引言

众所周知，地震中地面运动会由于局部场地效应而发生重大改变(Sánchez-Sesma, 1987; Semblat, 2011).地球表面地质条件如土层和地形的变化对地震波有强烈影响，会导致地面运动的放大.地面运动的场地放大和空间变化对地震减灾和重要建筑的地震设计特别重要.

地震动场地放大一直是地震学家和岩土工程师研究的焦点.在场地效应研究的早期阶段，他们的主要兴趣有明显的不同.地震学家关注二维或三维复杂地质结构的弹性反应以及相应的地震波散射和衍射现象，而岩土工程师主要对强震中土的非线性效果(Seed，Idriss, 1969)以及土层对竖向传播剪切波的一维放大感兴趣.

近年来，场地效应研究在上述两个领域内均取得了很大的进展，并且有同时考虑地震学因素和岩土因素的趋势.一方面，很多岩土研究(Bielak et al, 1999; Baise et al, 2003)显示出一维分析在描绘场地放大形态上的局限性；另一方面，最近的一些地震学研究也强调了土的非线性效果(Gelagoti et al, 2010, 2012).事实上，二维沉积谷效应和三维沉积盆地效应在岩土地震工程和地震学领域取得了越来越多的研究进展(Semblat et al, 2005; 杨彩红等，2006；Psarropoulos et al, 2007；Chaillat et al, 2009；Lanzo，Pagliaroli, 2009；巴振宁，梁建文，2014; 刘中宪，黄磊，2015；Zhang et al，2015).

不规则地质结构的场地放大包含材料特性方面的贡献(土层效应)和几何形状方面的贡献(地形效应).然而，上述大部分场地效应研究关注的是沉积谷或沉积盆地的整体地震反应，而未能将二维土层效应与地形效应分开.地震学研究表明凹陷河谷地形能够降低地面运动(Gao et al, 2012; Zhang et al, 2012a, b)，而岩土地震工程学的研究表明阻抗比的存在会导致土层地面运动放大.因此土层和地形条件在改变地面运动方面的相对重要性值得进一步深入研究.

揭示土层和地形的相对角色在场地反应研究中具有重要意义(Zhang et al，2017)，目前学术界关于此问题的研究逐渐得以开展.例如：受雅典1999年地震中的观测证据启发，Gazetas等(2002), Assimaki和Gazetas (2004)，Assimaki等(2005a, b)及Assimaki和Kausel (2007)利用有限元和谱单元方法研究了二维土层效应和地形效应对于不均匀震害分布的相对贡献；Gatmiri和Arson (2008)及Gatmiri等(2008)提出了通过有限元和边界元杂交的方法来区分地震场地放大的二维土层效应与地形效应.

本文旨在系统地探究二维土层效应与地形效应之间的关系，进一步加深对场地效应的理解，提出部分充填圆弧形沉积谷受平面SH波作用的解析模型，在波函数展开法的基础上采用超定方程组策略，推导这一散射问题的解析级数解，并进行验证.利用本文提出的级数解，计算部分充填圆弧形沉积谷引起的场地放大效应以及相应空河谷引起的地形放大效应，分析二维土层及地形各自引起的地面运动放大形态和最大放大值.本文将部分充填沉积谷和相应空河谷对地震波的散射问题结合起来对待，旨在增加关于场地效应的一些新认知.

1.   模型与激励

本文所用的二维模型如图 1所示.此图表示半空间中的一个圆弧形(即浅圆形)沉积谷.沉积谷半宽为b，是半径为a的圆柱体的一部分；谷内只是部分充填了均匀的土沉积物，其上表面到水平地表的竖向距离为d，最大深度为d₁.谷内土沉积物(子区域1)与半空间中基岩(子区域2)之间的交界面假设为完美焊接.模型中介质的所有材料特性均假设为弹性、均质和各项同性.介质的剪切模量μ_j，剪切波速c_j和密度ρ_j均为常数.下标j=1, 2分别表示子区域1和子区域2.如果子区域1和2具有相同的材料特性，则模型为去底浅圆弧形河谷.

