近断层基岩强地面运动影响场的显式有限元数值模拟
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摘要: 基于一个假设的活断层和设定地震以及与之相应的计算模型,采用显式有限元方法结合改进的透射人工边界以及含有高频振动的震源时间函数,预测了该断层在设定地震为矩震级MW=6 3/4时的近断层基岩强地面运动. 预测结果表明,改进的透射人工边界具有良好的数值稳定性;预测基岩强地面运动的特征与近断层基岩强地面运动特征的现有认识水平有较好的一致性.
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引言
随着我国城市化进程的加速和沿海地区的高速发展,各沿海城市逐渐靠拢形成城市群,而水域隧道以其独特的优越性成为连接各沿海城市的一种重要的交通方式,但其投资费用巨大,建设工期长,且往往位于复杂海洋环境中,一旦发生灾害,不仅可能造成重大事故,而且还会对沿海城市的区域经济产生不利影响,因此水域隧道的安全性显得尤为重要。我国许多沿海城市均处于环太平洋地震带上,其受到地震影响的概率较高,因此地震作用是影响水域隧道稳定性的最主要因素之一。
目前,求解水域隧道地震响应常用的方法有响应位移法、地震系数法、质量-弹簧模型法和有限元法等(杨辉等,2001;Taylor et al,2005;Anastasopoulos et al,2007),其中:响应位移法和质量-弹簧模型法因较为简单而被广泛用于水域隧道的抗震分析中,但这两种方法多以假定水域隧道受到水平地震作用为主,因而忽略水的影响(董新平,1999);有限元法通过将水域隧道、海床土及海水进行空间离散化对其进行动力特性的研究,陈贵红(2005)以及陈向红和张鸿儒(2012)利用该方法分析了海底隧道在竖向地震作用下的动力反应。但利用有限元方法的研究,多假定土为单相介质、模型的底边界条件为固定条件等,而海域环境中海床土多为多孔多相介质,边界条件设置得不精确容易造成误差。为此,本文拟基于Biot动力固结理论(Biot,1941)和弹性动力学理论,考虑海床(土壤)的两相性、黏弹性人工边界及流(水)-固耦合的作用,建立隧道-土-流体相互作用的力学模型,分析地震作用下有无水情况以及水深、水域隧道埋深、海床土性质及地震波入射角等因素的变化对隧道及其周围海床的影响,以期为海底隧道地震灾变机理及其发展过程的研究提供理论参考。
引言
随着我国城市化进程的加速和沿海地区的高速发展,各沿海城市逐渐靠拢形成城市群,而水域隧道以其独特的优越性成为连接各沿海城市的一种重要的交通方式,但其投资费用巨大,建设工期长,且往往位于复杂海洋环境中,一旦发生灾害,不仅可能造成重大事故,而且还会对沿海城市的区域经济产生不利影响,因此水域隧道的安全性显得尤为重要。我国许多沿海城市均处于环太平洋地震带上,其受到地震影响的概率较高,因此地震作用是影响水域隧道稳定性的最主要因素之一。
目前,求解水域隧道地震响应常用的方法有响应位移法、地震系数法、质量-弹簧模型法和有限元法等(杨辉等,2001;Taylor et al,2005;Anastasopoulos et al,2007),其中:响应位移法和质量-弹簧模型法因较为简单而被广泛用于水域隧道的抗震分析中,但这两种方法多以假定水域隧道受到水平地震作用为主,因而忽略水的影响(董新平,1999);有限元法通过将水域隧道、海床土及海水进行空间离散化对其进行动力特性的研究,陈贵红(2005)以及陈向红和张鸿儒(2012)利用该方法分析了海底隧道在竖向地震作用下的动力反应。但利用有限元方法的研究,多假定土为单相介质、模型的底边界条件为固定条件等,而海域环境中海床土多为多孔多相介质,边界条件设置得不精确容易造成误差。为此,本文拟基于Biot动力固结理论(Biot,1941)和弹性动力学理论,考虑海床(土壤)的两相性、黏弹性人工边界及流(水)-固耦合的作用,建立隧道-土-流体相互作用的力学模型,分析地震作用下有无水情况以及水深、水域隧道埋深、海床土性质及地震波入射角等因素的变化对隧道及其周围海床的影响,以期为海底隧道地震灾变机理及其发展过程的研究提供理论参考。
1. 计算原理与模型
1. 计算原理与模型
1.1 模型的建立与计算参数
图1和图2分别为海水-海床-隧道相互作用的分析模型和有限元模型,考虑边界的影响在海床两侧和海床底面设置黏弹性人工边界条件,并在隧道及其附近进行网格的局部加密。为了得到隧道的环向正应力和剪应力,本文以圆形隧道中心为原点建立局部极坐标,如图3所示,其中O点为圆形隧道的中心点,OA为0° 所在位置,OB为90°所在位置。分析模型时,海床达到完全饱和、流体为无黏性的理想流体并忽略孔隙流体相对于土骨架的相对加速度效应,由于受篇幅所限本文中的控制方程和模型的海床表面、海床底面、海床两侧的边界和隧道壁处孔压边界的设置和具体参数参照崔杰等(2015)关于波浪荷载作用下对海底隧道-孔隙海床的动力分析。模型的具体计算参数见表1。
表 1 模型计算参数Table 1. Model calculation parameters饱和土体 泊松比 孔隙率 渗透系数/(m·s−1) 饱和度 密度/(kg·m−3) 弹性模量/MPa 0.33 0.35 10−2—10−4 1 1 900 50,200,400 混凝土隧道 隧道半径/m 隧道埋深/m 泊松比 密度/(kg·m−3) 弹性模量/MPa 6 2,4,8 0.2 2 400 30 000 1.1 模型的建立与计算参数
图1和图2分别为海水-海床-隧道相互作用的分析模型和有限元模型,考虑边界的影响在海床两侧和海床底面设置黏弹性人工边界条件,并在隧道及其附近进行网格的局部加密。为了得到隧道的环向正应力和剪应力,本文以圆形隧道中心为原点建立局部极坐标,如图3所示,其中O点为圆形隧道的中心点,OA为0° 所在位置,OB为90°所在位置。分析模型时,海床达到完全饱和、流体为无黏性的理想流体并忽略孔隙流体相对于土骨架的相对加速度效应,由于受篇幅所限本文中的控制方程和模型的海床表面、海床底面、海床两侧的边界和隧道壁处孔压边界的设置和具体参数参照崔杰等(2015)关于波浪荷载作用下对海底隧道-孔隙海床的动力分析。模型的具体计算参数见表1。
表 1 模型计算参数Table 1. Model calculation parameters饱和土体 泊松比 孔隙率 渗透系数/(m·s−1) 饱和度 密度/(kg·m−3) 弹性模量/MPa 0.33 0.35 10−2—10−4 1 1 900 50,200,400 混凝土隧道 隧道半径/m 隧道埋深/m 泊松比 密度/(kg·m−3) 弹性模量/MPa 6 2,4,8 0.2 2 400 30 000 1.2 流固耦合的求解
在分析水域隧道的动力反应中,能否真实地反映流体与海床的相互作用对分析结果的准确性有较大的影响,因此本文假定Xf和Xs分别为流体和固体节点上的求解向量,则流固耦合体系的有限元方程可表示为
$ \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!\!\!{{F_{\rm{f}}}\left[ {{{X}_{\rm{f}}} {\text{,}}{u_{\rm{s}}}\!\!\!\!{\text{(}} {{{X}_{\rm{s}}}} {\text{)}}}\!\!\!\! \right]}\!\!\!\!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{F_{\rm{s}}}\left[ {{{X}_{\rm{s}}}{\text{,}}{u_{\rm{s}}}\!\!\!\!{\text{(}} {{{X}_{\rm{f}}}} {\text{)}}}\!\!\!\!\right]}\!\!\!\!\!\! \end{array}} \right]{\text{=}}{ 0}{\text{,}} $
