引言

地表附近的局部夹塞对地震动的影响一直是地震工程中比较引人关注的课题之一． Pao和Mow(1973)采用波函数展开法开创性地给出了全空间中圆形夹塞对平面波散射的解析解． Dravinski(1983)采用边界积分法研究了半空间中多个夹塞对弹性波的放大作用． Wong等(1985)采用杂交有限元和特征函数展开法研究了半空间中椭圆夹塞对平面波的散射． 袁晓铭(1996)采用波函数展开法给出了半空间中圆形夹塞对SH波散射的解析解，对全空间解(Pao，Mow，1973)进行了拓展． Manoogian和Lee(1996)采用波函数展开法结合加权残值法给出了半空间中任意形状截面夹塞对SH波散射的解． 刘殿魁和田家勇(1999)采用格林函数法求解全空间中界面圆形弹性夹杂对SH波的散射． 袁晓铭和孙锐(2000)分析了饱和砂土透镜体(夹塞)液化对建筑物地震反应的影响． 梁建文等(2009a，b)和张炳政等(2010)采用有限元法结合人工边界研究了透镜体(椭圆形夹塞)对地震动的线性和非线性放大作用． 刘中宪等(2012)采用间接边界积分方程法求解了饱和半空间中夹塞对平面波的散射．

值得指出的是，上述研究均针对确定性夹塞形状. 考虑到夹塞实际形状与计算形状之间存在一定出入，研究夹塞断面随机性对波散射的影响对工程场地地震安全性评价具有重要参考价值. 但就作者所知，该问题目前还鲜有研究．

本文首先采用波函数展开法及边界离散的方法给出了任意断面形状的地下夹塞对平面SH波散射的半解析解； 然后以圆形夹塞为例，采用蒙特卡罗方法随机模拟产生了30组夹塞断面样本. 通过对该样本在平面SH波入射下地表位移响应的统计分析，研究了夹塞断面形状随机性对平面SH波散射的影响，得出了一些对工程场地地震安全性评价具有参考价值的结论．

1.   方法

图 1所示为弹性、 均匀和各向同性半空间中一埋深为D、 区域为Ω的任意形状夹塞． 半空间介质剪切模量为G₁，剪切波速为v₁； 夹塞区介质剪切模量为G₂，剪切波速为v₂． 一频率为ω的平面SH波以角度γ入射． 以半空间地表为对称面，构造夹塞区的镜像，则上述半空间问题转化为全空间波动问题(袁晓铭，1996)．

图  1  夹塞及其镜像

Figure  1.  An inclusion in half-space and its image

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半空间中的总位移场可写为

式中： w₁ⁱ表示入射波; w₂ⁱ表示反射波；w₁^Γ，w₂^Γ分别表示夹塞区及其镜像产生的散射波； w^j表示夹塞区内部位移场. 则在坐标系r₁o₁θ₁中可分别表示如下(时间因子exp(iωt)略去)：

式中: k₁=ω/v₁为半空间中剪切波波数； k₂=ω/v₂为夹塞中剪切波波数； γ为SH波的入射角度； H_n(x)⁽²⁾表示第二类汉克尔函数； J_n(x)表示贝塞尔函数； P_jⁿ=H_n+j⁽²⁾(2kD)+(-1)^jH_n-j⁽²⁾(2kD)，Q_jⁿ=H_n+j⁽²⁾(2kD)-(-1)^jH_n-j⁽²⁾(2kD)，其中j与n取值为0，1，2，…； ε₀=1，ε_j=2(j≥1)； A_n，B_n，C_n，D_n为待定系数，可由夹塞与半空间交界面位移和法向剪应力连续的边界条件求得．

将边界离散为M个点(Moeen-Vaziri，Trifunac，1988)，离散每一点的位移和法向剪应力均应满足下式：

其中

式中β为边界点法向与径向的夹角．

对于任意形状边界，采用Moeen-Vaziri和Trifunac(1988)的方法将边界离散成足够密集的离散点，将相邻两点间连线的垂直方向作为曲线在该点的法向量来计算其夹角β. 只要控制好相邻两点的距离使其足够小，即可满足精度要求．

设A和B为边界上相邻的两点，将A(r_a，θ_a)和B(r_b，θ_b)两点连线的垂线作为A点处边界线的法向量n，则夹角β可表示为

将式(2)—(6)代入式(7)的位移边界条件，将式(8)—(12)代入式(7)的应力边界条件，可得到如下线性方程组：

式中： S为2M×4N的系数矩阵，由散射场及夹塞内位移场决定，其中M为夹塞边界离散点的个数，N为级数的截断项数； R为2M×1的列向量，由自由场决定； X=[A₁，A₂，…，A_N，B₁，B₂，…，B_N，C₁，C₂，…，C_N，D₁，D₂，…，D_N]^T为待定系数列向量. 该超定方程组可以采用最小二乘法求解． 只要求出待定系数，就可以得到地表位移．

2.   数值结果与分析

以圆形夹塞为例，采用蒙特卡罗方法(Shinozuka，Deodatis，1991)随机产生30组以矢径为变量的夹塞截面样本，每组样本12个矢径，均服从均值为1、 标准差为0.1 的正态分布． 用三次样条函数将每组样本矢径端点连接起来，便构成夹塞截面形状． 图 2给出了30个截面形状样本，每个小图示意5个样本．

