引言

基于弹性回跳理论（Reid，1910），原地复发的大地震具有时间记忆性，为了描述这种记忆性，Utsu （1972），Hagiwara （1974）以及Rikitake （1974）提出了一种更新模型，即在一次大地震发生之后，该断层源需长时间积累能量才足以再次发生大地震。

对于更新模型，根据有限的古地震或历史地震序列，研究人员提出了很多种假定的概率分布，包括双指数分布（Utsu，1972）、高斯分布（Rikitake，1974）、威布尔分布和伽马分布（Utsu，1984）、对数正态分布（Nishenko，Buland，1987）、布朗时间过程分布（Ellsworth et al，1999 ；Matthews et al，2002 ）等。但这些分布均假定基于有限数据的统计推断，通常缺少严格的物理意义，之所以作某种强分布假定，主要是为了数学计算上的方便（陈汉尧，胡聿贤，1994）。

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Ellsworth等（1999）采用Bootstrap方法评估小样本条件下的BPT模型变异系数α的随机不确定性时，取初始平均复发间隔μ和变异系数α分别为1和0.5，分别按样本数3—10个进行随机抽取，结果表明由几个小样本估算的α值的随机不确定性很大，而不同样本数所对应的不确定性大小也不同，序列中的地震数目越小，其随机不确定性则越大。

此外，Ellsworth等（1999）考虑到古地震年代测定的认知不确定性，采用蒙特卡罗方法，由一个带有年代不确定性的原始地震序列资料随机生成大量可能的地震序列，取μ和α的均值作为该古地震序列的实际μ值和α值。而Parsons （2008）在此基础上还考虑了μ与α之间的相关性，采用蒙特卡罗方法，在（μ，α）组合的可能性分布图中选取最大可能的（μ，α）组合作为该古地震序列的实际μ值和α值。上述两种方法对古地震发生年代不确定性的考虑均不够充分，因其选取的μ值和α值仍是确定性的参数，而不是带有不确定性的概率性参数分布。

为此，本文拟提出一种基于经验分布的大地震复发概率计算方法，简称经验分布方法。与Bootstrap方法相比，经验分布方法的数学基础依然是经验分布和蒙特卡罗方法，但与Bootstrap方法不同的是，其在不确定方面的应用主要体现在对古地震年代认知不确定性的处理。经验分布方法不作任何复发概率分布的强假定，以历史重演原则和构造类比原则为基本物理假设，通过直接对大量地震序列的蒙特卡罗随机抽样来模拟和推测大地震的发生规律，进而得到未来一段时间内的大地震发生概率，并以鲜水河断裂带的炉霍段和道孚段为实例，利用本文提出的方法分别计算出炉霍段和道孚段未来50年的大地震发生概率。

1.   基于经验分布的大地震复发概率计算方法

历史重演原则和构造类比原则一直是地震危险性分析和中长期地震预报的两个基本假定，经验分布方法严格遵守上述两个原则。根据历史重演原则，历史上发生的事件未来还会再次发生，历史上未发生过的事件或超出历史所限定范围的事件不可能发生。Nishenko和Buland （1987）所采用的归一化复发间隔数据统计方法也体现了构造类比的假定，即不同构造上的大地震具有相同的归一化复发间隔分布和变异系数，这样才可以用大量非本地复发间隔数据来推断预测本地复发间隔的潜在变化。

经验分布方法的数学基础则类似于Bootstrap方法，但又存在一定的差别。Bootstrap方法的数学基础包括：① 根据有限数据所构建的经验分布函数是总体分布函数的非参数最大似然估计；② 蒙特卡罗方法在处理不确定性分析和相关性分析方面的应用。

基本的Bootstrap方法是把样本看作一个总体，根据经验函数有放回地随机抽取一个样本量为n的简单随机样本，根据这个样本可以计算得到统计量抽样，进而生成统计量抽样分布的经验估计，这个抽样分布是从一个给定总体中抽取样本量为n的大量随机样本而计算得到的统计量取值分布，进而可以统计分析由有限样本n所造成的样本参数（均值等）与总体之间偏差的随机不确定性。

