引言

国内外有大量的城市和重要建筑场址位于沉积河谷之中，多次地震观测和震害调查表明，沉积河谷作为常见的局部场地之一，对地震动具有显著影响.近年来，出于地震小区划和重大工程抗震设计的需要，沉积河谷对地震动的放大效应引起了国内外岩土工程界的广泛关注.沉积河谷对地震波散射问题的计算方法可采用数值法和解析法，其中解析法主要指波函数展开法(Trifunac, 1971; Yuan, Liao, 1995; 梁建文等，2006；赵成刚，韩铮，2007)，数值法包括限元法(Bao et al, 1998; 丁海平等，2006；周国良等，2012；陈少林等，2014；陈国兴等，2015)、有限差分法(Frankel, Vidale, 1992; 付长华等，2012)、边界单元法(Lozón et al, 2009; 巴振宁，梁建文，2015)、间接边界积分方程法(Mossessian, Dravinski, 1990; 刘中宪等, 2013)、有限元-边界元(边界积分方程)耦合法(Mossessian, Dravinski, 1992; 金峰等, 1993)等.但是，这些研究大多针对确定性模型进行参数分析，而对参数随机性的讨论则较少.现实中岩土介质参数的随机性十分明显，且当前的实验技术对岩土参数测定的可靠度并不高.考虑到介质波速、阻尼等参数的不确定性，研究参数随机性对河谷地震响应的影响具有重要的理论意义和工程应用价值.近年来，一些研究人员对波速、波形的影响已进行了初步研究，取得了诸多成果.例如，Ge(2010)给出了剪切波速沿任意方向梯度变化的半圆沉积谷地对SH波入射的地震响应，刘中宪和王冬(2014)对不同地层波速模型对半圆沉积谷地地震响应的影响进行了深入分析.

鉴于材料波速和阻尼是影响沉积谷地地震响应规律的关键因素，本文拟采用间接边界元法，借鉴何颖等(2014a, b)关于SH波入射情况下形状随机性对地震波散射的分析思路，进一步对P波和SV波入射下沉积河谷的地震动反应进行统计分析，以期获取沉积介质波速比、阻尼随机性对河谷地震动放大效应的影响.

1.   计算模型

如图 1所示，假设在半空间中有一沉积河谷场地，地震波从基岩半空间入射.为简化分析，基岩半空间(D₁)和沉积河谷(D₂)均假设为各向同性弹性介质；B为区域D₁与D₂的交界面；G₁，υ₁，ρ₁，c_P1，c_S1和ζ₁分别为半空间介质D₁的剪切模量，泊松比，密度，纵波波速，横波波速和阻尼比；G₂，υ₂，ρ₂，c_P2，c_S2和ζ₂分别为沉积河谷D₂相应的材料特性；a为沉积河谷的半宽，h为深度；L₁和L₂分别为半空间地表和沉积河谷地表.

图  1  计算模型

(a)沉积河谷图；(b)虚拟波源分布图

Figure  1.  Calculation model

(a) Sedimentary valley diagram; (b) Virtual wave source distribution

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2.   计算方法

本文对基岩半空间和沉积河谷内部的波动状态均采用间接边界元法进行模拟，然后根据沉积河谷和半空间交界面B上位移和应力连续以及地表L(包括半空间地表L₁和沉积河谷地表L₂)零应力边界条件，求得各部分波场的虚拟波源密度，进而得到各部分的散射场，最终得到整体解.

首先进行波场分离，基岩弹性半空间D₁的总位移场和应力场可分别表达为

式中，u_i^{(f, 1)}和σ_i^{(f, 1)}分别表示平面波入射下自由场i向位移和应力，u_i^{(s, 1)}和σ_i^{(s, 1)}分别表示散射场i向位移和应力.根据单层位势理论，D₁域内散射场由虚拟波源面S₁上分布的虚拟波源产生(图 1)，且S₁={Γ₁∪Ω₁}，该区域内相应的位移和应力可表达为

式中：x∈D₁，y∈S₁；φ_j^{(s, 1)}(·)为基岩半空间的波源密度，G_ij^{(s, 1)}(·)和T_ij^{(s, 1)}(·)分别为基岩半空间的位移和应力格林函数.