图  1  部分充填圆弧形沉积谷的二维模型

Figure  1.  2D model of the partially filled circular-arc alluvial valley

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模型的激励是一列单位幅值平面SH波，入射角为α，圆频率为ω，位移在z轴方向.定义3个笛卡尔坐标系和3个极坐标系(图 1)：笛卡尔坐标系(x, y)和极坐标系(r, θ)的原点设置在沉积谷曲率的中心，距离h表示沉积谷曲率中心相对于水平地面的高度，沉积谷中心角和土沉积物的中心角分别为β和φ；坐标系(x₁, y₁)和(r₁, θ₁)的原点均设置在土沉积物的上表面中点；坐标系(x₂, y₂)和(r₂, θ₂)的原点设置在水平地表和土沉积物中心的正上方.定义向右方向为水平x轴，x₁轴和x₂轴的正方向；从竖向y轴逆时针转向x轴方向为θ角的正方向，角度θ₁和θ₂亦均以逆时针转向为正.

2.   定解问题

子区域1和2的位移u_j必须满足极坐标形式的二维波动方程(Tsaur，Chang, 2009)

利用

将波动方程转化为亥姆霍兹方程(Helmholtz equation)，得到

由于是稳态问题，时间因子exp(－iωt)可以省略.

除了式(3)所示的运动方程外，位移u_j还应该满足土沉积物的上表面、沉积谷的弯曲表面以及水平地表的应力自由边界条件，具体表示为

式中b₁为土沉积物的上表面半宽.

土沉积物与基岩完美连接的假设要求两个子区域的位移场和应力场均连续，即

3.   问题求解

3.1   波场的波函数级数展开与坐标统一

在子区域2中，波场包含两个部分.一个部分是已知的半空间自由场，可表示为

式中k₂=ω/c₂为子区域2的剪切波数.

文后将用到极坐标系(r, θ)中的自由场u^f，因此需要进行坐标转换.首先有

式中c_2x和c_2y分别为基岩波速c₂在x和y方向的分量; 之后利用x₂=x，y₂=y－h，可以获得u^f(x, y)，即

最后，将c_2x=c₂/sinα, c_2y=c₂/cosα, x=rsinθ, y=rcosθ以及ω=k₂c₂代入式(11)，便得到极坐标系(r, θ)中的自由场，即

使用级数展开公式(Abramowitz，Stegun, 1964)

式中, J_n(·)为n阶第一类贝塞尔函数，ε_n为纽曼因子(ε₀=1; ε_n=2, n≥1)，将式(12)展开为

式中p_n和q_n的表达式为

子区域2中波场的另一部分是由于沉积谷的出现而产生的散射波，可表示为(Yuan，Liao, 1995)

式中, A_n和B_n为未知的复系数，H_n⁽¹⁾(·)为n阶第一类汉克尔函数.

要在同一坐标系(r, θ)中解决问题，需要基于Graf加法公式(Abramowitz，Stegun, 1964)推导适合本文模型的外域型变换公式，即

根据式(18), 散射波场u^s在极坐标系(r, θ)中可表示为

式中，

上述子区域2中的所有波场均满足水平地表的应力自由边界条件, 即式(9)，(17)与式(6)兼容.

构造子区域1中的驻波场u^c(r₁, θ₁)，以满足式(3)和(4)所给出的亥姆霍兹方程和土沉积物上表面的应力自由边界条件.驻波场u^c(r₁, θ₁)可表示为

式中, k₁=ω/c₁为子区域1的波数，C_n和D_n为未知复系数.

为了在同一个坐标系中解决问题，从而获得4组未知系数A_n, B_n, C_n和D_n，本文推导了Graf加法公式的另一种形式，即

根据式(23), 波场u^c在极坐标系(r, θ)中可表示为

式中

因此, 同一坐标系下两个子区域中的波场可表示为

3.2   求解未知系数的超定方程组法

精确严格地满足控制方程(式(3))和土沉积物上表面应力自由条件(式(4))的子区域1的驻波场以及精确严格地满足控制方程(式(3))和水平地表应力自由边界条件(式(6))的子区域2中的自由场和散射场均已构造完毕.然而，散射场(式(17))和驻波场(式(22))均含有未知系数，因此需要利用两个子区域之间的位移和应力场的连续条件(式(7), (8))以及沉积谷弯曲表面的应力自由条件(式(5))来获得未知系数，最终给出本文所研究的定解问题的解.

首先，对应力连续条件(式(8))和应力自由条件(式(5))应用正弦和余弦函数的正交性，对其在[－β, β]范围内积分，得出未知系数A_n, B_n, C_n和D_n之间的关系为

式中λ_{m, w}^β, λ_{m, w}^φ, λ_{n, w}^β, υ_{m, w}^β, υ_{m, w}^φ和υ_{n, w}^β的表达式为

式中，ψ=β或φ，g=m或n.

