体介绍可参阅巴振宁(2008)文章．

设g_u(s)为移动斜线荷载位移动力格林影响函数矩阵，g_u(s)为移动斜线荷载沿3个坐标方向的应力格林影响函数矩阵，则层状半空间中任一点的位移以及沿坐标x，y和z方向应力可分别由式(3)、 式(4)表示：

式中： p_x，p_y和p_z分别为施加的3个方向移动均布斜线荷载密度向量； u^p，v^p和w^p分别为在移动均布斜线荷载作用下产生的位移； t_x^p，t_y^p和t_z^p分别为移动均布斜线荷载作用下产生的沿3个坐标方向的应力．

沉积交界面S上的应力和位移连续条件可表示为

式中，W(s)为权函数，W(s)可取为单位矩阵，使积分在每个单位上都能独立进行(Wolf，1985). 将式(3)、 式(4)分别代入式(5)、 式(6)得

其中

式中: g_u^L(s)，g_u^V(s)，g_t^L(s)和g_t^V(s)分别为层状半空间和沉积谷地的位移和应力格林函数; [p_1x，p_1y，p_1z]^T和[p_2x，p_2y，p_2z]^T分别为计算层状半空间和沉积谷地格林影响函数矩阵所施加的虚拟分布荷载．

由式(7)和式(8)可分别求得p₁和p₂，结合式(3)，最后可求得地表位移如下：

2.   方法验证

本文方法在斜入射角度φ=90°(入射方向垂直于沉积谷地轴线)时，则退化为二维散射解答． 图 2给出了本文计算结果与Dravinski和Mossessian(1987)采用“波源”方法给出的均匀半空间中半圆沉积谷地对瑞雷波二维散射结果的比较． 图中沉积谷地与半空间的剪切波速比为0.5，质量密度比为2/3，沉积谷地与半空间的泊松比均为ν=1/3，阻尼比均为ζ=0.005，无量纲频率η=ωa/πc_s=0.5. 其中，ω为瑞雷波入射频率，c_s为半空间剪切波速，a为半圆沉积谷地半径． 从图 2可以看出，本文结果与Dravinski和Mossessian(1987)给出的结果非常吻合，说明了本文方法的正确性．

图  2  本文计算结果与Dravinski和Mossessian (1987)结果的比较

Figure  2.  Comparison of results given by the present method with those by Dravinski and Mossessian (1987)

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3.   算例分析

3.1   均匀半空间中沉积谷地对斜入射瑞雷波的三维散射

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图  3  水平入射角度φ不同时沉积谷地附近地表位移幅值

Figure  3.  Displacement amplitudes around the alluvial valley for different horizontal incident angles

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图  4  水平入射角度不同时沉积谷地附近位移幅值云图

Figure  4.  Contours of displacement amplitudes near the alluvial vally for different horizontal incident angles φ

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从图 3和图 4中可以看出： 由于沉积谷地的存在，沉积附近位移具有显著放大的特点，在频率较低(η=0.5)和频率较高(η=2.0)情况下，水平位移幅值可分别达到输入水平位移的3.45倍和2.95倍，竖向位移幅值可分别达到输入水平位移幅值的4.91倍和3.32倍； 相比沉积谷地外部，沉积谷地内部位移幅值较大且空间分布更为复杂，沉积内部富含相对较短波长的波，位移幅值最大最小值交替出现更为明显； 在沉积谷地波入射侧，位移幅值空间分布较为复杂，且由图 3和图 4还可以看出，相对于沉积谷地右侧，沉积谷地左侧(波入射侧)富含较短周期波； 另外从图 4中也可以看出，对于均匀半空间沉积谷地情况，较大位移幅值主要出现在1倍沉积半径深度范围内，且随着入射频率的增大，位移幅值沿深度的衰减逐渐增大．

另外，比较图 3与图 4中不同斜入射角度下的位移幅值发现，随着斜入射角度的变化，沉积附近地表位移幅值和空间分布都有着显著的变化． 当入射角度与沉积谷地轴线垂直x(φ=90°)时，本文结果退化为二维解答，仅有平面内位移而无出平面(y轴)方向位移. 从图中可以看出二维结果(φ=90°)与三维结果(φ≠90°)也存在明显差别． 随着斜入射角度逐渐减小(入射方向偏向沉积轴线)，当入射角度与沉积谷地轴线平行(φ=0°)时，位移幅值对于沉积谷地轴线对称分布．

3.2   层状半空间中沉积谷地对斜入射瑞雷波的三维散射

为研究瑞雷波斜入射下，层状半空间中沉积谷地周围的三维散射问题，本文选取基岩上单一土层为例进行研究. 沉积谷地为半圆形状． 基岩、 土层和沉积介质的剪切波速分别为c_s^R，c_s^L和c_s^V，质量密度分别为ρ^R，ρ^L和ρ^V，泊松比分别为ν^R，ν^L和ν^V，阻尼比分别为ζ^R，ζ^L和ζ^V，土层厚度为H，无量纲频率η=ωa/πc_s^L.

