引言

地震波传播特性与地震动输入是重大工程地震响应机制与灾变机理和抗震设计理论研究的基础，由于涉及地震学与工程学的交叉，这一基础研究滞后于地震响应分析，因此一直是重大工程抗震设计的瓶颈。对于局部不规则场地，其地震波传播特性极其复杂，表现为地形效应十分突出（郭明珠等，2013；高玉峰等，2021）。地震波传播至局部不规则场地后由于散射而导致场地地震动发生放大、衰减以及空间变化，而这种地形效应往往加剧桥梁、隧道和大坝等工程的震害。以2008年汶川地震为例，该地震由于发生在我国西部山区，相较于唐山地震这类平原地区的地震，其震害具有非常显著的差异，该地震造成6 140座桥梁、156条隧道和1 996座水坝受损（杜修力等，2008；景立平等，2009），可见局部地区地形条件的影响不容忽视。

地震波地形效应最早始于对实际地震动记录的分析，在1971年美国圣弗尔南多（San Fernando）地震中，Trifunac和Hudson （1971）发现帕克伊马（Pacoima）大坝上的台站观测数据出现异常的地震动放大现象。为了进一步研究地形效应，世界上很多地震台阵得以布设。1991年我国台湾省翡翠河谷上布置了六台强震仪，1992年9月花莲M_L5.5地震触发了此台阵，获得了沿地形分布的地面运动加速度记录，结果显示河谷两侧的地震动差异明显，表现出了明显的地形效应（Huang，Chiu，1995）。Spudich等（1996）在研究加州北岭（Northridge）地震记录时发现，相对于山脚处，山顶出现了明显的地震动放大效应。Parolai等（2004）通过对比分析1999年土耳其伊兹米特（Izmit）地震的17条观测数据，发现复杂的地形条件下会存在高达5倍的地震动放大效应。基于2008年汶川地震期间自贡西山地形影响台阵的观测数据，王海云和谢礼立（2010）详细分析了地形及地质条件对地震动的影响，其结果显示山体地形放大效应随高程的增加而愈加明显。此后，杨宇等（2011）和唐晖等（2012）也针对自贡台阵观测数据进行了深入研究。王文才等（2020）针对2018年陕西宁强M_S5.3地震的地震动数据进行分析，其结果显示了山体对地震中频段的地震动放大效应。

为了揭示地形效应的机理，关于地形对地震波的散射和衍射的数值方法和解析研究得以大量开展，数值方法主要包括有限元法（廖振鹏，刘晶波，1992；章小龙等，2017；孙纬宇等，2019）、有限差分法（Boore，1972）、边界元法（林皋，关飞，1990；巴振宁等，2017；Liu et al，2018；何颖等，2019）、谱元法（贺春晖等，2017；于彦彦等，2017；刘中宪等，2020）等。虽然数值方法应用灵活，但是其结果的准确性需要解析研究的验证。解析研究主要是波函数展开法，该方法不仅可以揭示波散射问题的物理本质，还可以检验各种数值方法的精度，近年来得到广泛关注（Trifunac，1973；Yuan，Liao，1994；Tsaur，Chang，2009；Gao et al，2012；Zhang et al，2017，2019；张宁等，2021）。

V形河谷作为常见的河谷形态，由于地震作用下河谷底部会产生应力奇异问题，其地形效应的理论解一直未得到有效解决，直到最近才由Tsaur教授带领的研究小组取得突破，分别得到了浅河谷（Tsaur，Chang，2008）和深河谷（Tsaur et al，2010）的地震SH波散射问题解答。Zhang等（2012a）为了应用方便，给出了不同深度河谷地震波散射的统一解答，随后Zhang等（2012b）研究了非对称V形河谷的地震SH波放大效应，并将此问题拓展至近源地震动的情况（Gao，Zhang，2013）。针对河谷场地上的地震动地形观测台阵，目前仅我国台湾省翡翠河谷上建立的六台强震仪在1992年花莲地震中记录到了相应的数据（Huang，Chiu，1995），且由于此河谷呈现典型的V形形态，本文将运用V形河谷场地地震SH波散射问题的频域解答，模拟其监测点位置处的地震动，进而从理论上揭示地形对地震动响应的影响规律。