地震危险性分析中的不确定性包括随机不确定性和认知不确定性，基本的Bootstrap方法中主要利用蒙特卡罗方法来分析有限样本量所造成的随机不确定性，包括偏差估计和置信区间估计。而本研究中则利用蒙特卡罗方法在处理认知不确定性方面的应用，虽然同样基于经验分布，但本文的经验分布方法却是利用蒙特卡罗方法来考虑古地震发生年代的认知不确定性。

经验分布方法可以简述如下：首先，根据拉普拉斯原则，在本地复发间隔样本中，等可能地随机抽取一个本地复发间隔数据A；然后在复发间隔数据库中等可能地随机抽取一个复发间隔数据B与其进行配对，再在B所在地震序列中等可能地抽取一个复发间隔数据C （C≠B），A （C/B）即为此次模拟所得的本地潜在复发间隔；随后经过大量蒙特卡罗抽样过程，就可以统计分析本地大地震的潜在复发规律，进而可以计算未来Δt年内的发震概率。抽取过程也就是利用蒙特卡罗随机抽样来处理古地震发生年代认知不确定性的过程，而配对过程则是与异地复发间隔数据库所构建的经验分布相联系的过程。该方法所得结果主要受实测复发间隔数据库的丰富程度和精确程度的影响，而不受主观假定的各种数学分布模型的影响。

1.1   地震序列数据库

本研究共收集、整理了40个中国大陆地区的原地复发型地震序列（包括古地震和历史地震），共计156次地震，所建立的数据库列于表1。本文中的大地震序列的选取原则为：① 考虑到地震破裂的分级性，同一断层上不同级别的地震不能放在同一地震序列中，同时还要考虑高级别破裂对低级别破裂的控制作用；② 考虑到不同观测者在同一地点测定的古地震序列亦会存在差异，选取最新的和权威的古地震序列；③ 仅选取较完整、研究程度较高的古地震（历史地震）序列进行定量分析；④ 排除古地震年代测定不确定性太大的地震序列，特指不确定性大到可以产生负值或10倍以上复发间隔的不现实情况；⑤ 破裂长度大于40 km。

表  1  由40个地震序列组成的数据库

Table  1.  Database consisting of 40 earthquake sequences

断裂名称	古地震事件 年龄/a	复发间隔 数目	资料来源		断裂名称	古地震事 件年龄/a	复发间隔 数目	资料来源
郯城MS8.5 地震断裂	E1：11 000±1 000 E2： 7 450±950 E3： 3 500±500 E4：公元1668	3	王华林（1995）		冷龙岭断裂	E1：5 926 E2：4 050±160 E3：2 900±270 E4：1 560±360 E5：公元1540	4	李正芳等 （2012）
三河−平谷MS8.0 地震断裂	E1：20 000 E2：13 000 E3：7 500 E4：公元1679	3	冉勇康等 （1997）		鄂拉山断裂	E1：12 500±100 E2：10 000±150 E3：6 000±100 E4：4 100±300 E5：2 600±400	4	袁道阳等 （2004）
北祁连山东段 毛毛山—金强河 断裂	E1：7 700±50 E2：6 100±150 E3：5 200±100 E4：4 250±150 E5：3 050±150	4	袁道阳等 （1997）		延矾盆地 北缘断裂北段	E1：21 700±2 000 E2：16 000±1 300 E3：10 880±3 000 E4：5 756±1 100	3	刘静和 汪良谋 （1996）
北祁连山东段 老虎山断裂	E1：7 700±50 E2：6 100±150 E3：5 200±100 E4：4 250±150 E5：3 050±150 E6：2 000±300 E7：800±100 E8：公元1888	7	袁道阳等 （1997）		延矾盆地 北缘断裂南段	E1：33 100 E2：28 000 E3：21 000±1 500 E4：14 000 E5：10 800 E6：7 500 E7：公元1338	6	刘静和 汪良谋 （1996）
东昆仑断裂带 库赛湖段	E1：31 900±1 923 E2：27 990±1 681 E3：23 635±1 427 E4：20 345±1 225 E5：16 865±1 018 E6：12 935±774 E7：9 730±592 E8：6 955±425 E9：3 100±201 E10：公元2001	9	胡道功（2007）		怀涿盆地 北缘断裂北段	E1：20 500±1 180 E2：14 500±710 E3：6 700±600 E4：＜1 310	3	刘静和 汪良谋 （1996）
海原断裂 中段破裂	E1：6 595±275 E2：5 770±200 E3：4 965±925 E4：3 382±589 E5：2 765±355 E6：2 240±450 E7：1 275±350	6	冉勇康等 （1998）， 张培震等 （2003）		怀涿盆地 北缘断裂南段	E1：30 000±1 400 E2：24 500±700 E3：16 000±2 100 E4：10 000 E5：6 600±400 E6：4 400±500 E7：＜2 865	6	刘静和 汪良谋 （1996）