由于瑞雷波在层状半空间的传播存在频散现象，研究层状半空间中沉积谷地对瑞雷波的散射问题，必须首先求得其频散曲线. 图 5给出了3种基岩上单一土层场地的前3阶模态的频散曲线． 图中模态定义为瑞雷波入射频率相同，视速度不同； 频散则定义为瑞雷波视速度相同，而频率发生变化． 3种场地分别为场地1: c_s^R/c_s^L=5.0和H/a=2.0; 场地2: c_s^R/c_s^L=2.0和H/a=2.0; 场地3: c_s^R/c_s^L=5.0和H/a=4.0. 3种场地中，基岩与土层质量密度比ρ^R/ρ^L=1.0，基岩和土层泊松比为ν^R/ν^L=1/3，土层阻尼比ζ^L=0.05，基岩阻尼比ζ^R=0.02．

图  5  层状半空间基岩单一土层场地频散曲线

Figure  5.  Dispersion curves of a single soil layer overlaid on bedrock in half-space

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图 6给出了场地1和场地2中半圆沉积谷地瑞雷波(前3阶模态)斜入射下，水平方向±2a、 地表下2a范围内的位移幅值云图． 计算中取沉积谷地与土层剪切波速比为c_s^V/c_s^L=0.5，沉积谷地与土层质量密度比ρ^V/ρ^L=1.0，沉积谷地泊松比ν^V=1/3，沉积谷地阻尼比ζ^V=0.05，斜入射角度取为φ=45°，无量纲入射频率为η=1.0和η=2.0．

图  6  沉积谷地附近位移幅值云图(场地1和场地2)

Figure  6.  Contours of displacement amplitudes around the alluvial valley (site 1 and site 2)

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从图 6中可以看出： 沉积谷地内部位移幅值较大且振动更为剧烈，波入射侧位移幅值较沉积谷地另一侧空间变化更为复杂，这与均匀半空间情况相同； 对应相同的入射频率，层状场地中沉积谷地较均匀场地，无论是沉积谷地内部还是外部，位移幅值空间分布都更为复杂，尤其是沉积与基岩面间的土层部分．

瑞雷波斜入射下，层状场地中沉积谷地与均匀场地情况的本质差别，是层状场地中瑞雷波的传播存在频散现象． 从图 6中可以看出，对于同一场地、 同一入射频率和同一角度情况下，对应不同模态，沉积谷地附近位移幅值无论是在大小还是空间分布上均有明显差异． 模态1情况下，较大位移幅值主要集中在沉积谷地内部，沉积谷地与土层之间部分位移幅值较小，空间变化相对简单； 而模态2，3情况下，沉积谷地附近位移幅值的空间分布变得较为复杂，在土层与沉积谷地之间出现较大幅值．

场地1与场地2模型，除基岩与土层的剪切波速比不同外，其它条件均相同． 从图 6中可以看出： 对于各阶模态，当频率较低(η=1.0)时，场地1与场地2中位移幅值的空间分布存在较大差异； 而在频率较高(η=2.0)时，场地1与场地2中位移幅值的空间分布非常相似． 由图 5可看出： 对于较低频率(η=1.0)，两场地的视速度相差较大，位移幅值的空间分布也自然相差较大； 而对于较高频率(η=2.0)，两场地的视速度相近，又因土层厚度一定时，基岩与土层剪切波速比的改变，不会引起层状场地自身动力特性的改变，这样对于两种场地，沉积中的散射波与土层中的上下行波之间的相互干涉机理就相近，所以位移幅值的空间分布相似．

图 7给出了场地3中沉积谷地在瑞雷波(前3阶模态)斜入射下，水平方向±2a、 地表下2a范围内的位移幅值云图． 图 7中沉积谷地形状和材料参数与图 6相同，波的入射角度仍为φ=45°，无量纲入射频率为1.0和2.0．从图 7中可以看出： 对应相同的入射频率和振动模态，场地1和场地3(两种场地仅土层厚度不同)中位移在幅值大小和空间分布上截然不同，这是因为土层厚度的改变直接改变了场地自身的动力特性，另外不同的场地条件，瑞雷波的频散曲线也不相同； 场地3在较高频率(η=2.0)时，模态2和模态3的位移幅值在大小和空间分布上都非常接近，这是因为对于场地3，在频率η=2.0时，瑞雷波的模态2和模态3视速度非常接近(图 5)．

图  7  沉积谷地附近位移幅值云图(场地3)

Figure  7.  Contours of displacement amplitudes around the alluvial valley (site 3)

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4.   结论

基于天然土体的成层特性，以及层状场地中瑞雷波的频散特性，研究了层状场地中沉积谷地对斜入射瑞雷波的三维散射问题． 通过数值计算分析，得到以下结论：

1)瑞雷波的入射角度对层状场地中沉积谷地周围的三维散射有着显著的影响. 随着入射角度逐渐偏向沉积谷地轴线，沉积谷地左右两侧的位移幅值差异逐渐减小．

2)由于层状场地中瑞雷波存在频散现象，层状场地与均匀场地中沉积谷地周围的位移幅值在数值和空间分布上均有着显著差别．

3)对于低阶模态，基岩与土层刚度比的变化以及土层厚度的改变，均使得位移幅值空间分布及数值发生明显改变； 对于较厚的土层和较高的入射频率，2阶以上模态的位移幅值在数值及空间分布上十分相似．