1.   翡翠河谷地形及台阵记录

翡翠河谷位于我国台湾省花莲县，其上建有翡翠大坝，是为台北地区450万人供水的水源工程。在1977年到1990年间，科研人员在翡翠大坝附近分别布设了三个SMA-1型强震仪，主要用于观测河谷地形对翡翠大坝附近地震动在空间分布上的影响规律。但是由于台站距离翡翠大坝较近，其观测结果会受到大坝的影响，Huang和Chiu （1995）又于1991年在距离大坝300 m处沿翡翠河谷横断面布置了六台强震仪（SC1—SC6，高程分别为170，120，70，70，120，160 m），台站的具体位置如图1所示。

图  1  翡翠河谷地震动观测台阵剖面及台站分布示意图（Huang，Chiu，1995）

Figure  1.  Definition sketch for the cross section of Feitsui canyon and the location of six stations （Huang，Chiu，1995）

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1992年9月的花莲M_L5.5地震触发了此台阵，由此获得了沿地形分布的地面运动加速度记录，此次地震的震源深度为50 km，震中位于监测台阵南偏西方向距台阵130 km处，震中至翡翠大坝的方向基本平行于台阵观测面。Huang和Chiu （1995）根据实测地震动分离出了垂直于监测剖面方向的地震动分量，即二维SH波地震动记录，为后续地震动模拟提供了便利。台阵观测数据显示出显著的地震动地形效应，各点峰值加速度（peak ground acceleration，简写为PGA）记录见表1 （Huang，Chiu，1995）。由表1可以看出，河谷迎波面相对于背波面表现出较强的地震动放大现象，迎波侧PGA最大可达9.7 cm/s²，而背波侧最大只有6.0 cm/s²；同时可以看出越靠近河谷底部，记录到的地震动PGA越小。为了分析这一现象产生的原因，本文将从V形河谷周围地震波传播解析理论出发得到各点的地震动模拟结果，以揭示其地震响应规律。

表  1  1992年9月花莲地震中SC1—SC6台站记录到的地震动PGA （Huang，Chiu，1995）

Table  1.  PGA values at stations SC1−SC6 during Hualien earthquake in September 1992 （Huang，Chiu，1995）

台站名	PGA/（cm·s−2）		台站名	PGA/（cm·s−2）		台站名	PGA/（cm·s−2）
SC1	9.7		SC2	6.5		SC3	5.2
SC4	3.6		SC5	4.5		SC6	6.0

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2.   理论模拟

2.1   频域内地震动场推导

由翡翠河谷剖面图可以看到，河谷形状大致呈V形，地震波自剖面左侧斜入射。本文将首先推导线源SH波入射下非对称V形河谷地震波传播理论，得到频域内考虑地形效应的翡翠河谷各点的地震动传递函数。由于翡翠河谷属于深度较浅的河谷，因此本文将针对浅的非对称V形河谷地震波传播理论进行推导。河谷的二维简化模型如图2所示，此图表示半空间中一个非对称V形河谷，深度为d，半宽为b₁ （左侧）和b₂ （右侧）；模型的介质假设为弹性、各向同性、均质；介质的剪切模量为G和剪切波速为v_S。入射波假设为简谐的线源柱面SH波，圆频率为ω，位移在z方向（出平面）。在河谷底部建立局部坐标系（r₁，θ₁），在河谷中点建立整体坐标系（r，θ），采用半径为（b₁＋b₂）/2的半圆形辅助边界把整个空间分成两个子区域①和②。震源位置在整体极坐标系（r，θ）中为（r₀，θ₀），对于本研究的问题，需使用镜像法来考虑相对于水平地面对称的两个波源，对于波源及其镜像分别使用两个极坐标系（r_f，θ_f）和（${{r'}_{\rm{f}}},\;\;{{\theta '} _{\rm{f}}}$）。