(1) 式中:us为流体模块与固体模块的传递函数,Ff和Fs分别代表流体和固体的有限元方程。流体、固体方程的变量完全耦合,因而在求解时流体方程和固体方程须按照顺序相互迭代进行求解,每个方程求解的结果供给另一个方程使用,例如求t+Δt时刻的解的过程如下:
1) 在已知的初始条件下,从流体方程Ff [Xf,μs(Xs) ] =0中求解出流体向量;
2) 如果只需满足应力收敛条件,则只要计算应力残量并与迭代容差相比较;
3) 利用初始条件和解出的流体向量Xf,从结构方程 [Xs,μs(Xf) ] =0中解出结构向量Xs;
4) 如迭代收敛,保存流体和结构的结果,如迭代不收敛,回到步骤1)继续下一个迭代。
1.2 流固耦合的求解
在分析水域隧道的动力反应中,能否真实地反映流体与海床的相互作用对分析结果的准确性有较大的影响,因此本文假定Xf和Xs分别为流体和固体节点上的求解向量,则流固耦合体系的有限元方程可表示为
$$ \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!\!\!{{F_{\rm{f}}}\left[ {{{X}_{\rm{f}}} {\text{,}}{u_{\rm{s}}}\!\!\!\!{\text{(}} {{{X}_{\rm{s}}}} {\text{)}}}\!\!\!\! \right]}\!\!\!\!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{F_{\rm{s}}}\left[ {{{X}_{\rm{s}}}{\text{,}}{u_{\rm{s}}}\!\!\!\!{\text{(}} {{{X}_{\rm{f}}}} {\text{)}}}\!\!\!\!\right]}\!\!\!\!\!\! \end{array}} \right]{\text{=}}{ 0}{\text{,}} $$ (1) 式中:us为流体模块与固体模块的传递函数,Ff和Fs分别代表流体和固体的有限元方程。流体、固体方程的变量完全耦合,因而在求解时流体方程和固体方程须按照顺序相互迭代进行求解,每个方程求解的结果供给另一个方程使用,例如求t+Δt时刻的解的过程如下:
1) 在已知的初始条件下,从流体方程Ff [Xf,μs(Xs) ] =0中求解出流体向量;
2) 如果只需满足应力收敛条件,则只要计算应力残量并与迭代容差相比较;
3) 利用初始条件和解出的流体向量Xf,从结构方程 [Xs,μs(Xf) ] =0中解出结构向量Xs;
4) 如迭代收敛,保存流体和结构的结果,如迭代不收敛,回到步骤1)继续下一个迭代。
1.3 黏弹性边界的实现和波动输入方法
黏弹性人工边界是一种时域的局部人工边界,能够实现对无限域近似模拟的边界条件(外行波在边界处不会发生反射),并且在时空上解耦,有限元分析时只需在截断边界结点处的每个方向施加一个并联的接地弹簧和阻尼元件,便于编程或在大型通用有限元软件中实现,如图4所示。其中:弹簧用来模拟无限域的刚性恢复力对有限域的影响,而黏性阻尼是用来吸收外行波和散射波,使其在边界处不发生反射。每个节点处所施加的法向和切向弹簧和阻尼元件的计算公式为
$$ {K_{B{\rm{N}}}}{\text{=}}{{\rm{\alpha }}_{\rm{N}}}\frac{G}{R}A {\text{,}}\;\;\;\;\;\;\;{C_{B{\rm{N}}}}{\text{=}}\rho {c_{\rm{P}}}A {\text{,}} $$ (2) $${K_{B{\rm{T}}}}{\text{=}}{\alpha _{\rm{T}}}\frac{G}{R}A {\text{,}}\;\;\;\;\;\;{C_{B{\rm{T}}}}{\text{=}}\rho {c_{\rm{S}}}A {\text{,}}$$ (3) 式中:KBN和CBN分别为图4b中B结点的法向弹簧刚度和阻尼系数;KBT和CBT分别为图4b中B结点的切向弹簧刚度和阻尼系数;R为散射波源到人工边界节点的距离;A为B结点的应力影响面积;ρ,cP,cS分别为无限域介质的密度、P波波速、S波波速;αN和αT分别为法向和切向的人工边界参数,本文取αN=1,αT=0.5。
近场波动分析中,由于在模型截断边界处施加了黏弹性人工边界来模拟无限域地基,当荷载来源于远场无限域时,就要考虑荷载在边界处的输入即波动分析中的外源输入问题。目前处理荷载在边界处输入的方法主要有两种:波场分解法和等效边界力法(刘晶波等,2005;赵密,2009)。这两种方法进行推导的角度不同,但两种方法的具体表达式却是相同的(式(4)),这也表明两种方法在外源输入问题上是等价的。
$${F_A}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} {\tau _0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} {K_A}{U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} {C_A}{\dot U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} {F_{A1}} {\text{+}} {F_{A2}} {\text{,}}$$ (4) $${F_{A1}} {\text{=}} {K_A}{U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} {C_A}{\dot U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{,}} $$ (5) $${F_{A2}} {\text{=}} {\tau _0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{,}} $$ (6) 式中:KA和CA为人工边界上任一结点A处的弹簧刚度和阻尼参数;τ0(xA,yA,t)为外荷载(入射波位移U0)在原来连续介质中产生的应力;U0 (xA,yA,t)是人工边界上由已知的自由波场(入射波场)产生的位移。
从式(5)和式(6)可知波动问题输入的等效荷载可以分为两部分:一部分为人工边界条件处所施加的荷载,其产生的位移与原自由场地的位移相同;另一部分为所施加的荷载,其产生的应力与原自由场地的应力相等。相对于FA1来说,求解相对简单,只需知道边界处的入射波场(位移和速度)即可;而对于FA2的求解,需首先计算内行场应变,然后由本构方程求得应力,再由平衡条件得到边界处的表面应力。由于所建立的模型含有流体,而流体不承受剪力,因此本节仅给出P波斜入射时的等效荷载公式。
当P波以α角入射时(图5),由波动理论可知在半空间自由表面会产生两种反射波:P波和SV波,如图6所示,而由弹性理论及本构方程,可推导出模型左边界上任意节点的等效荷载输入 [ 见式(7)和式(8) ] 和底边界上任意节点的等效荷载 [ 见式(9)和式(10) ] ,其中反射波的幅值和反射角度的计算见式(11)和式(12)。
左边界上节点的等效应力为