然后，对位移连续条件(式(7))应用正弦和余弦函数的正交性，对其在[－φ, φ]范围内积分，可以获得关于未知系数的另一组关系表达式，即

式中λ_{n, w}^φ和υ_{n, w}^φ的表达式可由式(31)和式(32)求出.实际上，上面的4组关系式即式(29)，(30)，(33)和(34)的推导所用到的技巧与Tsaur和Chang(2008, 2009), Zhang等(2012a)及Gao等(2012)在文章中所使用的技巧相同，均基于加权残量法原理.本研究在方法上的改进可以在下一步推导中看到.

将式(29)，(30)，(33)和(34)中的无限级数截成有限项来进行数值计算(方法是：加和指数n, w和m分别截断成N, W和M项，即n=0-N-1, w=0-W-1，m=0-M-1).尽管根据加权残量法的原理(Harrington, 1967; Lee，Wu, 1994)，只要保证截断后的方程数不小于未知量数即可(W≥N)，但是上述文献均限定W=N.由于截断矩阵病态，导致带有这种限制的方法对于本文的模型是无效的，得到的解不稳定(图 2).为了减轻病态矩阵带来的影响，需要充分利用加权残量法的优势，令W>N.这样，方程组就变成超定的，可以容易地求出稳定且收敛的最小二乘解.利用超定方程组法，求解由式(29)，(33)组成的方程组可以获得未知复系数A_n和C_n，求解由式(30)，(34)组成的方程组可以获得复系数B_n和D_n，最终得到每个子区域级数形式的波场.需要注意的是，N值和W值需要根据对应于不同的沉积谷形状和材料特性以及入射波的频率和方向的收敛测试进行确定，M值满足式(18)，(23)中的Graf加法公式即可.一些收敛测试的例子将在后文给出.

图  2  不同W/N值下沉积谷附近地表 5个不同位置处的位移幅值|u|

Figure  2.  Surface displacement amplitudes |u| at five points in and around an alluvial valley for different values of W/N

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半空间中任意位置的位移u_j (式(27)或式(28))均可以利用前文推导的公式进行计算，其为包含运动的相位和幅值信息的复函数.位移u_j的模量称为位移幅值(Trifunac, 1971)，可表示为

式中Re(·)和Im(·)分别为u_j的实部和虚部，下标j=1, 2分别表示子区域1，2.本文中的位移幅值|u|均利用入射波的单位幅值进行了无量纲化.

为了方便，还需定义一个无量纲频率(Trifunac, 1971; Chaillat et al, 2009)

式中λ为SH波的入射波长.

3.3   收敛测试

为了说明超定方程组法的必要性, 图 2给出了水平入射(α =90°)地震波作用下、参数为h/b=0.5, d/b =0.3, ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2的沉积谷上5个不同位置的位移幅值随着W/N的变化情况，所选沉积谷的轮廓也在图中给出.为了能够控制级数解的整体收敛情况，一方面本文选取具有代表性的位置点1—5，其分别位于水平地面(点1对应x/b=-2，点5对应x/b=2)、河谷侧壁(点2对应x/b=-(b + b₁)/2b, 点4对应x/b=(b + b₁)/2b)和沉积谷表面(点3对应x/b=0)上；另一方面本文选择水平入射的SH波(计算表明水平入射比竖向入射和斜入射更难收敛)，给出了在两种不同频率情况下的结果.由图 2可见，对于固定的N值，当W/N=1时得到的解明显未收敛，只有当W/N ≥3时解才开始收敛，并且W/N的值越大级数解越接近于真解.这说明利用类似于Tsaur和Chang(2008, 2009), Zhang等(2012a)及Gao等(2012)文章中的方法是行不通的，必须用超定方程组法才能得到本文模型的收敛解.为了给出尽可能高精度的结果，一般取W/N=20.

图 2中，选定的级数解的截断值N=20和N=25均成功地给出了收敛的结果，实际上，N值需要根据收敛测试确定. 图 3给出了对应于图 2中情形的关于N值的级数解收敛情况. 图 3选取W/N = 20的超定方程组法给出了两个无量纲频率的结果，对于较低频率η=1，N≥10便几乎可以保证结果的收敛，而对于较高频率η=3，N≥25才可以保证结果的收敛, 这说明图 2中选择的截断值是合理的.该收敛测试还表明，频率越大则散射场u^s (式(17))和驻波场u^c (式(22))就需要截取越多的级数项.一般而言，N≤33, M≤700则足够获得本文所考虑的各种情况(0 < η≤4)的收敛结果.