图  2  翡翠河谷简化二维模型

Figure  2.  The simplified 2D model of the Feitsui canyon

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通过四个坐标系的建立，引入半圆形辅助边界进行区域分解，得到区域①和区域②的运动方程（Sanchez-Sesma，1985；Gao，Zhang，2013）：

式中，${\text{δ}} （ \cdot ）$为狄拉克δ函数，k＝ω/v_S为剪切波数。对于稳态出平面问题，u₁和u₂分别表示区域①和区域②在频域内的位移。

引入镜像法将入射波源镜像至（${{r}'}_{\rm{f}}{\text{，}}{{\theta }'} _{\rm{f}}$）坐标系，通过波函数展开法可以得到区域①和区域②内含未知系数的位移表达式（Zhang et al，2012b）：

式中：${{\rm{J}}_n}（\cdot ）$为n阶第一类贝塞尔函数，${\rm{H}}_n^{（1）}（ \cdot ）$为n阶第一类汉克尔函数；$\;{\beta _1} {\text{＝}} \pi {\text{－}}\arctan （{b_1}/d）$，$\;{\beta _2} {\text{＝}} \pi {\text{－}}\arctan （{b_2}/d ）$，$ \upsilon $＝ π/（β₁＋β₂）；${u^{\rm{f}}}{\text{＝}}[ {{\rm{H}}_0^{(1)}(k{r_{\rm{f}}})＋{\rm{H}}_0^{(1)}(k{{r'}_{\rm{f}}})} ]/{\rm{H}}_0^{（1）}（k{r_0}）$，表示自由场。

上述位移表达式需要满足河谷表面的应力自由边界条件和水平地表的应力自由边界条件：

同时满足两个子区域之间的位移连续和应力连续条件：

借助区域匹配策略和Graf加法公式，通过恰当的求解方案，最终可以得到位移场各未知系数A_n，B_n和C_n的解答，进而各区域的位移即可根据方程（3）和（4）精确得到。具体求解方案可参考Gao和Zhang （2013）。

2.2   地震动时程模拟

地震动记录多数是在地表面实测的加速度时程，测点一般位于不受任何结构影响的自由场地。理论上，对于地震SH波，自由场地加速度幅值是地下基岩地震动幅值的两倍，因此，为了得到结构抗震所需的输入地震波，对于平坦场地，将地表地震动记录的幅值减半作为输入的基岩地震动；而对于河谷场地，需要利用我们提出的地震动传播理论得到地形放大因子（相对于平坦场地）来获取场地地震动。

为了在给定地震动加速度时程输入的情况下得到河谷场地的空间变化地震动，需建立考虑地形放大效应的河谷场地地震动时程合成方法。这一方法建立的关键在于理解并应用河谷引起的地形放大因子，说明如下：V形河谷的波函数级数解以单位幅值稳态SH波作为入射波，如果河谷不存在，不同位置的水平地表位移幅值恒相等，为自由场|u^f|；而河谷地形效应导致不同位置的地表位移幅值在自由场|u^f|上下波动，也就是说，在某一频率下，如果地表某一点的位移幅值大于自由场|u^f|，那么这一点的地面运动相对于地表自由场放大，反之，如果小于自由场|u^f|，地面运动减小。根据这一原理，将这些波函数级数解给出的河谷地表位移除以自由场|u^f|，即可得到河谷地形的地震动放大因子，该放大因子为复数（包含幅值放大因子和相位调整因子）。因此如果得到了上述河谷地形的地震动放大因子随频率变化的函数，则可根据基岩地震动得到场地某点的实际地震动，具体步骤参见代登辉（2019）。

2.3   翡翠河谷测点地震动模拟

由于监测台阵距震中130 km，震源深度为50 km。因此震源相对于河谷的位置为（x₀，y₀）＝（−130 km，50 km）。根据Huang和Chiu （1995）的数据，翡翠河谷的模型参数为：深度d＝350 m，宽度b₁ ≈ 800 m，b₂ ≈ 700 m，介质密度ρ＝2.67 g/cm³，剪切波速v_S＝1500 m/s。