$$\begin{split} F_{{{L}}x}^{ - x}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} A\dfrac{{ {\lambda {\text{+}} 2G{{\sin }^2}\alpha } }}{{{c_{\rm{P}}}}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!} \right] {\text{+}} A\dfrac{{2G\sin \beta \cos \beta }}{{{c_{\rm{P}}}}}{B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}}\\ K_{\rm{N}}\left[ {{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{-}} {B_1}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t - \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{+}} {B_2}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \beta } \right]{\text{+}}\qquad\quad\\ C_{\rm{N}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{+}} {B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \beta } \right]{\text{,}} \qquad\quad \end{split}$$ (7) $$ \begin{split} F_{{{L}}y}^{ - x}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} A\dfrac{{2G\sin \alpha \cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!} \right] {\text{+}} A\dfrac{{G\!\!{\text{(}}{{\sin }^2}\beta {\text{-}} {{\cos }^2}\beta {\text{)}\!\!}}}{{{c_{\rm{S}}}}}{B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!{\text{+}}\\ K_{\rm{T}}\left[ {{U_{\rm{p}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{-}} {B_1}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{+}} {B_2}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \beta } \right]{\text{+}}\qquad\qquad\\ C_{\rm{T}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{+}} {B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \beta } \right]{\text{;}}\qquad\qquad \\[-12pt] \end{split} $$ (8) 底边界上的等效荷载可以表达为
$$F_{{{L}}x}^{ - y}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} A\frac{{2G\sin \alpha \cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} K_{\rm{T}}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{+}} C_{\rm{T}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{,}}$$ (9) $$F_{{{L}}y}^{ - y}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\!{\text{=}}A\frac{{ {\lambda {\text{+}} 2G{{\cos }^2}\alpha } }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} K_{\rm{N}}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{+}} C_{\rm{N}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{,}} $$ (10) $${{B_1} {\text{=}} {\text{-}} \frac{{c_{\rm{S}}^2\sin 2\alpha \sin 2\beta {\text{-}}c_{\rm{P}}^2{{\cos }^2}2\beta }}{{c_{\rm{S}}^2\sin 2\alpha \sin 2\beta {\text{+}}c_{\rm{P}}^2{{\cos }^2}2\beta }}{\text{,}}{B_2} {\text{=}} {\text{-}}\frac{{2{c_{\rm{P}}}{c_{\rm{S}}}\sin 2\alpha \cos 2\beta }}{{c_{\rm{S}}^2\sin 2\alpha \sin 2\beta {\text{+}}c_{\rm{P}}^2{{\cos }^2}2\beta }}}{\text{,}}$$ (11) $${\rm{sin}}\beta {\text{=}} \frac{{c_{\rm{S}}}{\sin \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}$$ (12) 式中:等效荷载公式的上标为人工边界处结点的外法线方向,与模型建立时的整体坐标轴方向相同时为正,反之为负;等效荷载公式的下标为人工边界处结点的编号和应力分量方向;y为左边界点L到下边界的距离;x为下边界点L到左边界的距离;UP(t)和
${\dot U} $ P(t)分别为入射纵波的位移和速度;Δt1为直接入射左侧边界时到达不同结点时的延迟时间;Δt2为左侧P波到达地面时产生的反射P波到达不同结点时的延迟时间;Δt3为左侧P波到达地面时产生的反射SV波到达不同结点时的延迟时间;Δt4为P波直接入射底边界时到达不同结点时的延迟时间。计算公式为$$ \begin{array}{c} \Delta {t_1} {\text{=}} \dfrac{{y\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}\Delta {t_2} {\text{=}} \dfrac{{{{\text{(}}2H {\text{-}} y{\text{)}}}\!\!\!\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}\\ \Delta {t_3} {\text{=}} \dfrac{{ {H {\text{-}} y} }}{{{c_{\rm{S}}}\cos \beta }} {\text{+}} \dfrac{{\left[ {H {\text{-}} \!\!\!\!{\text{(}} {H {\text{-}} y} {\text{)}}\!\!\!\!\tan \alpha \tan \beta } \right]\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}\Delta {t_4} {\text{=}} \dfrac{{x\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{.}}\\ \end{array} $$ 因此在海床两侧和海床的底面,分别设置孔压边界和黏弹性边界,实现相同位置处不同边界条件的施加,使有限元模型的边界更加接近于真实情况的边界。