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1.2   仅有一个本地复发间隔情况下的发震概率计算方法

本文假定大地震的复发在不同构造上的变异性相同，即归一化复发间隔的概率密度分布函数相同。而对于仅有一个本地复发间隔的情况，这个复发间隔在归一化复发间隔的概率密度分布函数中所处的位置是不确定的，即可以处于任意位置。根据拉普拉斯原则（等可能原则），这个本地复发间隔数据与数据库中任意一个复发间隔数据匹配的概率相同，即归一化后在复发间隔概率密度分布函数中所处的位置相同。综上所述，仅有一个本地复发间隔的情况下，经验分布方法的具体实现步骤如下（图1）：① 考虑古地震年代测定的不确定性，在古地震发生时间的不确定性上下限之间进行均匀随机抽样，生成一个本地复发间隔数据T，若采用历史地震数据，则无需考虑这种不确定性，直接选取本地仅有的一个复发间隔数据T；② 考虑古地震年代测定的不确定性，在地震序列数据库中生成多组复发间隔数据集，在其中等概率抽取一个复发间隔数据T′，其所在的复发间隔数据集为（T′ _min，···，T ′ _max）；③ 将选取的本地复发间隔T与数据库异地复发间隔T ′进行配对，即它们具有相同的变异性；④ 在T ′所在的复发间隔数据集（T ′ _min，···，T ′ _max）中除了T ′外等可能地抽取一个复发间隔T_s，即可得到本地下一次大地震的一个潜在的可能复发间隔T ′ _s，即T ′ _s＝T ′（T_s/T）；⑤ 判断T ′ _s是否大于本地大震离逝时间T_e，是则作记录，否则不作记录；⑥ 反复进行10万次上述蒙特卡罗模拟过程，即可得到离逝时间T_e条件下的本地复发间隔的概率密度分布；⑦ 基于上述本地复发间隔的概率密度分布，还可以进一步得到离逝时间T_e条件下的未来Δt年内的发震概率。

图  1  仅有一个本地复发间隔情况下的经验分布方法流程图

Figure  1.  The flow chart for empirical distribution method with only one local recurrence interval

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1.3   两个及以上本地复发间隔情况下的发震概率计算方法