图  2  30个截面形状样本

Figure  2.  30 cross-section samples for the inclusion

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定义夹塞直径均值2a与入射波波长λ之比为入射波的无量纲频率η=2a/λ=ωa/πv₁． 分别求解此30组不同截面夹塞在平面SH波入射下地表位移的动力响应，并求得30组地表位移响应幅值的均值μ、 标准差σ和变异系数σ/μ． 图 3和图 4分别给出了夹塞区与半空间介质剪切波速比v₂/v₁=1/2和1/5时μ和μ±σ的值，同时为了便于比较，图中也给出了圆形夹塞的解析解(袁晓铭，1996)． 图 5和图 6则分别给出了夹塞区与半空间介质剪切波速比v₂/v₁=1/2和1/5时地表位移响应幅值的变异系数σ/μ． 图中计算参数： 埋深D/a=2和5；密度比ρ₂/ρ₁=2/3； 无量纲频率η=0.5，1和2； 入射角γ=0°，30°，60°和90°． 横坐标y/a表示地表观察点距夹塞中心的水平距离，纵坐标|w|表示地表位移响应幅值． 为了便于比较分析，图 7给出了夹塞刚度趋于无穷小极限情况(洞室)时，地表位移响应幅值的变异系数σ/μ．

图  3  30组任意形状夹塞的地表响应位移幅值均值和标准差(ρ₂/ρ₁=2/3, v₂/v₁=1/2)

(a) γ=0°; (b) γ=30°

Figure  3.  Mean value and standard deviation of surface displacement amplitude for 30 inclusionsamples (ρ₂/ρ₁=2/3,v₂/v₁=1/2)

(a) γ=0°; (b) γ=30°

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图  4  30组任意形状夹塞的地表响应位移幅值均值和标准差(ρ₂/ρ₁=2/3, v₂/v₁=1/5)

(a) γ=0°; (b) γ=30°

Figure  4.  Mean value and standard deviation of surface displacement amplitude for30 inclusionsamples (ρ₂/ρ₁=2/3,v₂/v₁=1/5)

(a) γ=0°; (b) γ=30°

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图  5  30组样本断面夹塞地表位移响应幅值的变异系数(ρ₂/ρ₁=2/3, v₂/v₁=1/2)

Figure  5.  Variation coefficient of surface displacement amplitude for 30 inclusionsamples (ρ₂/ρ₁=2/3,v₂/v₁=1/2)

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图  6  30组样本断面夹塞地表位移响应幅值的变异系数(ρ₂/ρ₁=2/3, v₂/v₁=1/5)

Figure  6.  Variation coefficient of surface displacement amplitude for 30 inclusionsamples (ρ₂/ρ₁=2/3,v₂/v₁=1/5)

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图  7  30组样本断面夹塞地表位移响应幅值的变异系数(ρ₂/ρ₁=2/3, v₂/v₁→0)

Figure  7.  Variation coefficient of surface displacement amplitude for30 inclusion samples (ρ₂/ρ₁=2/3,v₂/v₁→0)

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从图 3和图 4可以看出，当入射频率较低时，均值与圆形夹塞的解析解非常接近，说明本文结果的可靠性； 而当入射频率较高时，均值与圆形夹塞的解析解差别有所增大，说明当入射频率较高时需要更多的样本．

从图 5和图 6可以看出，夹塞断面形状随机性对平面SH波的散射具有重要影响： 夹塞断面半径的变异系数为0.1时，在v₂/v₁=1/2情况下，地表位移响应幅值变异系数可达0.65(D/a=2，η=1，γ=30°)和0.71(D/a=2，η=2，γ=0°)； 在v₂/v₁=1/5情况下，地表位移响应幅值变异系数可达0.71(D/a=2，η=1和2，γ=30°)； 但均小于在v₂/v₁→0情况(洞室)下的地表位移响应幅值变异系数0.97(D/a=2，η=1，γ=90°)和0.96(D/a=2，η=2，γ=90°)(图 7)． 无论变异系数大小还是峰值出现的位置，均体现了夹塞存在滤波和屏障的双重作用(袁晓铭，1996).值得指出的是，洞室仅存在单一屏障作用，这也是夹塞与洞室存在明显差别的原因．

从图 5和图 6中还可以看出，当入射频率较低时，变异系数比较小； 而随着频率的升高，变异系数逐渐增大． 说明夹塞边界随机变化对高频波影响更大，或者说夹塞断面形状变化对高频波影响更大. 这符合工程波动的基本规律．

比较图 5、 图 6和图 7可以看出，当夹塞与半空间之间刚度差别比较小时，变异系数比较小； 随着夹塞与半空间之间刚度差别逐渐增大，变异系数逐渐增大. 这也符合工程波动的基本规律． 当夹塞埋深较浅时，变异系数较大； 随着埋深增加，变异系数逐渐减小．

3.   结论

本文采用蒙特卡罗方法研究了地下夹塞断面形状随机性对平面SH波散射的影响. 通过数值分析表明，夹塞断面形状随机性对波的散射具有重要影响． 当夹塞断面半径的变异系数为0.1时，地表位移响应幅值变异系数可达0.71． 当入射频率较低时，变异系数较小； 随着频率的升高，变异系数逐渐增大． 当夹塞与半空间之间刚度差别比较小时，变异系数较小； 随着夹塞与半空间之间刚度差别逐渐增大，变异系数逐渐增大． 当夹塞埋深较浅时，变异系数较大； 随着埋深增加，变异系数逐渐减小．