运用频域内地震动场的推导公式，可以得到河谷场地目标位置的频域地震动放大因子，地震动放大因子为复数，包含幅值和相位的信息。图3给出了台站SC1—SC6所在位置的地震动放大因子随频率变化的曲线，计算的频率范围为0—10 Hz。从图中可以明显地看出，在0—10 Hz内，SC1—SC3台站处的地震动放大因子最大可达1.5左右，而SC4—SC6台站处的地震动放大因子均小于1。尽管在某些频率（如5 Hz左右）下，迎波侧的地震动放大因子会小于背波侧，但是迎波侧整体表现出相对于背波侧的地形放大现象，这也与实测地震动结果相吻合。

图  3  翡翠河谷上SC1—SC6台站所在位置的地震动放大因子随频率f的变化

Figure  3.  Variation of ground motion amplification factors as a function of frequency at the stations SC1−SC6 in Feitsui canyon

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对于翡翠河谷台阵记录到的1992年9月的花莲地震，其主要频率在5 Hz以内，且主要集中在2—4 Hz，持时约30 s。由于缺乏相应的地震记录数据，为了更可靠地模拟该场地的地震响应，本文通过对Huang和Chiu （1995）一文中的数据进行读点，并依据实测数据的频谱结构适当调整，构造出符合上述频谱特征的人工地震动时程，并以SC3点作为地震动输入参考点，计算其它各点的地震响应。地震动输入参考点SC3的地震动时程如图4a所示，持时为30 s，PGA为5.2 cm/s²，相应的傅里叶谱如图4b所示，可见所构造的地震波与实测地震动波形基本一致，主要频率集中在2—4 Hz。

图  4  输入参考点SC3台站的地震动时程（a）和相应的傅里叶谱（b）

Figure  4.  Ground motion history （a） and corresponding Fourier spectrum （b） at the input reference point SC3

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基于输入地震动和频域地震动放大因子，可以进一步得到河谷各点的地震动响应时程，关键步骤解释如下：

1） 将输入地震动加速度时程记录进行两次数值积分，得到位移时程u_inp（t），然后将位移时程进行傅里叶变换，得到其傅里叶谱

2） 根据频域内地震动场的推导，求解不同频率简谐振动下河谷场地各个位置的地形放大因子，得到河谷场地目标位置的频域放大传递函数A（ω）；

3） 根据频域放大因子调整目标位置地震动的傅里叶谱

4） 根据调整后的傅里叶谱，通过傅里叶逆变换来求解考虑地形效应的地震动时程，即

将位移时程u_outp（t）进行一次数值微分后得到速度时程，进行两次数值微分后得到加速度时程。

通过计算得到的地震动放大因子和地震动时程模拟方法得到各测点位置处的地震动加速度时程，如图5所示。表2给出了模拟得到的地震动PGA与监测结果的对比。从图5和表2可以看出，SC1—SC3点的地震动PGA明显大于SC4—SC6点，这说明模拟得到的各测点地震动地形分布规律与观测结果一致，即翡翠河谷迎波侧的地震动明显大于背波侧。这是因为，河谷的存在阻挡了地震波的传播，这使得地震波能量大部分集中在河谷迎波面，河谷背波面的地震运动主要是源于河谷引起的散射波的作用。同时可以看出：在河谷迎波面，SC1点的地震动PGA大于SC2点，SC3点最小；在河谷背波面，SC6点的地震动PGA大于SC5点，SC4点最小。这与观测结果相一致，同时可以得出：对于河谷同一坡面，随着所处高程的增加，其地震动也相应增大。从表2中可以看出，以SC3点作为地震动输入参考点，模拟得到的SC2和SC4点的地震动PGA与实测结果最为接近，SC1，SC5和SC6点的模拟结果与实测结果有些许差别。这是因为地震动不只受地形因素的影响，还会受很多其它因素的干扰，如测点所处位置的地质差异、河谷底部沉积层的影响等，所以离地震动输入参考点SC3越远，地震动受其它因素的干扰越大，其结果差别越明显。但是，这种差异不影响结果的指导性，从整体上看模拟结果能够较好地反映河谷场地表现出的地震动地形效应。