图  3  不同N值下沉积谷附近地表 5个不同位置处的位移幅值|u|

Figure  3.  Surface displacement amplitudes |u| at five points in and around an alluvial valley for different values of N

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本文提出的方法不需要介质或边界的离散化，也不涉及格林函数；而且，无穷远处的辐射条件、土沉积物的上表面和半空间中基岩上表面的应力自由边界条件均可以精确满足.土沉积物与基岩的交界面的连续条件，以及沉积谷弯曲表面的应力自由条件均可利用超定方程组法实现.除了作类似图 2和图 3给出的收敛测试，还可以通过检查交界面上任意点的位移和应力的连续性以及沉积谷弯曲表面的应力自由条件来保证级数解的收敛.这样，本文提出的超定方程组方法便可以得到SH波散射问题的高精度解.

4.   模型与解的验证

本文模型可以看作是半圆形(Trifunac, 1971, 1972)、浅圆弧形(Cao，Lee, 1989; Todorovska，Lee, 1991; Yuan，Liao, 1994, 1995)、部分充填半圆形(Tsaur，Chang, 2008, 2009)的沉积谷和空河谷模型的通解，即上述模型均属于部分充填圆弧形沉积谷的特例.实际上，如果令h=0, 则本文模型退化为部分充填半圆形沉积谷(μ₁≠μ₂, c₁≠c₂)和去底半圆形河谷(μ₁=μ₂, c₁=c₂)；如果令d=0, 则本文模型退化为浅圆弧形沉积谷(μ₁≠μ₂, c₁≠c₂)和浅圆弧形河谷(μ₁=0, c₁=0)；如果令h=d=0, 则本文模型退化为半圆形沉积谷(μ₁≠μ₂, c₁≠c₂)和半圆形河谷(μ₁=0, c₁=0).本节选择半圆形沉积谷(Trifunac, 1971)和部分充填半圆形沉积谷(Tsaur，Chang, 2008)，用以验证本文级数解的数值精度.

4.1   与半圆形沉积谷和自由场的比较

本文模型可以通过退化至半圆形沉积谷(Trifunac, 1971)和自由场这两种情况的精确解而得到理论上的验证.若h和d均等于0，则有

将式(37)-(41)代入式(29), (30), (33)和(34)可以得到

式(42)—(45)重现了Trifunac (1971)的结果(对应其论文中式(14)和(15))，只是使用了不同的表示符号.而且，若子区域1和子区域2中的介质相同(即μ₁=μ₂，k₁=k₂)，则式(42)—(45)简化为

根据式(46)—(49)可以得到A_n=B_n=0, C_n=p_2n, D_n=q_2n+1，则半空间只存在自由场，即u₁(r, θ)=u₂(r, θ)=u^f(r, θ).

4.2   与部分充填半圆形沉积谷的比较

如果只有h=0，则部分充填浅圆弧形沉积谷退化为部分充填半圆形沉积谷. Tsaur和Chang(2008)已经推导了部分充填半圆形沉积谷对SH波的散射的波函数级数解，因此可以通过与其对应的某些特定几何与材料的计算结果进行比较来验证本文方法的数值精度.

为简便起见，图 4仅给出了对应于h/b=0, d/b=0.5, ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2，η=1的结果. 图 4a—d分别对应于地震波竖向入射(α=0°)、斜入射(α=30°, 60°)和水平入射(α=90°)等情况.场地表面的位移幅值或放大形态沿着水平x轴画出.所画图形的无量纲距离x/b在-4—4之间.不规则场地范围为-1≤x/b≤1. 图 4所示结果表明本文方法的结果(实线)与Tsaur和Chang (2008)在其图 4中对应于h/a=0.5 (即本文中d/b=0.5)时的结果(虚线)非常吻合.对于其它情况本文方法所得结果与文献中的结果也是高度吻合的.

图  4  入射角α=0° (a), 30° (b), 60° (c)和90° (d)时本文方法计算的位移幅值|u|结果(实线)与Tsaur和Chang (2008)结果(虚线)的比较(h/b=0, d/b=0.5, ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, η=1)

Figure  4.  The comparison of surface displacement amplitudes |u| between our predictions (solid line) and those of Tsaur and Chang (2008) (dashed line) for incident angles α=0° (a), 30° (b), 60° (c) and 90° (d) (h/b=0, d/b=0.5, ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2 at η=1)

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5.   结果及分析

5.1   二维土层与地形效应的放大形态对比

一般而言，场地放大效应可以通过比较包含不规则体的半空间中的位移幅值与没有不规则体的半空间中的位移(自由场)来理解.因为对于单位幅值的平面波入射，地面不同观察点处的自由场位移幅值|u^f|为常数2(地面以下观察点处的|u^f|不是常数)，所以本文方法计算得到的地表位移幅值|u|可以看作放大因子的两倍.当某一点的位移幅值|u|大于2，则该点的地面运动是放大的; 反之，当位移幅值小于2，则该点的地面运动出现衰减.