与基岩半空间类似，沉积河谷散射场可由虚拟波源面S₂上分布的虚拟波源产生，且S₂={Γ₂∪Ω₂}，则相应的散射位移和应力可表达为

式中，u_i^{(s, 2)}和σ_i^{(s, 2)}分别为沉积部分的位移和应力，φ_j^{(s, 2)}(·)为沉积河谷的波源密度，G_ij^{(s, 2)}(·)和T_ij^{(s, 2)}(·)分别为沉积河谷的位移和应力格林函数.由于沉积河谷D₂区域内无自由场部分，该区域的散射场即为总波场.

根据边界位移、应力连续及地表零应力条件，通过上述求得的各部分波场建立方程以求解波源密度.

为便于问题数值求解，首先对边界进行离散，并在每个单元上施加虚拟均布荷载.假定φ_j(·)在每个单元上均为常量，则存在线性方程组

式中，N₁和N₂分别为基岩半空间表面和沉积河谷边界面的离散单元数，且x_n∈B，x_n1∈L₁，x_n2∈L₂，y_l∈S₁，y_m∈S₂.当x≠y时，直接利用式(7)和(8)进行计算；当x=y时，则需利用格林函数展开式进行解析积分求解.综上，对于基岩半空间而言，散射场和自由场叠加得到总波场，对于沉积河谷而言，散射场即为总波场.

3.   数值算例

首先采用蒙特卡洛方法(Shinozuka, Deodatis, 1991)随机产生30组沉积河谷介质与基岩半空间介质的波速比c_S2/c_S1样本(以下简称波速比样本)和30组沉积河谷介质与基岩半空间介质的阻尼比ζ样本(以下简称阻尼比样本)，其中波速比样本服从均值为1/3、变异系数为0.3的正态分布，阻尼比样本服从均值为0.03、变异系数为0.33的正态分布.定义沉积河谷宽度2a与入射波波长λ之比为入射波的无量纲频率η=2a/λ，分别基于间接边界元法求解这30组波速比样本和30组阻尼比样本的半椭圆沉积河谷在平面P波和SV波入射下地表位移响应幅值的均值μ，标准差σ和变异系数σ/μ. 图 2和图 3分别给出了波速比随机而阻尼比保持不变(ζ=0.03)的情况下P波和SV波入射下地表位移响应幅值均值μ和正负一倍标准差的置信区间μ±σ，图 4给出了30组波速比样本的地面位移响应幅值的变异系数，图 5和图 6分别给出了阻尼比随机而波速比保持不变(c_S2/c_S1=1/3)的情况下P波和SV波入射下地表位移响应幅值均值μ和置信空间μ±σ，图 7给出了30组阻尼比样本的地面位移响应幅值的变异系数.同时为便于比较，图 2—7中也给出了波速比c_S2/c_S1=1/3和阻尼比ζ=0.03的计算结果, 所用计算参数为：半空间与沉积介质密度比为1:0.8；半空间介质阻尼比为0.02；无量纲频率η=0.5，1，2和5；入射角θ=0°，30°.横坐标x/a表示地表观察点距沉积地表中心的水平距离.