图  5  翡翠河谷上SC1—SC6台站的模拟加速度时程

Figure  5.  Response acceleration time histories at the stations SC1−SC6 in Feitsui canyon

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表  2  SC1−SC6台站的模拟地震动PGA与监测结果对比

Table  2.  Comparisons of PGA values at the stations SC1−SC6 between the records and simulation

台站名	监测PGA /（cm·s−2）	模拟PGA /（cm·s−2）		台站名	监测PGA /（cm·s−2）	模拟PGA /（cm·s−2）		台站名	监测PGA /（cm·s−2）	模拟PGA /（cm·s−2）
SC1	9.7	7.8		SC3	5.2	5.2		SC5	4.5	3.6
SC2	6.5	6.3		SC4	3.6	3.1		SC6	6.0	3.9

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图6给出了计算得到的各监测点位置的地震动傅里叶谱幅值，可以看出地形效应对地震波的主要频率范围影响较小，但对其傅里叶谱幅值的影响较大。SC1—SC3点的傅里叶谱幅值基本能反映其时域情况，SC1点的傅里叶谱幅值整体大于SC2点和SC3点，SC4—SC6点的傅里叶谱幅值基本相同，因此其在时域内的加速度时程也相差较小，三者的地震动PGA较为接近。由频谱特征分析可知：SC1—SC3点的地震波主要频率集中在2—4 Hz，在该区间内傅里叶频谱幅值明显大于背波侧SC4—SC6点的傅里叶频谱幅值；而SC4—SC6点的地震波主要频率集中在3—5 Hz；在4—5 Hz的频率范围内，六个观测点的傅里叶谱幅值几乎保持不变。这是因为在2—4 Hz内，SC1—SC3点相对于SC4—SC6点产生较大的地形放大，而在4—5 Hz内，六个观测点的地形放大因子差别不大，这一规律同样可以在图3中看到。

图  6  模拟得到的翡翠河谷上SC1—SC6各点加速度傅里叶谱幅值

Figure  6.  Response Fourier amplitudes of acceleration at the stations SC1−SC6 in Feitsui canyon

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3.   讨论与结论

翡翠河谷地形影响地震动观测台阵在1992年花莲地震中获得了相应的地形影响地震动记录，通过分析河谷各监测点的地震动可知，河谷迎波面相对于背波面表现出明显的地震动放大现象。为了分析此现象产生的原因，本文利用线源SH波入射下非对称V形河谷地震波传播解析理论，通过构造频段接近实际观测数据的地震波，并以SC3点作为地震动输入参考点，模拟得到了河谷各监测点位置的地震动。模拟结果进一步揭示了河谷地形效应对地震动影响的规律：河谷地形使得地震波在传播过程中产生散射，导致河谷场地表现出了与平坦场地不同的地震动规律。在河谷迎波侧，散射波与入射波相长干涉，表现出了地震动放大现象；在河谷背波侧，河谷对剪切波产生了过滤作用，表现出了地震动衰减现象。结果进一步表明，河谷同侧地震动表现出了地震动PGA随高程增加而增加的趋势。通过对比实测地震动与模拟结果可知，本文提出的河谷场地地震波传播解析理论能够较好地模拟地形效应引起的地震动差异情况，河谷两侧的地震动差异以及所处高程对地震动的影响均能够通过本解析理论得到较好的模拟。本解析理论不同于其它数值方法，能够实现河谷场地全域全过程的地震动模拟，同时本文提出的研究思路实现了解析理论的工程应用，本文中考虑地形效应的地震动模拟方法可为V形河谷场地重大工程的抗震设计提供精确的地震动输入，所得结果对地震区划的精细划分有一定的指导意义。