袁晓铭等(2002)通过对比圆弧状沉积盆地与软土水平覆盖层的出平面地表运动，系统地研究了一维土层效应与二维沉积谷效应，然而，直接理解二维土层效应是有难度的，例如Gatmiri和Arson (2008)认为“一维沉积土层引起的放大现象是已知的，但在二维地形中分析岩土对场地效应的贡献更为复杂”.本文推导的波函数级数解可以用来分别计算部分充填浅圆弧形沉积谷和同样形状的去底浅圆弧形河谷的放大形态.模型中沉积谷的场地放大效应包含土沉积物的贡献和河谷地形的贡献，因此，本文可以通过将河谷的地形效应从沉积谷的场地效应中进行分离来获得二维土层效应.对于河谷，材料参数比ρ₂/ρ₁和c₂/c₁均设置为1.仿照Trifunac (1971)，Todorovska和Lee (1991)，Yuan和Liao (1995)及Tsaur和Chang (2008)的做法，将沉积谷密度比ρ₂/ρ₁固定为1.5，剪切波速比c₂/c₁设为2或3.

对应h/b=0.5，d/b=0.4和4个入射角度α=0°, 30°, 60°和90°的沉积谷和去底河谷的放大形态在图 5中给出.这些结果对应于无量纲频率η=1，该频率意味着入射波的波长(λ)等于不规则场地的宽度(2b).无量纲参数h/b和d/b代表场地(沉积谷或空河谷)的形状.根据最大位移幅值判断，在各种入射角度的地震波作用下，在不规则场地范围内，沉积谷引起的场地放大效应大于空河谷引起的地形放大效应；而在不规则场地范围外，水平地面上对应于两种情况的放大形态区别不大.因此，可认为二维土层的放大效应在沉积谷内占据绝对优势，地形放大效应在沉积谷外占据绝对优势.特别地，二维土层放大效应可以改变凹陷地形的放大形态.例如，图 5c中，在x/b=0处的运动受地形效应影响时衰减(实线)，而受二维土层和地形的总效应影响时却是放大的(虚线).

图  5  空河谷(ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1, 实线)和沉积谷(ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, 虚线)在入射角度α=0° (a), 30° (b), 60° (c), 90° (d)的条件下地表位移幅值|u|的比较(h/b=0.5, d/b=0.4, η=1)

Figure  5.  The comparison of surface displacement amplitudes |u| between an empty canyon (ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1, solid line) and an alluvial valley (ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, dotted line) when incident angles α=0° (a), 30° (b), 60° (c) and 90° (d) (h/b=0.5, d/b=0.4, η=1)

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一些关于地形效应的参数研究认为河谷侧壁的倾斜度对放大形态影响很大(Gao et al，2012；Zhang et al，2012a).为了揭示不规则场地的形状对土效应和地形效应的影响，图 6给出了当h/b=0.3, d/b=0.4时沉积谷和去底河谷在η=1和4种入射角度下的放大形态.可以看出，图 6中的沉积谷放大效应要大于图 5，而图 6中的地形放大效应与图 5相差不大. 图 6与图 5所使用的参数中唯一不同的是h/b.随着形状参数h/b的降低，沉积谷或河谷的侧壁变得更陡，土沉积物的体积变大.考虑到由于形状参数h/b略微减小时地形放大效应增加很少，推断不同入射角度下的场地放大效应的增加主要是由于土沉积物体积的变化所致.另外，图 6中也可以明显看出，土的放大效应在场地范围内占据优势，而地形效应在场地范围外起主要作用.

图  6  空河谷(ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1, 实线)和沉积谷(ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, 虚线)在入射角度α=0° (a), 30° (b), 60° (c), 90° (d)条件下地表位移幅值|u|的比较(h/b=0.3, d/b=0.4, η=1)

Figure  6.  The comparison of surface displacement amplitudes |u| between an empty canyon (ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1, solid line) and an alluvial valley (ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, dotted line) when incident angles α=0° (a), 30° (b), 60° (c) and 90° (d) (h/b=0.3, d/b=0.4, η=1)