1.3 黏弹性边界的实现和波动输入方法
黏弹性人工边界是一种时域的局部人工边界,能够实现对无限域近似模拟的边界条件(外行波在边界处不会发生反射),并且在时空上解耦,有限元分析时只需在截断边界结点处的每个方向施加一个并联的接地弹簧和阻尼元件,便于编程或在大型通用有限元软件中实现,如图4所示。其中:弹簧用来模拟无限域的刚性恢复力对有限域的影响,而黏性阻尼是用来吸收外行波和散射波,使其在边界处不发生反射。每个节点处所施加的法向和切向弹簧和阻尼元件的计算公式为
$ {K_{B{\rm{N}}}}{\text{=}}{{\rm{\alpha }}_{\rm{N}}}\frac{G}{R}A {\text{,}}\;\;\;\;\;\;\;{C_{B{\rm{N}}}}{\text{=}}\rho {c_{\rm{P}}}A {\text{,}} $
(2) ${K_{B{\rm{T}}}}{\text{=}}{\alpha _{\rm{T}}}\frac{G}{R}A {\text{,}}\;\;\;\;\;\;{C_{B{\rm{T}}}}{\text{=}}\rho {c_{\rm{S}}}A {\text{,}}$
(3) 式中:KBN和CBN分别为图4b中B结点的法向弹簧刚度和阻尼系数;KBT和CBT分别为图4b中B结点的切向弹簧刚度和阻尼系数;R为散射波源到人工边界节点的距离;A为B结点的应力影响面积;ρ,cP,cS分别为无限域介质的密度、P波波速、S波波速;αN和αT分别为法向和切向的人工边界参数,本文取αN=1,αT=0.5。
近场波动分析中,由于在模型截断边界处施加了黏弹性人工边界来模拟无限域地基,当荷载来源于远场无限域时,就要考虑荷载在边界处的输入即波动分析中的外源输入问题。目前处理荷载在边界处输入的方法主要有两种:波场分解法和等效边界力法(刘晶波等,2005;赵密,2009)。这两种方法进行推导的角度不同,但两种方法的具体表达式却是相同的(式(4)),这也表明两种方法在外源输入问题上是等价的。
${F_A}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} {\tau _0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} {K_A}{U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} {C_A}{\dot U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} {F_{A1}} {\text{+}} {F_{A2}} {\text{,}}$
(4) ${F_{A1}} {\text{=}} {K_A}{U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} {C_A}{\dot U_0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{,}} $
(5) ${F_{A2}} {\text{=}} {\tau _0}\!\!\!\!{\text{(}} {{x_A} {\text{,}} {y_A} {\text{,}} t} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{,}} $
(6) 式中:KA和CA为人工边界上任一结点A处的弹簧刚度和阻尼参数;τ0(xA,yA,t)为外荷载(入射波位移U0)在原来连续介质中产生的应力;U0 (xA,yA,t)是人工边界上由已知的自由波场(入射波场)产生的位移。
从式(5)和式(6)可知波动问题输入的等效荷载可以分为两部分:一部分为人工边界条件处所施加的荷载,其产生的位移与原自由场地的位移相同;另一部分为所施加的荷载,其产生的应力与原自由场地的应力相等。相对于FA1来说,求解相对简单,只需知道边界处的入射波场(位移和速度)即可;而对于FA2的求解,需首先计算内行场应变,然后由本构方程求得应力,再由平衡条件得到边界处的表面应力。由于所建立的模型含有流体,而流体不承受剪力,因此本节仅给出P波斜入射时的等效荷载公式。
当P波以α角入射时(图5),由波动理论可知在半空间自由表面会产生两种反射波:P波和SV波,如图6所示,而由弹性理论及本构方程,可推导出模型左边界上任意节点的等效荷载输入 [ 见式(7)和式(8) ] 和底边界上任意节点的等效荷载 [ 见式(9)和式(10) ] ,其中反射波的幅值和反射角度的计算见式(11)和式(12)。
左边界上节点的等效应力为
$\begin{split} F_{{{L}}x}^{ - x}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} A\dfrac{{ {\lambda {\text{+}} 2G{{\sin }^2}\alpha } }}{{{c_{\rm{P}}}}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!} \right] {\text{+}} A\dfrac{{2G\sin \beta \cos \beta }}{{{c_{\rm{P}}}}}{B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}}\\ K_{\rm{N}}\left[ {{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{-}} {B_1}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t - \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{+}} {B_2}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \beta } \right]{\text{+}}\qquad\quad\\ C_{\rm{N}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{+}} {B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \beta } \right]{\text{,}} \qquad\quad \end{split}$