图  2  P波以不同角度入射下波速比随机性对沉积河谷地表竖向位移幅值|U_v|(a)和水平位移幅值|U_h|(b)的影响

Figure  2.  Effect of wave velocity ratio randomness on surface vertical displacement amplitude |U_v| (a) and horizontal displacement amplitude |U_h| (b) of sedimentary valley with different incidence angles under P-wave incidence

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图  3  SV波以不同角度入射下波速比随机性对沉积河谷地表竖向位移幅值|U_v|(a)和水平位移幅值|U_h|(b)的影响

Figure  3.  Effect of wave velocity randomness on surface vertical displacement amplitude |U_v| (a) and horizontal displacement amplitude |U_h| (b) of sedimentary valley with different incidence angles under SV-wave incidence

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图  4  30组波速比样本地表位移响应幅值的竖向变异系数σ_v/μ_v(a)和水平变异系数σ_h/μ_h(b)

Figure  4.  Vertical variation coefficient σ_v/μ_v (a) and horizontal variation coefficient σ_h/μ_h (b) of the surface displacement amplitude for 30 wave velocity ratio samples

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图  5  P波以不同角度入射下阻尼比随机性对沉积河谷地表竖向位移幅值|U_v|的影响(c_S2/c_S1=1/3)

Figure  5.  Effect of damping ratio randomness on surface vertical displacement amplitude |U_v| of sedimentary valley with different incidence angles under P-wave incidence (c_S2/c_S1=1/3)

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图  6  SV波以不同角度入射下阻尼比随机性对沉积河谷地表水平位移幅值|U_h|的影响(c_S2/c_S1=1/3)

Figure  6.  Effect of damping ratio randomness on surface horizontal displacement amplitude |U_h| of sedimentary valley with different incidence angles under SV-wave incidence (c_S2/c_S1=1/3)

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图  7  30组阻尼比样本地表竖向位移变异系数σ_v/μ_v (a)和水平位移变异系数σ_h/μ_h (b)

Figure  7.  Variation coefficient of surface vertical displacement amplitude σ_v/μ_v (a) and horizontal displacement amplitude σ_h/μ_h (b) for 30 groups of damping ratio samples

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3.1   不同波速比情况下沉积河谷模型对平面P波和SV波的散射

对30组波速比样本的计算结果进行统计，得到位移幅值均值μ和置信区间μ±σ，分析波速随机性对地表位移的影响程度.

在P波和SV波入射下，沉积河谷地表位移响应特征呈现出与入射频率、入射角度、沉积深度等多因素的相关性.从图 2和图 3可以看出，在沉积河谷内部地表位移幅值均值μ和置信区间μ±σ的宽度明显大于外围半空间，图 4中沉积段地表位移变异系数显著增大，与之相吻合，表明波速比随机性对沉积段的地表位移幅值影响十分显著，而对外围半空间响应则影响较小.其次，地表位移幅值置信区间宽度较大位置基本与幅值均值的峰值部位对应.另外，图 4中沉积河谷边界点x/a=±1处的变异系数明显增大形成波峰，这种现象随着频率的增大变得更加显著，这与高频下沉积河谷角部放大显著的规律是一致的，表明高频波入射下，波速随机性对沉积河谷边缘处地震响应的影响也十分突出，变异系数最大可达2.791(η=5.0, θ=0°, 水平方向).此外，从图 4还可以看出，在入射角不同的情况下，地表位移幅值变异系数的空间变化显著不同，整体而言在外围半空间的变化明显，尤其是η=5.0时SV波入射下竖向位移变异系数分布差异更为显著.在这种情况下，左侧(x/a < 0)地表位移幅值的变异系数在地震波斜入射时不仅明显高于垂直入射情况，而且从整体上也高于右侧(x/a>0)地表的变异系数，即入射波的位置对变异系数有一定的影响.

表 1给出了P波和SV波入射下30个波速比随机样本的地表位移响应幅值变异系数σ/μ的极值.可以看出，该变异系数极值均显著大于波速比变异系数，与图 2—4所示结论相同，表明波速比随机性对地震波散射的影响不可忽视.然而，θ=0°与θ=30°情况的对比结果显示变异系数极值变化与入射角度关系不大.