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除了几何形状，影响场地效应的重要因素还有土沉积物的材料参数以及入射波的频率和角度.因此，图 7给出了更高频率η=2的入射波的结果.对比图 6可以看出，频率η的增加导致地表位移幅值随位置x/b的变化而波动得更频繁、更剧烈. 图 7实线表示去底河谷(ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1)的位移幅值，虚线和点线分别对应充填硬土(ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2)和充填软土(ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=3)的沉积谷.通过比较硬土沉积谷与软土沉积谷的放大形态，认为二维土层效应(沉积谷场地效应减去河谷地形效应)也会受到土沉积物与半空间中的基岩的材料参数比(c₂/c₁)的影响.当地震波竖向入射(α=0°)时，充填硬土的沉积谷引起的地面运动大于充填软土的沉积谷; 当地震波斜入射(α=30°, 60°)和水平入射(α=90°)时，充填软土的沉积谷引起的地面运动放大更显著.另外，图 7中的结果再一次证实了图 5和图 6中基于η=1的结论，即二维土层放大效应会增加凹陷场地内部的位移幅值, 而地形放大效应决定了不规则场地外的反应形态, 而且这个现象随着频率的增长变得更明显.

图  7  参数为h/b=0.3, d/b=0.4, η=2时空河谷(ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1, 实线)和沉积谷(ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, 充填硬土，虚线；ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=3, 充填软土，点线)在入射角度α = 0° (a), 30° (b), 60° (c), 90° (d)条件下地表位移幅值|u|的比较

Figure  7.  The comparison of surface displacement amplitudes |u| for h/b=0.3, d/b=0.4 at η=2 and different incident angles α=0° (a), 30° (b), 60° (c) and 90° (d) between an empty canyon (ρ₂/ρ₁=1, c₂/c₁=1, solid line) and two alluvial valleys (ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2, dashed line; ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=3, dotted line)

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至于入射角度对场地放大形态的影响，观察图 5—7中的结果可以看出，对于竖向入射情况，由于河谷和沉积谷几何形状的对称性，地表位移幅值也是对称的.河谷地形效应引起的地表相对最大位移幅值发生在河谷两肩(η=2)或河谷底部(η=1)，沉积谷场地效应引起的地表相对最大位移幅值总是发生在土沉积物的范围内.随着观察点逐渐远离河谷或沉积谷，水平地表的位移交替放大或衰减，这是因为在不同位置发生了波的相长干涉或相消干涉.对于水平入射情况，右手侧水平地表上的位移通常衰减，这是由于河谷或沉积谷的阴影效果.河谷地形效应引起的地表相对最大位移幅值发生在河谷左肩，但由于强烈的二维土层放大效应，沉积谷场地效应引起的地表相对最大位移幅值仍然发生在土沉积物的范围内.对于斜入射情况，表面运动的形态介于竖向与水平向情况之间.

为了更全面地了解入射波的频率对场地效应的影响，本文选择一个固定形状的不规则场地，给出了与其对应的作为无量纲距离x/b和无量纲频率η的函数的表面位移幅值结果，如图 8所示.可以看出，随着频率的增加，两种场地位移幅值均随着位置x/b的变化而更频繁地波动.另外，从图 8中可以明显地看出，在不规则场地范围内，各种频率下的激励所引起的二维土层效应(即图 8b中的场地效应减去图 8a中的地形效应)远远大于地形效应.值得注意的是, 本文选择了地形效应比较明显的场地，因为河谷的深度(深宽比d/b为0.4)要大于沉积谷内充填的土沉积物的厚度(厚宽比d₁/b约为0.218).可见由二维土层和地形引起的放大差异是不容忽视的，因其会引起沉积谷内外较大的地面运动差异，尤其是横跨在沉积有软弱材料的河谷上的大型建筑如水坝、桥梁等，在抗震设计时需要特别注意此放大差异.

图  8  入射角度α=0°, 45°, 90°条件下截断空河谷(a)和沉积谷(b)的地表位移幅值|u|随着无量纲距离x/b和无量纲频率η的变化情况

Figure  8.  3D plot of surface displacement amplitudes |u| versus x/b and η for a truncated canyon (a) and an alluvial valley (b) at different incident angles α=0°, 45° and 90°

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5.2   二维土层与地形效应的最大地表位移幅值对比

上一节通过地表运动形态揭示了土效应和地形效应的相对角色. 图 5—8说明二维土层效应和地形效应受不规则场地的几何形状和材料特点、入射波的频率和方向所影响.众所周知，最大地表运动在地震工程中具有重要意义(Semblat et al, 2010), 本节将根据最大地表位移幅值针对这些影响因素作系统的参数分析，以期进一步明确这些参数是如何影响二维土层效应和地形效应的.