(7) $ \begin{split} F_{{{L}}y}^{ - x}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} A\dfrac{{2G\sin \alpha \cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!} \right] {\text{+}} A\dfrac{{G\!\!{\text{(}}{{\sin }^2}\beta {\text{-}} {{\cos }^2}\beta {\text{)}\!\!}}}{{{c_{\rm{S}}}}}{B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!{\text{+}}\\ K_{\rm{T}}\left[ {{U_{\rm{p}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{-}} {B_1}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{+}} {B_2}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \beta } \right]{\text{+}}\qquad\qquad\\ C_{\rm{T}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_1}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{-}} {B_1}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_2}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{+}} {B_2}{{\dot U}_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_3}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \beta } \right]{\text{;}}\qquad\qquad \\[-12pt] \end{split} $
(8) 底边界上的等效荷载可以表达为
$F_{{{L}}x}^{ - y}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} A\frac{{2G\sin \alpha \cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} K_{\rm{T}}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{+}} C_{\rm{T}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\sin \alpha {\text{,}}$
(9) $F_{{{L}}y}^{ - y}\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\!{\text{=}}A\frac{{ {\lambda {\text{+}} 2G{{\cos }^2}\alpha } }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} K_{\rm{N}}{U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{+}} C_{\rm{N}}{\dot U_{\rm{P}}}\!\!\!\!{\text{(}} {t {\text{-}} \Delta {t_4}} {\text{)}}\!\!\!\!\cos \alpha {\text{,}} $
(10) ${{B_1} {\text{=}} {\text{-}} \frac{{c_{\rm{S}}^2\sin 2\alpha \sin 2\beta {\text{-}}c_{\rm{P}}^2{{\cos }^2}2\beta }}{{c_{\rm{S}}^2\sin 2\alpha \sin 2\beta {\text{+}}c_{\rm{P}}^2{{\cos }^2}2\beta }}{\text{,}}{B_2} {\text{=}} {\text{-}}\frac{{2{c_{\rm{P}}}{c_{\rm{S}}}\sin 2\alpha \cos 2\beta }}{{c_{\rm{S}}^2\sin 2\alpha \sin 2\beta {\text{+}}c_{\rm{P}}^2{{\cos }^2}2\beta }}}{\text{,}}$
(11) ${\rm{sin}}\beta {\text{=}} \frac{{c_{\rm{S}}}{\sin \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}$
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$ \begin{array}{c} \Delta {t_1} {\text{=}} \dfrac{{y\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}\Delta {t_2} {\text{=}} \dfrac{{{{\text{(}}2H {\text{-}} y{\text{)}}}\!\!\!\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}\\ \Delta {t_3} {\text{=}} \dfrac{{ {H {\text{-}} y} }}{{{c_{\rm{S}}}\cos \beta }} {\text{+}} \dfrac{{\left[ {H {\text{-}} \!\!\!\!{\text{(}} {H {\text{-}} y} {\text{)}}\!\!\!\!\tan \alpha \tan \beta } \right]\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{,}}\Delta {t_4} {\text{=}} \dfrac{{x\cos \alpha }}{{{c_{\rm{P}}}}}{\text{.}}\\ \end{array} $
因此在海床两侧和海床的底面,分别设置孔压边界和黏弹性边界,实现相同位置处不同边界条件的施加,使有限元模型的边界更加接近于真实情况的边界。
1.4 地震波的选取
计算中选取两条常用的实际地震波记录,分别为El-Centro波和Kobe波,持时为40 s,实际计算时截取其中前20 s进行计算。地震波的峰值按 《建筑抗震设计规范》 (中华人民共和国住房和城乡建设部,中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局,2016)Ⅶ度区进行取值,因此进行时程分析时输入地震波的峰值加速度为35 cm/s2,如图7所示。
1.4 地震波的选取
计算中选取两条常用的实际地震波记录,分别为El-Centro波和Kobe波,持时为40 s,实际计算时截取其中前20 s进行计算。地震波的峰值按 《建筑抗震设计规范》 (中华人民共和国住房和城乡建设部,中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局,2016)Ⅶ度区进行取值,因此进行时程分析时输入地震波的峰值加速度为35 cm/s2,如图7所示。
2. 计算结果与分析
利用上述计算原理,分析水深、地震动特性、海床土剪切波速和渗透系数、隧道埋深和地震动入射角等参数的变化在六种不同工况下对水域隧道动力特性的影响,其中这六种工况的计算参数如表2所示。由于边界条件设置的准确性和流体模型设置的合理性对上述不同工况下计算结果的准确性有重要影响,因此首先对边界条件和流体模型的设置进行验证。
表 2 不同工况下的计算参数Table 2. Calculation parameters for six conditions工况 地震动特性 入射角
/°土的模量