表  1  P波和SV波入射下竖向位移变异系数和水平向位移变异系数极值(波速比随机)

Table  1.  The variation coefficient extremum of vertical displacement and horizontal displacement with the P-wave incidence and the SV-wave incidence (wave velocity ratio randomness)

η	P波入射						S波入射
	σv/μv			σh/μh			σv/μv			σh/μh
	θ=0°	θ=30°		θ=0°	θ=30°		θ=0°	θ=30°		θ=0°	θ=30°
0.5	0.484	0.492		1.071	0.814		0.677	0.889		0.619	0.544
1.0	0.594	0.565		0.632	0.683		0.720	0.619		0.624	0.712
2.0	0.696	0.600		0.582	0.670		0.644	0.667		0.432	0.771
5.0	1.012	1.425		1.931	2.084		1.287	1.947		2.791	2.433

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3.2   不同阻尼比情况下沉积河谷模型对平面P波和SV波的散射

对30组阻尼比样本的计算结果进行统计，得到位移幅值均值μ和置信区间μ±σ(图 5，6)，分析阻尼比随机性对地表位移的影响程度，其中P波入射的水平位移幅值图和SV波入射的竖向位移幅值图由于相对次要且篇幅有限，故略去.

与波速比随机性影响不同，图 5和6显示了阻尼比随机性对沉积外部半空间地表位移幅值的离散性几乎没有影响，而对沉积内部地表响应影响稍大，这与图 7的结果相吻合.随着入射波频率的增加，置信区间μ±σ的宽度也随之增加，说明阻尼比在高频时对位移的影响大，这一点与波动规律是一致的.入射角度影响仍旧对变异系数空间变化的影响较大. 表 2给出了P波和SV波入射下30个阻尼比随机样本的地表位移幅值变异系数σ/μ的极值.变异系数体现了地表位移幅值的离散程度，随频率增大呈振荡起伏变化，最大可达1.489(η=5.0, θ=30°, SV波，水平方向)；从变异系数大小看，与波速比随机影响相比，阻尼比随机性对沉积河谷地震波散射影响显著减小.变异系数极值变化与入射角度的大小关系不大，在η=5.0的情况下，SV波以30°入射时的水平位移变异系数除外，变异系数的异常放大主要是由于在高频情况下，边界点离散程度大，且均值过小趋近于0所致，这也证明了与图 5—7所示的结论相同.

表  2  P波和SV波入射下竖向位移变异系数和水平向位移变异系数极值(阻尼比随机)

Table  2.  The variation coefficient extremum of vertical displacement and horizontal displacement with the P-wave and the SV-wave incidences (damping ratio randomness)

η	P波入射						SV波入射
	σv/μv			σh/μh			σv/μv			σh/μh
	θ=0°	θ=30°		θ=0°	θ=30°		θ=0°	θ=30°		θ=0°	θ=30°
0.5	0.030	0.035		0.084	0.233		0.054	0.348		0.057	0.320
1.0	0.325	0.184		0.246	0.316		0.298	0.500		0.138	0.326
2.0	0.175	0.393		0.403	0.475		0.282	0.342		0.417	0.554
5.0	0.271	0.328		0.604	0.789		0.639	0.741		0.428	1.489

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3.3   波速比随机情况下的二维沉积河谷地表位移幅值谱

鉴于沉积河谷对地震波散射作用的复杂性，为了全面地反映散射的频谱特性，本文分析波速比随机性对河谷内部典型点位的位移幅值谱离散程度的影响.考虑地震波入射角θ为0°和30°时，在沉积河谷地表选择x/a=0，-0.5和-0.8这3个观察点；入射地震波无量纲频率η取值范围为0—2，间隔步长为0.02，其它地质条件及几何参数同上.