首先，选择一个特定形状，计算出在沉积谷及其特例河谷附近水平地面上3个入射角度α=0°, 45°, 90°和两种波速比下作为频率的函数的最大位移幅值，结果如图 9所示.该图形状很有代表性，因为土的充填比d₁/(d₁ + d)大约为0.5.可以看出在频率小于0.4的区间内，场地效应与地形效应引起的最大地表位移幅值相差不大.在0.4—4.0的频率区间内，从最大幅值来看，场地效应远远超过地形效应.虽然相对于较硬的沉积谷，较软的沉积谷的最大位移幅值随频率变化有更大的波动，但是二维土层效应一般会随着材料波速比的增大而变大，即沉积土越软，最大放大值往往越大.值得说明的是，地形效应的最大位移幅值随着频率增加而渐渐增加，但始终低于5.0，而场地效应的最大位移幅值却可以高达30，再次证明了二维土层放大效应的主导地位.

图  9  入射角度α=0° (a), 45° (b), 90° (c)时两个沉积谷和一个相同形状的截断空河谷的最大地表位移幅值|u|_max随无量纲频率η的变化情况

Figure  9.  Maximum surface displacement amplitudes |u|_max versus η for two alluvial valleys and a truncated canyon with the same geometry at incident angles α=0° (a), 45° (b) and 90° (c)

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其次，为了更全面地揭示形状参数对地形效应和二维土层效应的作用，本文选取了9种形状的河谷或沉积谷计算出这些不规则场地附近的最大地表位移幅值. 图 10为9种河谷或沉积谷的形状示意图. 表 1，2给出了对应两个无量纲频率η=1, 4下的两种沉积谷(c₂/c₁=2.0, 3.0)及其特例河谷(c₂/c₁=1.0)附近的最大地表位移幅值，入射方向α=0°，45°，90°.从表 1，2中的结果可以得出以下结论：

图  10  典型的较深(a)、中等深度(b)和较浅(c)沉积谷的形状示意图

Figure  10.  The sketches of the shapes of typical deep (a), medium deep (b) and shallow (c) alluvial valleys

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表  1  截断空河谷和沉积谷在η=1时的最大地表位移幅值|u|_max

Table  1.  Maximum surface displacement amplitudes for truncated canyons and alluvial valleys at η=1

h/b	d/b	ρ2/ρ1=1.0, c2/c1=1.0				ρ2/ρ1=1.5, c2/c1=2.0				ρ2/ρ1=1.5, c2/c1=3.0
		α=0°	α=45°	α=90°		α=0°	α=45°	α=90°		α=0°	α=45°	α=90°
0.1	0.1	2.21	2.43	2.46		8.73	5.78	10.44		6.76	5.92	23.94
0.1	0.3	2.74	3.20	3.69		6.46	4.82	19.79		6.59	8.01	16.93
0.1	0.5	2.87	3.44	4.11		6.40	6.85	13.30		5.77	5.24	7.91
0.1	0.7	2.54	3.48	3.81		5.15	3.98	5.59		11.98	10.91	17.48
0.5	0.1	2.20	2.42	2.42		5.16	3.83	12.65		11.54	7.23	13.32
0.5	0.3	2.66	3.06	3.16		8.81	6.15	11.87		23.17	15.91	22.35
0.5	0.5	2.75	3.11	3.36		3.45	3.05	3.28		5.41	3.07	5.17
1.0	0.1	2.18	2.37	2.38		7.01	6.92	10.26		8.81	6.57	8.55
1.0	0.3	2.50	2.82	2.90		3.19	2.76	3.16		4.89	3.29	4.82

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表  2  截断空河谷和沉积谷在η=4时的最大地表位移幅值|u|_max

Table  2.  Maximum surface displacement amplitudes for truncated canyons and alluvial valleys at η=4

h/b	d/b	ρ2/ρ1=1.0, c2/c1=1.0				ρ2/ρ1=1.5, c2/c1=2.0				ρ2/ρ1=1.5, c2/c1=3.0
		α=0°	α=45°	α=90°		α=0°	α=45°	α=90°		α=0°	α=45°	α=90°
0.1	0.1	2.64	3.53	4.38		6.15	8.18	19.98		18.32	15.08	17.15
0.1	0.3	2.50	3.98	4.44		12.01	15.27	12.44		13.42	9.89	14.41
0.1	0.5	2.85	3.63	4.31		5.87	8.62	12.24		18.89	13.18	18.33
0.1	0.7	3.01	3.76	4.13		6.63	13.00	16.38		21.39	21.42	25.86
0.5	0.1	2.56	3.16	3.78		6.54	8.95	9.27		6.70	10.26	18.43
0.5	0.3	2.92	3.22	4.38		10.93	10.13	12.01		25.09	21.39	23.19
0.5	0.5	3.09	3.16	4.23		10.54	10.41	9.68		22.36	10.86	30.48
1.0	0.1	2.65	2.97	2.98		7.31	6.38	7.76		10.23	11.88	13.89
1.0	0.3	2.82	2.88	3.42		8.32	10.97	9.31		9.33	14.72	11.16