/MPa剪切波速
/(m·s−1)渗透系数
/(m·s−1)隧道埋深
/m水深
/m1 El-Centro波 0 200 − 10−3 4 0,20,40,80 2 El-Centro波,Kobe波 0 200 − 10−3 4 40 3 El-Centro波 0 − 100,200,400 10−3 4 40 4 El-Centro波 0 200 − 10−2,10−3,10−4 4 40 5 El-Centro波 0 200 − 10−3 2,4,8 40 6 El-Centro波 0,15,30,45,60 200 − 10−3 4 40 2.1 地震动输入和流体模型设置的验证
为了证明模型边界条件设置的准确性和流体模型的合理性,本文建立了宽200 m,高100 m,水深20 m和无水深的两个自由场海底模型,如图8所示,其中海床的弹性模量为200 GPa,泊松比为0.3,密度为1 900 kg/m3,海水的密度为1 000 kg/m3,体积模量为2 000 MPa。在水深为20 m的模型底边界输入狄拉克函数的剪切波(入射角α=90°,即地震波平行于模型底边界入射),而在水深为0 m的模型底边输入狄拉克函数波(入射角α=90°),其中狄拉克函数位移时程为
$$\begin{split} f\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} 16\left[ {G\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} 4G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 0.25} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} 6G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 0.5} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} 4G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 0.75} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 1} {\text{)}}\!\!\!\!} \right]{\text{,}}\\ G\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} {\tau ^3}{{H}}\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\!{\rm{}}{\text{,}}{\rm{}}\tau {\text{=}} \dfrac{t}{T}{\text{,}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{split}$$ (21) 式中,T为单位脉冲的时间宽度,
$ {{H}}\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\!$ 为赫维赛德函数。图9为输入剪切波的计算结果,可知海床表面A点的位移时程是入射波位移时程的两倍,这表明在剪切波作用下流体对海床表面的位移无影响,即流体的设置对海床表面的位移无影响,从而验证了模型中流体模块设置的正确性(流体不受剪力)。而由如图10所示的输入P波的计算结果可知,海床表面A点的位移时程也是入射波位移时程的两倍,表明地震动输入和边界条件设置的正确性,且与图9的比较可看出P波到达海床表面A点的时间较S波快,这也从另一方面验证了算例的正确性。
2.1 地震动输入和流体模型设置的验证
为了证明模型边界条件设置的准确性和流体模型的合理性,本文建立了宽200 m,高100 m,水深20 m和无水深的两个自由场海底模型,如图8所示,其中海床的弹性模量为200 GPa,泊松比为0.3,密度为1 900 kg/m3,海水的密度为1 000 kg/m3,体积模量为2 000 MPa。在水深为20 m的模型底边界输入狄拉克函数的剪切波(入射角α=90°,即地震波平行于模型底边界入射),而在水深为0 m的模型底边输入狄拉克函数波(入射角α=90°),其中狄拉克函数位移时程为
$\begin{split} f\!\!\!\!{\text{(}} t {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} 16\left[ {G\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} 4G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 0.25} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} 6G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 0.5} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{-}} 4G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 0.75} {\text{)}}\!\!\!\! {\text{+}} G\!\!\!\!{\text{(}} {\tau {\text{-}} 1} {\text{)}}\!\!\!\!} \right]{\text{,}}\\ G\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\! {\text{=}} {\tau ^3}{{H}}\!\!\!\!{\text{(}} \tau {\text{)}}\!\!\!\!{\rm{}}{\text{,}}{\rm{}}\tau {\text{=}} \dfrac{t}{T}{\text{,}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{split}$
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图9为输入剪切波的计算结果,可知海床表面A点的位移时程是入射波位移时程的两倍,这表明在剪切波作用下流体对海床表面的位移无影响,即流体的设置对海床表面的位移无影响,从而验证了模型中流体模块设置的正确性(流体不受剪力)。而由如图10所示的输入P波的计算结果可知,海床表面A点的位移时程也是入射波位移时程的两倍,表明地震动输入和边界条件设置的正确性,且与图9的比较可看出P波到达海床表面A点的时间较S波快,这也从另一方面验证了算例的正确性。
2.2 工况1:水深变化的影响
通过改变海床上部的水深,分析其对海床土和隧道动力性能的影响。图11给出了不同水深下隧道周围海床土超孔隙水压力和隧道内应力的变化规律,由该图可知,随着水深的增加,海床土的超孔隙水压力、隧道的剪应力和正应力均在增加,其中海床土孔隙水压力变化较大部分出现在隧道下半部分(180°—360°)的海床土中,而隧道的环向剪应力和环向正应力的最大值分别位于隧道的45°和90°处,即处于隧道上半部分(0°—180°);水深每增加20 m,超静孔隙水压力比不考虑水深时的超静孔隙水压力分别增加2.3倍、3.1倍和4.1倍(以270°处为参考点),环向剪应力分别增加了24.7%,49.6%和81% (以45°处为参考点),环向正应力分别增加了17.8%,49.5%和90% (以90°处为参考点)。因此,在竖向地震动作用下,应考虑水深对海床土和隧道应力的影响。