对于有两个及以上本地复发间隔情况下的发震概率的计算，与只有一个本地数据的情况存在一定的差异：首先根据构造类比原则在将本地复发间隔数据与数据库中复发间隔数据进行配对的过程中，需要增加一个随机抽取本地复发间隔的过程；其次，因为本地有两个或两个以上的复发间隔数据，在配对过程中可能会出现超出历史变异范围的归一化复发间隔数据，而经验分布方法则要求严格遵照历史重演原则，不允许出现超出历史所限定范围的事件。综上所述，两个及以上本地复发间隔情况下经验分布方法的具体实现步骤为（图2）：① 考虑古地震年代测定的不确定性，随机生成一组本地复发间隔数据集，并在其中随机抽取一个复发间隔数据T，若采用的是历史地震数据，则不需要考虑这种不确定性，直接在本地复发间隔数据中随机抽取一个复发间隔数据T；② 考虑古地震年代测定的不确定性，在地震序列数据库中生成多组复发间隔数据集，在其中等概率抽取一个复发间隔数据T ′，其所在的复发间隔数据集为（T ′ _min，···，T ′ _max）；③ 将抽取的本地复发间隔T与数据库异地复发间隔T ′进行配对，以确保它们具有相同的变异性；④ 严格遵守历史重演原则，如果在配对过程中出现超出历史变异范围的归一化复发间隔数据，则返回第一步重新进行模拟。若满足条件（T_maxT ′/T）/T ′ _min＞T_max/T_min或（T ′ _maxT/T ′）/T_min＞T_max/T_min，则需要返回第一步重新开始，否则进行下一步骤；⑤ 在T ′所在的复发间隔数据集（T ′ _min，···，T ′ _max）中除了T ′外等可能地抽取一个复发间隔T_s，即可得到本地下一次大地震的一个潜在可能复发间隔T ′ _s，即T ′ _s＝T ′（T_s/T）；⑥ 判断T ′ _s是否大于本地大震离逝时间T_e，是则作记录，否则不作记录；⑦ 反复进行10万次上述蒙特卡罗模拟过程，即可得到离逝时间T_e条件下的本地复发间隔的概率密度分布；⑧ 基于上述本地复发间隔的概率密度分布，还可以进一步得到离逝时间T_e条件下未来Δt年内的发震概率。

图  2  两个及以上本地复发间隔情况下经验分布方法流程图

Figure  2.  The flow chart for empirical distribution method with two or more local recurrence intervals

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2.   计算实例

本研究分别选取鲜水河断裂带炉霍段和道孚段，利用本文提出的经验分布方法进行大地震复发概率计算。炉霍段历史上曾经发生过1816年M7.5和1981年M7.6地震；道孚段历史上曾经发生过1792年M6¾、1904年M7.0和1981年M6.9地震（冉洪流，何宏林，2006）。

根据历史地震记录，鲜水河断裂带上可收集到近300年的强震记录，综合地震完整性分析的结果（黄玮琼等，1994；苏有锦等，2003），鲜水河断裂带上地震目录的完整性最小震级选取：1725年以来的M6.5，1904年以来的M6.0，1923年以来的M5.0，1970年以来M2.5以上和1982年以来M2.0。根据历史地震记载和完整性分析结果，炉霍段仅有一个本地复发间隔数据，而道孚段有两个本地复发间隔数据，可以分别采用仅有一个本地复发间隔数据和两个及以上本地复发间隔数据情况下的经验分布方法来计算炉霍段和道孚段未来50年的大地震发生概率。

此外，需要注意的是，如果本地地震序列包含在40个地震序列所构成的数据库中，在实际计算中需要将数据库中的本地地震序列剔除，然后再进行蒙特卡罗抽样。

2.1   鲜水河断裂带炉霍段的大地震复发概率计算

炉霍段历史上曾经发生过1816年M7.5和1981年M7.6地震，对于炉霍段未来50年的发震概率，首先可以直接利用仅有一个本地复发间隔（T＝165 a）情况下基于经验分布方法的发震概率计算方法，直接生成炉霍段大地震复发间隔的概率密度分布柱状图（图3a）；然后，在蒙特卡罗模拟过程中统计复发间隔不在离逝时间T_e内而在未来50年内的抽样数目n；再统计复发间隔不在离逝时间T_e内也不在未来50年内的抽样数目N，这样就可以得到离逝时间T_e所对应的未来50年发震概率为n/N；最后分别选取不同的离逝时间计算得到炉霍段50年发震概率曲线图（图3b）。考虑到1981年M7.6地震为炉霍段最近的一次大震，故离逝时间取为36年，计算得到炉霍段未来50年的发震概率为0.15。