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1) 地形效应(ρ₂/ρ₁=1.0, c₂/c₁=1.0)引起的最大地表位移幅值明显小于场地效应(ρ₂/ρ₁=1.5, c₂/c₁=2.0, 3.0)，并且场地效应引起的最大地表位移幅值一般会随着波速比c₂/c₁的增大而增大，此情况约占80%，这与基于图 9中特定形状的沉积谷所得到的规律是一致的.鉴于本文选取的几何形状的广泛性和代表性(图 10)，可以预测这些规律对于其它类似形状的场地情况也是适用的.

2) 地形效应和场地效应引起的最大地表位移幅值基本上均随着无量纲频率η从1增加到4而有所增大，此情况约占80%.

3) 地形效应引起的最大地表位移幅值均随着入射角度α的增大而增大，即水平入射时最大地表位移幅值最大，竖向入射时最大地表位移幅值最小.而场地效应引起的最大地表位移幅值往往不符合此规律.

4) 由于高频波(η=4)入射时产生最大地表位移幅值的位置变化很大，而对于低频结果(η=1)，出现最大地表位移幅值的位置比较固定(地震波竖向入射时通常出现在河谷底部中点，斜入射和水平入射时通常出现在河谷左肩附近)，对低频结果进行分析后认为，河谷地形效应(ρ₂/ρ₁=1.0, c₂/c₁=1.0)引起的最大位移幅值会随着h/b的减小和d/b的增大而增大，即河谷侧壁越陡、深度越深，地形效应越明显.然而，沉积谷场地效应引起的最大位移幅值随着形状参数h/b和d/b的变化无明显规律，说明形状参数对二维土层效应的影响非常复杂，二维土层效应不是一维土层效应和地形效应的简单叠加，这要归因于地震波的二维散射和衍射.

6.   讨论与结论

本文利用波函数展开并结合超定方程组策略得到了部分充填圆弧形沉积谷及相应的空河谷对平面SH波散射的级数解，这两种场地的波函数级数解均是对已有解析解的补充.新的波函数级数解的提出通常需要用到一系列解析技术(Luo, 2008)，例如大圆弧近似(Todorovska，Lee, 1991)、镜像方法(Lee et al, 1999; Gao，Zhang, 2013)、辅助函数法(Yuan，Men, 1992)、半余弦展开(Lee et al, 2006)等，本文提出的超定方程组策略是对波函数展开方法的新发展，为分离变量法进一步应用到其它不规则场地的情况开启了新的可能.

利用级数解计算分析了二维土层与地形放大效应.研究表明：二维土层放大效应在沉积谷范围内占据支配地位，地形放大效应在沉积谷范围外占据支配地位；不管地震波的入射方向如何变化，场地效应引起的地面运动的相对最大值总是倾向于发生在土沉积物的范围内，且二维土层放大效应通常大于地形放大效应.此结果对于大跨度结构如水坝、桥梁的地震设计非常重要，因为这些结构可能会经历由二维土层和地形的差异放大效应而引起的很强的空间变化地面运动.在大部分抗震规范中地表地形的放大效应均被忽视了，建议应该同时考虑二维土层效应和地形效应.

关于沉积谷场地效应和河谷地形效应分别引起的最大地面运动幅值的参数分析揭示了材料参数c₂/c₁、形状参数h/b和d/b、无量纲频率η和波入射角度α对二维土层效应和地形效应的强烈影响.一般而言，二维土层效应会随着土沉积物的材料软化而增强，但其随形状的变化规律非常复杂，不是简单的一维土层效应与二维地形效应的叠加.在较小的频率范围内，二维土层效应非常小，地形效应占主导地位，而超过某一无量纲频率(如η=0.4)后，二维土层效应引起的最大放大值远远大于地形效应.

本文基于弹性动力学基本理论，初步探索了平面SH波作用下的二维土层和地形的弹性放大效应，以此为参照，下一步研究工作需要考虑其它类型的地震波以及土层的复杂弹塑性本构关系对沉积谷放大效应的影响.