2.2 工况1:水深变化的影响
通过改变海床上部的水深,分析其对海床土和隧道动力性能的影响。图11给出了不同水深下隧道周围海床土超孔隙水压力和隧道内应力的变化规律,由该图可知,随着水深的增加,海床土的超孔隙水压力、隧道的剪应力和正应力均在增加,其中海床土孔隙水压力变化较大部分出现在隧道下半部分(180°—360°)的海床土中,而隧道的环向剪应力和环向正应力的最大值分别位于隧道的45°和90°处,即处于隧道上半部分(0°—180°);水深每增加20 m,超静孔隙水压力比不考虑水深时的超静孔隙水压力分别增加2.3倍、3.1倍和4.1倍(以270°处为参考点),环向剪应力分别增加了24.7%,49.6%和81% (以45°处为参考点),环向正应力分别增加了17.8%,49.5%和90% (以90°处为参考点)。因此,在竖向地震动作用下,应考虑水深对海床土和隧道应力的影响。
2.3 工况2:地震动特性的影响
通过输入相同幅值的El-Centro波和Kobe波,分析其对海床土和隧道动力性能的影响。图12给出了不同地震动特性作用下隧道周围海床土超孔隙水压力和隧道内应力的变化规律,由该图可知,在相同幅值地震动作用下,El-Centro波引起海床土的超静孔隙水压力和隧道内应力比Kobe波大,其中超静孔隙水压力比Kobe波作用下的大10%左右,环向剪应力大79%,而环向正应力大62%。这主要与场地的动力特性有关,因此在进行抗震分析时有必要明确场地的动力特性或使用多条地震波进行抗震验算。
2.3 工况2:地震动特性的影响
通过输入相同幅值的El-Centro波和Kobe波,分析其对海床土和隧道动力性能的影响。图12给出了不同地震动特性作用下隧道周围海床土超孔隙水压力和隧道内应力的变化规律,由该图可知,在相同幅值地震动作用下,El-Centro波引起海床土的超静孔隙水压力和隧道内应力比Kobe波大,其中超静孔隙水压力比Kobe波作用下的大10%左右,环向剪应力大79%,而环向正应力大62%。这主要与场地的动力特性有关,因此在进行抗震分析时有必要明确场地的动力特性或使用多条地震波进行抗震验算。
2.4 工况3:海床土剪切波速的影响
按照 《建筑抗震设计规范》 (中华人民共和国住房和城乡建设部,中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局,2016)中根据土的剪切波速划分土的类型,其中土层剪切波速为100 m/s对应于软弱土,200 m/s对应于中软土和400 m/s对应于中硬土,通过改变土层的剪切波速分析其对海床土和隧道动力性能的影响。图13给出了不同海床土剪切波作用下隧道周围海床土超静孔隙水压力和隧道内力的变化规律。由图13a可知,随着海床土剪切波速的增加,海床土孔隙水压力也在增加,这主要是由于随着海床土剪切波速的增加,土与隧道的相对刚度减小,即隧道刚度对周围海床土的约束力减小;从图13b和图13c可知,随着海床土剪切波速的增加,环向剪应力和环向正应力变化趋势不同,即随着海床土剪切波速的增加,环向剪应力先增大后减小,但环向正应力则随着海床土剪切波速的增加而减小。对比隧道埋置在中软土与中硬土可知,中硬土中的隧道剪应力较中软土中小20%,正应力小58%,而隧道埋置于软弱土中,其环向正应力最大。因此在隧道选址时应选择土质较好的海床土,当不可避免地埋置于软弱土层中时,要适当加大隧道环向正应力。
2.4 工况3:海床土剪切波速的影响
按照 《建筑抗震设计规范》 (中华人民共和国住房和城乡建设部,中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局,2016)中根据土的剪切波速划分土的类型,其中土层剪切波速为100 m/s对应于软弱土,200 m/s对应于中软土和400 m/s对应于中硬土,通过改变土层的剪切波速分析其对海床土和隧道动力性能的影响。图13给出了不同海床土剪切波作用下隧道周围海床土超静孔隙水压力和隧道内力的变化规律。由图13a可知,随着海床土剪切波速的增加,海床土孔隙水压力也在增加,这主要是由于随着海床土剪切波速的增加,土与隧道的相对刚度减小,即隧道刚度对周围海床土的约束力减小;从图13b和图13c可知,随着海床土剪切波速的增加,环向剪应力和环向正应力变化趋势不同,即随着海床土剪切波速的增加,环向剪应力先增大后减小,但环向正应力则随着海床土剪切波速的增加而减小。对比隧道埋置在中软土与中硬土可知,中硬土中的隧道剪应力较中软土中小20%,正应力小58%,而隧道埋置于软弱土中,其环向正应力最大。因此在隧道选址时应选择土质较好的海床土,当不可避免地埋置于软弱土层中时,要适当加大隧道环向正应力。
2.5 工况4:海床土渗透系数的影响
将土层的渗透系数依次取10−2 m/s,10−3 m/s和10−4m/s,分析其对海床土和隧道动力性能的影响,结果如图14所示,可知,随着海床土渗透系数的增加,隧道周围海床土孔隙水压力也在增加,但对隧道环向剪应力和环向正应力的影响较小。
2.5 工况4:海床土渗透系数的影响
将土层的渗透系数依次取10−2 m/s,10−3 m/s和10−4m/s,分析其对海床土和隧道动力性能的影响,结果如图14所示,可知,随着海床土渗透系数的增加,隧道周围海床土孔隙水压力也在增加,但对隧道环向剪应力和环向正应力的影响较小。
2.6 工况5:隧道埋深的影响
将隧道的埋深依次设为2 m,4 m和8 m,分析其对海床土和隧道动力性能的影响,结果如图15所示,可见,随着埋深的增加,海床土孔隙水压力先减小后增加,但对隧道的环向剪应力和环向正应力的影响较小,其中随着埋深的增加,隧道的环向正应力和剪应力减小约10%,而埋深为8 m的海床土孔隙水压力比埋深2 m时增大50%左右,因此从海底隧道的施工难易和工程的成本来说,海底隧道可尽量减小埋深。
2.6 工况5:隧道埋深的影响
将隧道的埋深依次设为2 m,4 m和8 m,分析其对海床土和隧道动力性能的影响,结果如图15所示,可见,随着埋深的增加,海床土孔隙水压力先减小后增加,但对隧道的环向剪应力和环向正应力的影响较小,其中随着埋深的增加,隧道的环向正应力和剪应力减小约10%,而埋深为8 m的海床土孔隙水压力比埋深2 m时增大50%左右,因此从海底隧道的施工难易和工程的成本来说,海底隧道可尽量减小埋深。
2.7 工况6:地震动入射角的影响
在隧道埋深为4 m,土的渗透系数为10−3 m/s,弹性模量为200 MPa,水深为40 m时,在El-Centro波的作用下,通过改变入射角的大小,研究其对海床土和隧道动力性能的影响,为便于分析,选取隧道0°,45°,90°,135°,180°和270°附近的土层,并分别将其命名为测点1,2,3,4,5和6,结果如图16所示。为了能直观地表示入射角对隧道附近地层的反应,现定义土层的放大系数β为
$\beta {\text{=}} \dfrac{{{u_{\rm{max}}}}}{{{u_0}}}{\text{,}}$
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从图16可知,随着地震动入射角的增大,海床土的竖向位移减小,而水平位移则增大,并且不同测点位移的增大或减小的变化趋势相同。
图17为不同入射角下各测点处的位移放大系数图。从图17和表3可知:不同测点在相同入射角的作用下土层的位移均被放大,并且在不同入射角作用下隧道上半部分(测点2,3,4)的土层位移放大系数均比隧道下半部分(测点1,5,6)大;入射角的变化对同一测点土层的位移放大系数并不十分敏感(最大差值发生在测点1:入射角为0°和60°,相差约为9%)。造成不同入射角在同一测点土层的位移放大系数不同,可能主要是因为随着入射角的变化,地震波到达测点的路径长短不同,路径越长,土层阻尼消耗地震动的能量越大,所以引起测点的振动幅值就越小。