图  3  炉霍段大地震复发间隔的概率密度直方图（a）和未来50年发震概率曲线图（b）

Figure  3.  The probability density plot of large earthquakes （a） and the occurrence probability for a 50-year exposure period （b） on the Luhuo segment

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图  4  道孚段大地震复发间隔的概率密度直方图（a）和未来50年发震概率曲线图（b）

Figure  4.  The probability density plot of large earthquakes （a） and the occurrence probability for a 50-year exposure period （b） on the Daofu segment

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2.2   鲜水河断裂带道孚段的大地震复发概率计算

道孚段历史上曾经发生过1792年M6¾，1904年M7.0和1981年M6.9地震，对于道孚段未来50年的发震概率，首先可以直接利用两个及以上本地复发间隔（两个本地复发间隔T₁＝112 a，T₂＝ 77 a）情况下经验分布方法的发震概率计算方法，直接生成道孚段大地震复发间隔的概率密度分布柱状图（图4a）；然后，在蒙特卡罗模拟过程中统计复发间隔不在离逝时间T_e内而在未来50年内的抽样数目n；再统计复发间隔不在离逝时间T_e内也不在未来50年内的抽样数目N，得到离逝时间T_e所对应的未来50年发震概率n/N；最后分别选取不同的离逝时间，计算得到道孚段50年发震概率曲线图（图4b）。考虑到1981年M6.9地震为道孚段最近的一次大震，故离逝时间取为36年，计算得到道孚段未来50年发震概率为0.31。

很显然，炉霍段和道孚段大地震复发间隔的概率密度分布并不是标准的正态分布，更类似于对数正态分布，但其未来50年的发震概率曲线却是随着离逝时间的增大而不断递增的，而对数正态分布所对应的发震概率曲线则会在一定离逝时间后出现递减的情况。

本文的经验分布方法中仅采用10万次蒙特卡罗模拟，已经可以得到较平滑的发震概率曲线，若要得到更精确的计算结果，则可以采取更多次的蒙特卡罗模拟。

3.   讨论与结论

本文提出了一种基于经验分布的大地震复发概率计算方法，简称经验分布方法，该方法不作任何复发概率分布的强假定，以历史重演原则和构造类比原则为物理基础，直接采用经验分布模型，通过对大量复发间隔序列数据的蒙特卡罗随机抽样，模拟未来大地震复发，进而统计得到未来一段时间内的大地震发生概率。经验分布方法与传统Bootstrap方法虽然都以经验分布为数学基础，但Bootstrap方法主要利用蒙特卡罗方法在处理随机不确定性方面的应用，而经验分布方法则利用蒙特卡罗方法在处理认知不确定性方面的应用。

经验分布方法不需要对大地震复发模型作任何概率分布的强假定，直接通过对大量古地震序列的随机抽样和统计，同样可以得到未来Δt年的发震概率。本文以鲜水河断裂带炉霍段和道孚段为计算实例，结果表明，不同于对数正态模型，经验分布方法所得的未来50年发震概率曲线随离逝时间的增大不断递增，更符合客观情况。

以鲜水河断裂带炉霍段和道孚段为实例，利用本文给出的复发概率计算方法得到炉霍段和道孚段未来50年大地震的发生概率分别为0.15和0.31。本文重点在于探讨一种大地震复发概率的计算方法，炉霍段和道孚段的发震概率计算结果仅供参考，实际应用研究需要作大量的地震地质调查工作，具体模拟过程也更为复杂。

对于无本地复发间隔数据情况下的发震概率的计算，本文提出的经验分布方法存在一定的局限性。若要采用滑动速率法（Shimazaki，Nakata，1980）或地震矩释放率法（Wesnousky，1986）估计本地复发间隔，则存在很大的不确定性，这点还需要作进一步研究。