图 8给出了P波和SV波入射下沉积河谷地表上x/a=0，-0.5，-0.8这3个典型点位的位移谱，P波垂直入射的水平位移幅值谱图和SV波垂直入射的竖向位移幅值谱图由于幅值较小，对工程抗震设计影响不大，故略去.由图 8可见，P波和SV波入射时，由于浅椭圆形河谷中心位置的聚焦放大作用，地表中心位置(x/a=0)的位移谱值通常大于其它典型点位；河谷地表位移放大效应显著，且由于河谷内部直达波、反射波和边缘衍射波复杂的相干效应，不同点位的地震动幅值和频谱特性的差别较大.总体上看，在低频波段，越靠近中心位置，波速比随机性对地震波散射的影响越大，具体而言，典型点位x/a=0的标准差最大可达7.168(η=0.32, θ=30°, SV波入射水平方向)，典型点位x/a=-0.5的标准差最大可达3.865(η=0.32, θ=30°, SV波入射水平方向)，典型点位x/a=-0.8的标准差最大可达到4.333(η=0.68, θ=0°, P波入射竖向)，且基本都是在沉积河谷体系共振频率处达到最大，由此可见，波速比的随机性对地表位移幅值的影响不容忽视，这与前文所得结果一致.

图  8  波速比随机情况下P波(a)和SV波(b)入射时二维沉积河谷地表位移幅值谱

Figure  8.  Surface displacement amplitude spectra in two-dimensional sedimentary valley with wave velocity ratio randomness under P-wave (a) and SV-wave (b) incidences

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3.4   阻尼比随机情况下的二维沉积河谷地表位移幅值谱

同样地，分析随机沉积介质阻尼比对河谷内部典型点位的位移幅值谱离散程度的影响时，沉积河谷内部介质阻尼也按正态分布取30组样本进行统计计算，波速比c_S2/c_S1=1/3，其它参数与3.3节相同，计算结果如图 9所示.

图  9  阻尼比随机情况下P波(a)和SV波(b)入射时二维沉积河谷的地表位移幅值谱

Figure  9.  Surface displacement amplitude spectra in two-dimensional sedimentary valley with random damping ratio under P-wave (a) and SV-wave (b) incidences

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沉积河谷内部受不同阻尼作用时，不同点位频谱特性差别很大，主要是由散射波复杂的相干效应造成的.从图 9可以看出，在较低频时，位移频谱的离散性差别不大，而当入射频率较高时，位移幅值的离散性差异有所增大，这与前文所得结果一致.整体而言，位移离散性大的点一般均发生在共振点处(即幅值为峰值之处)，这也符合波动规律.

4.   讨论与结论

本文以半椭圆形二维沉积河谷为例，采用间接边界元法对其地震反应进行计算分析，通过对地表位移幅值的统计分析，研究沉积介质波速比、阻尼比随机性对场地响应的影响.对研究结果分析如下：

1) 波速比随机性对沉积段地表位移的影响显著.低频时，沉积中部地震响应变异性更显著, 高频情况下则在沉积河谷边缘地震动变异性最大.变异系数的极值均显著大于波速比变异系数；角度对变异系数极值的影响不大，但对变异系数的空间变化影响较大.

2) 阻尼比随机性对沉积内部地表位移“峰值点”处的影响最为显著，变异系数随频率增大呈振荡起伏变化；阻尼比随机性对位移的影响在高频段较大，且在“共振频率”处的影响尤为显著.由变异系数图可看出，阻尼比随机性对地震动变异系数空间变化的影响需要进一步研究.

3) 波速比随机情况下，最大标准差基本发生在沉积河谷的体系自振频率处，说明波速比随机性对位移频谱的影响不容忽视.另外，河谷内部不同位置的变异性有较大差异，低频情况下，沉积中部的地震响应变异性更显著，高频情况下则在沉积河谷边缘变异性最大.

鉴于沉积河谷介质波速比随机性对河谷地震放大效应的显著影响，在实际场地地震安全性评价及地震小区划等工作中应综合先进的技术手段获取足够准确的波速模型.另外，强震情况下土体非线性对沉积河谷随机地震规律响应的影响还有待进一步深入研究.