表 3 不同测点在不同入射角作用下位移放大系数Table 3. Displacement magnication factor of different measuring points with different incident angles测点入射角/° 位移放大系数 测点1 测点2 测点3 测点4 测点5 测点6 0 1.46 1.47 1.48 1.46 1.46 1.44 15 1.35 1.37 1.40 1.41 1.41 1.36 30 1.39 1.42 1.46 1.47 1.39 1.39 45 1.40 1.42 1.48 1.48 1.40 1.39 60 1.32 1.34 1.38 1.38 1.38 1.31 图18给出了不同入射角下各测点处的应力图。从图18a可知:测点1和测点5的孔隙水压力随着地震动入射角的增大有所减小,但减小的幅值并不大;其余测点的孔隙水压力均随入射角的增大而增大,其中测点6的增幅最大,较入射角为0°时的孔隙水压力增大62%左右;地震动的入射角对隧道上半部分(30°—150°)和下半部分(210°—330°)土层的孔隙水压力影响较大,特别是对隧道下半部分土层的孔隙水压,而对隧道中部土层(0°和180°附近)的孔隙水压力影响较小。这主要是由于隧道中部的刚度较大,对土层的约束较强,这使得隧道附近的土层产生的剪切变形较其它位置土层的剪切变形小。
从图18b可知,除测点6 (隧道最低点)外,其余测点的环向正应力均随着地震动入射角的增大而增大,其中隧道0°和180°处的环向正应力增幅最大,即隧道0°和180°处的剪应力较小,所以也印证了入射角对隧道中部土层(0°和180°附近)的孔隙水压力影响较小,但对隧道环向正应力影响较大。从图18c可知,随着地震动入射角的增大,测点2和测点4的环向剪应力值变化较大,而其余位置的环向剪应力值变化较小,隧道的环向剪应力最大值出现在隧道的45°,135°,225°和315°位置处。
2.7 工况6:地震动入射角的影响
在隧道埋深为4 m,土的渗透系数为10−3 m/s,弹性模量为200 MPa,水深为40 m时,在El-Centro波的作用下,通过改变入射角的大小,研究其对海床土和隧道动力性能的影响,为便于分析,选取隧道0°,45°,90°,135°,180°和270°附近的土层,并分别将其命名为测点1,2,3,4,5和6,结果如图16所示。为了能直观地表示入射角对隧道附近地层的反应,现定义土层的放大系数β为
$$\beta {\text{=}} \dfrac{{{u_{\rm{max}}}}}{{{u_0}}}{\text{,}}$$ (22) 式中:
${{u}_{\rm{max}}}{\text{=}}\!\!{{{\text{(}}{u_{x}^{2}{\text{+}}u_{y}^{2}}{\text{)}}}\!\!\!\!^{{1}/{2}}}$ 为地震波斜入射时隧道附近土层在水平和竖直位移峰值的平方和的开方;u0为输入地震波的位移峰值。从图16可知,随着地震动入射角的增大,海床土的竖向位移减小,而水平位移则增大,并且不同测点位移的增大或减小的变化趋势相同。
图17为不同入射角下各测点处的位移放大系数图。从图17和表3可知:不同测点在相同入射角的作用下土层的位移均被放大,并且在不同入射角作用下隧道上半部分(测点2,3,4)的土层位移放大系数均比隧道下半部分(测点1,5,6)大;入射角的变化对同一测点土层的位移放大系数并不十分敏感(最大差值发生在测点1:入射角为0°和60°,相差约为9%)。造成不同入射角在同一测点土层的位移放大系数不同,可能主要是因为随着入射角的变化,地震波到达测点的路径长短不同,路径越长,土层阻尼消耗地震动的能量越大,所以引起测点的振动幅值就越小。
表 3 不同测点在不同入射角作用下位移放大系数Table 3. Displacement magnication factor of different measuring points with different incident angles测点入射角/° 位移放大系数 测点1 测点2 测点3 测点4 测点5 测点6 0 1.46 1.47 1.48 1.46 1.46 1.44 15 1.35 1.37 1.40 1.41 1.41 1.36 30 1.39 1.42 1.46 1.47 1.39 1.39 45 1.40 1.42 1.48 1.48 1.40 1.39 60 1.32 1.34 1.38 1.38 1.38 1.31 图18给出了不同入射角下各测点处的应力图。从图18a可知:测点1和测点5的孔隙水压力随着地震动入射角的增大有所减小,但减小的幅值并不大;其余测点的孔隙水压力均随入射角的增大而增大,其中测点6的增幅最大,较入射角为0°时的孔隙水压力增大62%左右;地震动的入射角对隧道上半部分(30°—150°)和下半部分(210°—330°)土层的孔隙水压力影响较大,特别是对隧道下半部分土层的孔隙水压,而对隧道中部土层(0°和180°附近)的孔隙水压力影响较小。这主要是由于隧道中部的刚度较大,对土层的约束较强,这使得隧道附近的土层产生的剪切变形较其它位置土层的剪切变形小。
从图18b可知,除测点6 (隧道最低点)外,其余测点的环向正应力均随着地震动入射角的增大而增大,其中隧道0°和180°处的环向正应力增幅最大,即隧道0°和180°处的剪应力较小,所以也印证了入射角对隧道中部土层(0°和180°附近)的孔隙水压力影响较小,但对隧道环向正应力影响较大。从图18c可知,随着地震动入射角的增大,测点2和测点4的环向剪应力值变化较大,而其余位置的环向剪应力值变化较小,隧道的环向剪应力最大值出现在隧道的45°,135°,225°和315°位置处。
3. 讨论与结论
基于Biot动力固结理论、弹性动力学理论和流体力学,考虑海床(土壤)的两相性、黏弹性人工边界及流(水)固耦合的作用,建立了隧道-土-流体相互作用的力学模型。在此基础上讨论了纵波作用下,有无水的情况及水深、水域隧道埋深、海床土性质等因素对隧道及其周围海床的影响。结果表明:海床土的软硬、渗透系数和输入地震动特性等因素,引起海底隧道的地震反应规律与陆地地下结构相似;考虑水深和地震动入射角的变化引起的海底隧道的地震反应规律与陆地地下结构有所不同。因为陆地地下结构一般以研究水平地震对其的影响为主,而对于海底隧道,由于水的存在(动水压力,特别是浅埋结构),水深和地震动入射角对海底结构的影响较大,因此本文的研究对地震作用下海底隧道的破坏机理提供了一定的理论参考,但要进一步探查海底隧道的破坏机理尚需解决海洋土在高围压下的动力特性和场地条件的影响,并进行三维模型的分析。
3. 讨论与结论
基于Biot动力固结理论、弹性动力学理论和流体力学,考虑海床(土壤)的两相性、黏弹性人工边界及流(水)固耦合的作用,建立了隧道-土-流体相互作用的力学模型。在此基础上讨论了纵波作用下,有无水的情况及水深、水域隧道埋深、海床土性质等因素对隧道及其周围海床的影响。结果表明:海床土的软硬、渗透系数和输入地震动特性等因素,引起海底隧道的地震反应规律与陆地地下结构相似;考虑水深和地震动入射角的变化引起的海底隧道的地震反应规律与陆地地下结构有所不同。因为陆地地下结构一般以研究水平地震对其的影响为主,而对于海底隧道,由于水的存在(动水压力,特别是浅埋结构),水深和地震动入射角对海底结构的影响较大,因此本文的研究对地震作用下海底隧道的破坏机理提供了一定的理论参考,但要进一步探查海底隧道的破坏机理尚需解决海洋土在高围压下的动力特性和场地条件的影响,并进行三维模型的分析。
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